精品解析：重庆西南大学附属中学2025-2026学年九年级下学期数学定时练习

数学定时练习 2026年3月 一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较．根据“正数大于零；零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小”，比较大小，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴在实数，，，中，最小的数是， 故选：A． 2. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项错误； 故选：B． 3. 下列调查方式合适的是（　　） A. 为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生 B. 为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查 C. 为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式 D. 为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生，8名初一学生不具有代表性，调查方式不合适； B、为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查，小民的6位好友不具有代表性，调查方式不合适； C、为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，调查方式不合适； D、为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式，调查方式合适； 故选：D． 4. 如图，与位似，点为位似中心．已知，的面积是8，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查位似的性质．根据面积比等于位似比的平方计算即可． 【详解】解：与位似，点O是位似中心， ， ， ∴， ， ， 的面积为8， 故的面积为． 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先利用二次根式乘法运算法则计算得到结果，再估算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴的值应在6和7之间． 故选：C． 6. 如图，的顶点在上，是直径，点D在上，，则的度数是（ ） A. 52° B. 48° C. 42° D. 38° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，与圆有关的计算.根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可得到 【详解】∵的顶点在上，是直径， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C. 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是(　　) A. 36 B. 74 C. 90 D. 92 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解． 【详解】观察图形的变化可知： 第1个图形有1×2+2=4个小圆， 第2个图形有2×3+2=8个小圆， 第3个图形有3×4+2=14个小圆， …， 发现规律： 第n个图形的小圆个数是n(n+1)+2． 所以第9个图形的小圆个数是9×10+2=92． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型−图形的变化，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并总结规律，会利用找到的规律进行解题． 9. 如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理等知识，构造三角形的中位线求解是解答的关键．先证明得到，设，则，则，，取的中点H，连接，则，利用三角形的中位线性质得到，，在中，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，设， ∵， ∴，则，， 取的中点H，连接，则， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 关于的多项式，其中系数和均为自然数，且． ①当时，满足条件的多项式共有9种； ②当是二次三项式，，则多项式有最小值为； ③当是二次三项式，且．方程有解，当取最小值时，方程的两根满足； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式的概念，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，二次函数的最值，通过枚举所有符合条件的情况，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：①当时，按项数枚举所有情况 当时，仅，此时是单项式，不符合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴，（此时是单项式，不符合题意，舍去）；，；，；，，共3种； 当时，， ∵， ∴，，；，，；，，；，，，共4种； 当时，， ∵， ∴，，，，共1种； 当时，最小和为，无符合条件的情况； ∴ 总共有种，故①错误； 判断②：A是二次三项式，故，且， ∴，，；，，， ∵二次多项式， ∴当时，二次多项式取最小值，最小值为， 当，，时，；当，，时，，都不等于，故②错误； 判断③：A是二次三项式，，方程有解，故，满足， 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时， ∴， ∴， 又是自然数， ∴，符合条件， 此时， ∴， ， ∴≠，故③错误； 综上，三个说法都错误，正确个数为0． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计票房已突破3170000000元，其中数据3170000000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等． 根据正多边形各边所对中心角相等计算即可． 【详解】解：∵正六边形各边所对中心角相等， ∴其中心角的度数为， 故答案为： ． 13. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求解概率的方法．将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表得出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有种结果， 所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为； 故答案为：． 14. 已知，求代数式的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了代数式的求值，根据题意得到，，，再把原式变形后利用整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴，，， ∴ ， 故答案为：3． 15. 如图，为的直径，点、均在上，连接，相交于点，，，将线段关于对称得到线段，连接与交于点，则圆的直径为______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①连接、，由为的直径，得，即，由可知，，因此，设，则，在和中，利用作为桥梁，列出方程求解即得圆的直径；②过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，利用对称性质得​和，证明，求出，由，证明，求出，进而得到，证明，得到，，从而算出，在中利用勾股定理即可求． 【详解】解：如图，连接、， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， 解得， ∴，， ∴的直径为； 如图，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， ∴，，， ∵将线段关于对称得到线段， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16. 一个数位大于三位且各数位均不为零的正整数，如果从左到右和从右到左看都是同一个数，那么我们称这个数为“蝶形数”，例如：、、都是“蝶形数”．截取最前面的两位数字组成的两位数为，截取最后面的两位数字组成的两位数为，满足（为正整数），那么我们称其为“完美蝶形数”，则最小的四位“完美蝶形数”为______．对于一个五位“完美蝶形数”，，，，且，，均为整数其中个位数字与十位数字之和等于百位数字，若与其各个数位数字之和的差能被整除，规定，则所有满足条件的值的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设四位“完美蝶形数”为，其中，，则，，所以由题意可得是完全平方数，然后分情况求解，再比较即可；设四位“完美蝶形数”为，其中，，，由题意可得，代入得，，又与其各个数位数字之和的差能被整除，则需能被整除，然后分情况求解即可． 