微专题04 将军饮马模型求最值（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

**基本信息** 以轴对称变换为核心，系统构建“两定一动”到“造桥选址”的将军饮马模型体系，通过5类题型分层突破最值问题，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两定一动|6题|作对称点+两点之间线段最短|从基本模型到三角形、坐标系综合应用| |一定两动|6题|双对称点转化+线段最短|拓展至三角形周长最小问题| |一定两动（垂线段最短）|6题|单对称点+垂线段最短|结合垂直平分线深化模型应用| |两定两动|6题|双对称点转化+四点共线|进阶至四边形周长最小问题| |将军遛马与造桥选址|6题|对称+平移转化|融合平行线、坐标系实现模型迁移|

微专题04 将军饮马模型求最值 题型1 两定一动 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点。此时最短，。 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为_______； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键. （1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，根据勾股定理求的长即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，证明为等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    因为点E是的中点，由对称性可得 ∴ 的最小值的值为： 故答案为：． （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，    ∴ ∴ ∴为等边三角形， ，， 垂直平分， 同理， ， ， ，即， ，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，，，点和点分别在射线与射线上，且，则的最小值为_____；的最小值为_____． 【答案】 【分析】先作，求出，再根据勾股定理求出，即可求出，接下来作，使，连接，结合“边角边”证明，可得，然后确定的最小值为，下面作，求出，再根据勾股定理求得，进而得出，即的最小值；作点A关于的对称点，连接，再说明是等边三角形，接下来证明，可得，然后证明，可得是等边三角形，最后根据，可得的最小值. 【详解】解：作，交于点K， 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得. 如图所示，作，使，连接， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴的最小值为. 过点A作，交于点E， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴. 所以的最小值为； 作点A关于的对称点，连接， 根据对称可知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 3．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 【答案】(1)5，5 (2) (3)， 【分析】（1）连接交于点P，由点、、三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可知，当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可得，即当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ， 当点、、三点共线时，最小， ，， 由勾股定理可得，， 最小值为； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图． 由图形的对称性可知，， ， 当点、、三点共线时，最小， 同理可求， 最小值为； 故答案为：；； （2）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， 当点、、三点共线时，最小， 即 在中，，，， 由勾股定理可得， 点是边的中点，， 为等腰三角形，且， ， 在中，， ， 在中，， 则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点关于射线的对称点，连接交射线于点，连接，如图， 中，且， 为等腰直角三角形， ，且， ， 为的角平分线，即， 射线， ， ， 在与中， ， （）， ， 由图形的对称性可知，，， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ， 又， ， 在中，， 最小值为， 作，使，连接，连接交于点，如图， ， ， 在与中， ， （）， ， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ，， ， ， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． 4．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，点代入求出，，进而可得直线的表达式；过点作轴于点，证明和全等得，，则，由此可得点的坐标； （2）延长到，使，连接交于点，连接，则是线段的垂直平分线，进而得，则，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，则当，，共线时，为最小，此时点与点重合，再分别求出点，点，利用待定系数法求出直线的表达式为，解方程组可得点的坐标； （3）在的条件下，直线的表达式为，点，设点的坐标为，先求出，进而得，过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点M作于点，连接，再求出点，由此得，，，则，因此线段上不存在点，所以有以下两种情况：当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为；当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为，综上所述即可得出答案 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 直线与轴交于点，与轴交于点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 过点作轴于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形，且，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点，点， ，， ，， ， 点的坐标为； （2）解：延长到，使，连接交于点，连接，如图所示： ， 是线段的垂直平分线， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，共线时，为最小，最小值为线段的长， 此时点与点重合， 点，点，点是的中点， 点的坐标为， 点，点，点是的中点， 点的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， 直线的表达式为：， 解方程组：，得：， 点的坐标为， 当为最小时，点与点重合， 点的坐标为； （3）解：点的坐标为或，理由如下： 在的条件下， 直线的表达式为：，点为， 设点的坐标为， ，， ， ， 过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图所示： 点， 点的横坐标为， 对于，当时，， 点， 点，点为， ，，， ， ， 线段上不存在点，使， 有以下两种情况： 当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示： 点， ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为； 当点在的延长线上时，过点作于点，图所示： ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 5．（25-26八年级上·河南安阳·期中）阅读材料： 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是______； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．则的最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2)①6，② 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）①由题意知，是等边的对称轴，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； ②由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据计算求解即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：①∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：6； ②∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 6．（25-26八年级上·广东汕头·期末）数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【提出问题】 问题  唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河岸上的点饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作点关于的对称点，连接与交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：在上另取一点，连接，，只要证明即可． 问题如图②，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠；使得到村庄的距离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （）请在图①中标出河岸中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （）问题中所隐含的数学原理是_______． 【感悟方法，尝试应用】 （）如图③，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________． ②若，点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在如图③上标注点的位置，并求出的最小值． 【迁移拓展，综合应用】 （）如图④，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为上一点，求的最小值． 【答案】（）作图见解析；（）垂线段最短；（）①；②作图见解析，；（） 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求； （）根据垂线段最短即可求解； （）①根据等边三角形的性质解答即可求解；②根据等边三角形的性质和两点之间线段最短解答即可求解； （）在上取点，使，连接，可证，得到， 即得，可知当点三点共线时，有最小值，最小值等于的长，当时，最小 ，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）如图所示，点即为所求； （）问题中所隐含的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； （）①∵是等边三角形，是的中线， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图所示，连接交于点，点即为所求． ∵是等边三角形，是的中线， ∴垂直平分， ∵点为上一点， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值等于的长度， ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴， ∴的最小值为； （）如图所示，在上取点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值，最小值等于的长， 当时，最小 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 题型2 一定两动 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，分别作点M关于的两条边射线的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点，分别交射线于点。此时最短，. 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)①12②， 【分析】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点A关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【详解】（1）解：作图如下： （2）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； 故答案为：12； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ∵是上的中线，即， ， 点在射线上运动（）， 作点A关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时点E和点重合，， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3 (2)3 (3)5 【分析】（1）连接，可得点B，C关于对称，则，那么，故就是的最小值，然后根据等边三角形的性质得到，再根据等边三角形的高即可求解； （2）过点作于点，可得平分，，，，则，那么，即可求解最小值； （3）分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接，则，，然后得到是等边三角形，则，，而，故点共线时，周长取得最小值即为，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B，C关于对称，， ∴， ∴ ∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点， ∴， 而是边上的高 ∴， ∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为 ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 【答案】（1）3；（2）3；（3）5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，，则，据此可证明当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，求出线段的长即可得到答案； （2）过点P作于H，由三线合一定理得到，则，即可得到，则当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案； （3）分别作点P关于射线的对称点G和H，连接，可证明当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长，则；证明是等边三角形，可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在等边三角形中，是的高，是的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵都是等边三角形的高， ∴， ∴的最小值为3； （2）解：如图所示，过点P作于H， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵此时， ∴为的高， ∴， ∴的最小值为3； （3）如图所示，分别作点P关于射线的对称点G和H，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长， ∵周长的最小值为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西西安·月考）根据提出问题、解决问题求下列最小值． (1)【问题提出】如图①，为内部的一个定点，，，，分别是，边上的两个动点，连接，求的周长最小值； (2)【问题解决】如图②，三个城市由三条主道路连接，已知，为缓解因汽车数量“井喷式”增长而导致的交通拥堵，增加人们出行的幸福指数，省规划厅计划分别在线段上选取处开口修建便捷通道，为了减小成本要使得便捷通道长度的总和最小，请你求出这个最小值． 【答案】(1)的周长的最小值是3； (2)最小值为． 【分析】（1）分别作点关于的对称点，，连接交于，交于，连接，则，，，，，则的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解； （2）分别作点关于的对称点，连接，求得的最小为的长，是顶角为的等腰三角形的底边，要想底边长最小，只要腰长最小，根据垂线段最短，当时，腰长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：分别作点关于的对称点，，连接交于，交于，连接，则，，，，，则的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长， ∴， ∴的周长的最小值是3； （2）解：如图，分别作点关于的对称点，连接， 根据对称性，有， 则， 由轴对称可得：， ， 是顶角为的等腰三角形的底边， 要想底边长最小，只要腰长最小，根据垂线段最短，当时，腰长最小， 过点作，垂足为， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得， 根据等面积法得，， ， ，即最小值为． 5．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米 任务2：（1）6，理由见解析      （2）10 任务3：9 【分析】本题考查了最短路径问题（涉及轴对称、垂直平分线的性质），解题的关键是利用轴对称或垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 任务1通过作对称点，结合中点与的条件转化路径求最短距离； 任务2利用垂直平分线性质转化线段，结合线段最短求及三角形周长的最小值； 任务3作对称点转化折线路径，结合角度条件求面积和． 【详解】任务1 解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米， ∴到该中点的距离为米， ∵， ∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则, ∴, ∴点在同一条直线上， 最短距离（米）． 故答案为：． 任务2 （1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时， ∴的最小值为． （2）解：∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的最小值为, ∴的最小值为6, ∴周长最小值． 任务3 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，， ∴． 6．（25-26八年级上·山东青岛·月考）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是_； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为_ (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，， ∴，， ， ∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为． 题型3 一定两动（垂线段最短） 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则，根据点到之间距离垂线段最短，过作，垂线段交射线于点，在射线上的垂足为。此时最短，. 1．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】先由等边三角形性质、含直角三角形性质，将转化，从而得到，再结合等边三角形性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在等边中，，则平分，是边上的中线， ，， 则等边的边长为， 在中，，，则， ， 即当三点共线，且时，有最小值，为长， 在等边中，，则是边上的中线， ， 在中，，则由勾股定理可得， 则当有最小值时，最小值为． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，，若，，则的周长的最小值是____________；若，当的周长取最小值时，______（用含的代数式表示） 【答案】 7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及最短路径问题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将转化为，进而结合等腰三角形的性质求解． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质将转化为，结合等腰三角形三线合一求出和的长度，进而在当、、在同一直线上时，求出周长的最小值； （2）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余，结合角的关系求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵点D是的中点，， ，， ∵， ， ， ∵垂直平分， ， ， 当、、在同一直线上时， 最小，最小值为， ∴周长最小值； ∵，点是边的中点， ， ， ， ∵， ， 在中，， 故答案为：7；． 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为______． 【答案】12 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，于，由等边三角形的性质得出，，求出，由含角的直角三角形的性质得出，从而得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，于， ， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期中）唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 【答案】任务一：；任务二： 【分析】任务一：连接，则的长度即为的最小值，再加上的长即可求得周长的最小值； 任务二：作于，交于点，由的面积等于，求得，由等腰三角形的性质得，由点到直线的距离垂线段最短知：的最小值为，即可求解． 【详解】解：任务一：如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ， ，即就是的最小值， ，为的中点，是等边三角形， ，，， ， 周长的最小值为：； 任务二：作于，交于点，如图， ，， ， ， 是中线，， 是边上的高线，即垂直平分， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，等腰的底边长为4，腰长为5，的垂直平分线分别交，于点，．点M，N分别为线段，上的动点，连接，，请探索是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为4，腰， ， 的最小值为． 6．（23-24八年级上·陕西西安·期末）【问题发现】 （1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于C，点C就是所求位置． ∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“_”可得的最小值是． 【问题探究】 （2）如图3，在等边中，，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值； 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点G，且点G到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）的周长最小值是；（3）存在；的周长最小值为 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）如图，过作于，连接，当三点共线时，，此时的周长最短，再结合等边三角形的性质与勾股定理计算即可； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，过作于，交于，证明，在直线上运动，当三点共线时，，此时线段和最小，可得的周长最小，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是． （2）如图，过作于，连接， ∵等边，，， ， ∴，，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当三点共线时，， 此时的周长最短， 而， ∴的周长最小值是； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，在直线上运动， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 当三点共线时， ，此时线段和最小， ∴的周长最小， 而此时， ， ， ∴， ∴的周长最小值为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的性质，平行线间的距离处处相等，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的化简，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型4 两定两动 【基本模型】已知在的内侧有两定点，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则；作点N关于射线的对称点。由于为定点，所以线段为定值。因此，若使最短，只需令最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点，线段分别交射线于点。此时，四点共线，能够使得最短， 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点，在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小，且最小周长为________； (3)在这个网格中，到点和点的距离相等的格点有________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理． （1）根据要求作图即可； （2）连接交与M即可，根据勾股定理求出各边长，进而计算周长即可； （3）作线段的垂直平分线，进而判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 证明：∵， ∴当最小时，四边形的周长最小， 由轴对称的性质可知， 即， 即当点在上时，即四边形的周长最小， 最小值为． 故答案为：． （3）解：如图，可知到点和点的距离相等的格点有5个． 故答案为：5． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)作出关于y轴对称的图形； (2)在y轴上是否存在一点P，使四边形的周长最小．若存在，请在图中标出P点位置，保留作图痕迹，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在y轴上存在一点P，使四边形的周长最小；见解析 【分析】本题考查基本作图中的轴对称变换和最短路径问题，掌握作图的步骤是解题的关键． （1）分别作出点、、关于y轴对称的对称点，顺次连接即可． （2）连接交y轴于点P，连接，此时最小，即四边形的周长最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）在y轴上存在一点P，使四边形的周长最小， 连接交y轴于点P，连接，此时最小， 理由如下：由作图得：， ∴， ∴四边形的周长为， ∵的长度为定值， ∴四边形的周长的最小值为． 3．（23-24八年级上·重庆渝中·月考）如图所示，在直角坐标系中，，，线段在轴上平移，且满足，连接、、．    (1)当时，__________； (2)当四边形的周长取得最小值时，求出此时点的坐标及四边形的最小周长； (3)在（2）的条件下，连接，当向下平移的过程中，轴上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点的坐标为，四边形的最小周长为； (3)存在，或或或或 【分析】（1）根据直角三角形的性质，即可求解； （2）作点C关于y轴的对称点E，连接，将沿y轴平移至点B交于点F，连接，则点，，，根据平移的性质可得当点E，B，F三点共线时，四边形的周长取得最小值，再求出直线的解析式，即可求解； （3）分五种情况讨论，结合全等三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：12 （2）解：如图，作点C关于y轴的对称点E，连接，将沿y轴平移至点B交于点F，连接，则点，，，    ∵，， ∴轴，， ∴， ∴， ∴， 即当点E，B，F三点共线时，四边形的周长取得最小值， ∵，， ∴， ∴点F的坐标为， ∴， ∴四边形的周长的最小值为； 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为； （3）解：存在， 由（2）得：， 若， 当点B在y轴正半轴时，如图，过点B作于点M，则，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点B在y轴负半轴时，如图，过点B作交延长线于点M，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 若， 当点B在y轴的正半轴时，过点D作轴于点M，则，，， ∴， ∴，     ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点B在y轴的负半轴时，如图，过点B作轴于点M，则，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，如图，过点D作轴于点M，则，    ∴， ∴， 设此时点B的坐标为，则向下平移个单位，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）(1)问题发现： 如图①，在平面直角坐标系中，已知点和点则线段的长为______； (2)问题探究： 如图②，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，点A在第一象限，点在线段上，点M，N分别是边，上两点，求周长的最小值． （提示：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．） (3)问题解决： 为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地上用鲜花摆放一个四边形的图案．设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点，点A，C在坐标轴上，绿化部门计划在正方形内围成一个如图所示的四边形，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪．要求N，P在边上，M在上，且．请问是否存在点P，N，使得四边形的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．      【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据两点之间距离公式计算即可； （2）作分别关于、的对称点和，根据对称的性质的，当四点共线时，周长最小，最小值为的长，求出的长即可； （3）将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，四边形周长为，其中，，故最小时周长最小，作关于对称点，连接，则，故当三点共线时，最小，计算即可解答； 【详解】（1）； （2）如图1所示，求分别关