【详解】解：设四位“完美蝶形数”为，其中，， ∴，， ∵（为正整数）， ∴， ∴是完全平方数， ∵是完全平方数， ∴是完全平方数， ∵，， ∴或， ∵要使四位数最小， ∴尽可能小， ∴， 则当时，（舍去）或，此时“完美蝶形数”为； 则当时，，此时“完美蝶形数”为； ∵， ∴最小的四位“完美蝶形数”为； 设五位“完美蝶形数”为，其中，，， ∴，， ∵（为正整数）， ∴，即， ∴是完全平方数， ∵个位数字与十位数字之和等于百位数字， ∴，代入得，， ∴与其各个数位数字之和的差 ， ∵与其各个数位数字之和的差能被整除， ∴能被整除， 由是完全平方数，，，，， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴所有满足条件的值为或或或， ∴所有满足条件的值的和． 三、解答题：本大题共8个小题，第17题8分，第18题8分，其余各题每题10分，共计86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组得整数解. 【详解】解：， 解不等式①得：x≥-1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组的解集为：-1≤x＜2， ∴不等式组的整数解为：-1，0，1. 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）①；② ；③；④． 【解析】 【分析】（1）根据题意利用尺规作图作出的平分线，即可； （2）利用平行四边形的性质求得，，利用证明，推出，，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形的性质求得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 19. 今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． 长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两个景点得分统计表 景点 平均数 众数 中位数 方差 水崖洞 87 a 91 121 长江汇 87 95 b 119.8 长江汇得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？ 【答案】（1） （2） 我认为游客对水崖洞更满意，理由如下； 根据数据中平均数相等，当水崖洞的中位数大于长江汇的中位数， 故对水崖洞更满意的人数会比长江汇的人数多，结合中位数与平均数来分析，我认为游客对水崖洞更满意； （3）这些游客对景点非常满意的共有万人次 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、利用中位数来决策、利用样本估计总体，解题的关键是掌握各种数相应的概念，会用统计量来决策； （1）直接利用众数，中位数，扇形统计图来求相应的量； （2）利用平均数和中位数一起分析满意度的情况； （3）分别求出各自非常满意的人数，然后相加即可． 【小问1详解】 解：出现最高次数为3次，所以众数， D组数据个数为：， C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88， 故中位数， B组中的数据占总体的比例为：， 故， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：到水崖洞非常满意的游客有：万人次， 到长江汇非常满意的游客有：万人次， 所以这些游客对景点非常满意的共有万人次． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；6 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及求值，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简分式，再求出x的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ， 将代入，得原式． 21. 中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费元、元 购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元? （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨、，乙公司预算不超过元为名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽? 【答案】（1）一盒咸粽的价格为元，一盒甜粽的价格为元 （2）乙公司最多购买盒咸粽 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系． （1）设一盒甜粽的价格为元，则一盒咸粽的价格为元，根据“爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍”，列出分式方程即可求解； （2）设乙公司购买盒咸粽，则购买盒甜粽，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设一盒甜粽的价格为元，则一盒咸粽的价格为元， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：一盒咸粽的价格为元，则一盒甜粽的价格为元； 【小问2详解】 设乙公司购买盒咸粽，则购买盒甜粽， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司最多购买盒咸粽． 22. 如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点（不与、重合），过点作交于点．设，点，的距离为，的周长的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0．2）． 【答案】（1） （2） 函数图象如下所示： 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先利用勾股定理得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立得， 解得或， 由函数图象可知，当时，． 23. 如图，，，，，分别是某公园同一平面内的五个打卡点，在的正东方向，在的正北方向，在的东北方向且在的北偏东方向，在的正南方向且在的北偏西方向．经测量，两打卡点相距200米．（参考数据：） （1）求，两打卡点之间的距离（结果保留整数） （2）若、相距100米，甲、乙两人分别从、两处出发前往处打卡，乙出发米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数） 【答案】（1）米 （2）甲距离处米时，甲乙两人恰好相距100米 【解析】 【分析】（1）如图，过点作交于点F，过点作于点，由题意得到，，米，则，，再根据三角函数得到米，米； （2）延长交于点，先得到四边形是正方形，（米），（米），即可得到米，再由甲的速度与乙的速度之比为，设甲的路程为，乙的路程为，最后根据甲乙两人恰好相距100米时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点F，过点作于点， ∵在的东北方向且在的北偏东方向，经测量，两打卡点相距200米， ∴，，米， ∴，， ∴，， ∴（米）， （米）； 【小问2详解】 解：延长交于点， 由题意可得，，米，，， ∴四边形是矩形， 由（1）可得，， ∴，（米）， ∴四边形是正方形，（米）， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵，， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∵甲的速度与乙的速度之比为， ∴甲的路程与乙的路程之比为， 设甲的路程为，乙的路程为，此时甲在处，乙在处，过点作于点， ∵甲、乙两人分别从、两处出发前往处打卡，乙出发米后，甲再出发， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵甲乙两人恰好相距100米， ∴米， ∵， ∴， 整理得 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴甲距离处米时，甲乙两人恰好相距100米． 24. 直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值； （3）记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）当面积取得最大值时，最小值为； （3）所有符合条件的点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可得抛物线的表达式； （2）作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，设，与抛物线联立，消去，可得关于的一元二次方程，令判别式为0，可得，利用勾股定理可得和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值，通过平移规律求得，根据勾股定理可得，即可得的最小值； （3）由二次函数图象的平移可得，取点，连接，证明，可得，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标，作平行四边形，则，，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标． 【小问1详解】 解：对于直线：，当时，；当时，， ∴，， ∵直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵为直线上方抛物线上一点， ∴作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值， 设：，则， ∴有两个相等的实数根， 令， 解得， ∴：， ∴， 解得，， 即当时，面积取得最大值； 由（1）可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 将直线：向下平移2个单位长度得到直线， ：， 设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， 对于直线：，当时，，即， ， ， ， 直线和直线的距离为， 为直线上任意一点，过点作于点， ； 将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示， 则，， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、共线时，取得最小值，即取得最小值， 为定值， 此时取得最小值； 作轴于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， ， ， 即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ，，，， 点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ， ， 点为点关于轴的对称点，， ， 当、、共线时， 此时， 当面积取得最大值时，最小值为． 【小问3详解】 解：由可得，， ∴，， 根据题意可得， 取点，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， ∵，， ∴， 作平行四边形，则，， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， 综上，所有符合条件的点的横坐标为或． 25. 在等腰与等腰中，，，． （1）如图，点在外部，连接、、，，当，时，求的长． （2）若，解决以下两个问题： ①如图，点在内部，连接、为边上一点，连接，分别交、于点、，点为的中点，连接，当时，证明：． ②如图，点在的边上，点为边上一点，，，点为所在直线上一动点，连接、、，当最大时，请直接写出的最小值． 【答案】（1）6； （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，，由图可知，，可以判定≌，可得出，又由，可得，，可判断是等边三角形，即可求解． （2）①延长至，使，连接，可证得≌，从而，根据，，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； ②作于，作的垂直平分线，交于，交于，可推出点在处，，从而得出，延长至，使，连接，交于，则最小，可推出，，进而求得，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 解：①证明：如图， 延长至，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 使的中点， ； 如图， 设的外接圆的半径为， ， 即：， 当最大时，最小， 当与时相切时，最大， 作于，作的垂直平分线，交于，交于， ， ，，， ， ， 点在处，点在处， ， ， ， ， ， ， ， ， 延长至，使，连接，交于，则最小， 可得，， ， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时练习 2026年3月 一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查方式合适的是（　　） A. 为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生 B. 为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查 C. 为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式 D. 为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 4. 如图，与位似，点为位似中心．已知，的面积是8，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 6. 如图，的顶点在上，是直径，点D在上，，则的度数是（ ） A. 52° B. 48° C. 42° D. 38° 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是(　　) A. 36 B. 74 C. 90 D. 92 9. 如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的多项式，其中系数和均为自然数，且． ①当时，满足条件的多项式共有9种； ②当是二次三项式，，则多项式有最小值为； ③当是二次三项式，且．方程有解，当取最小值时，方程的两根满足； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计票房已突破3170000000元，其中数据3170000000用科学记数法表示为___________． 12. 苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为__________． 13. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 14. 已知，求代数式的值为_____． 15. 如图，为的直径，点、均在上，连接，相交于点，，，将线段关于对称得到线段，连接与交于点，则圆的直径为______，______． 16. 一个数位大于三位且各数位均不为零的正整数，如果从左到右和从右到左看都是同一个数，那么我们称这个数为“蝶形数”，例如：、、都是“蝶形数”．截取最前面的两位数字组成的两位数为，截取最后面的两位数字组成的两位数为，满足（为正整数），那么我们称其为“完美蝶形数”，则最小的四位“完美蝶形数”为______．对于一个五位“完美蝶形数”，，，，且，，均为整数其中个位数字与十位数字之和等于百位数字，若与其各个数位数字之和的差能被整除，规定，则所有满足条件的值的和为______． 三、解答题：本大题共8个小题，第17题8分，第18题8分，其余各题每题10分，共计86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 18. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 19. 今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． 长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两个景点得分统计表 景点 平均数 众数 中位数 方差 水崖洞 87 a 91 121 长江汇 87 95 b 119.8 长江汇得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费元、元 购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元? （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨、，乙公司预算不超过元为名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽? 22. 如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点（不与、重合），过点作交于点．设，点，的距离为，的周长的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0．2）． 23. 如图，，，，，分别是某公园同一平面内的五个打卡点，在的正东方向，在的正北方向，在的东北方向且在的北偏东方向，在的正南方向且在的北偏西方向．经测量，两打卡点相距200米．（参考数据：） （1）求，两打卡点之间的距离（结果保留整数） （2）若、相距100米，甲、乙两人分别从、两处出发前往处打卡，乙出发米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数） 24. 直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值； （3）记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 25. 在等腰与等腰中，，，． （1）如图，点在外部，连接、、，，当，时，求的长． （2）若，解决以下两个问题： ①如图，点在内部，连接、为边上一点，连接，分别交、于点、，点为的中点，连接，当时，证明：． ②如图，点在的边上，点为边上一点，，，点为所在直线上一动点，连接、、，当最大时，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $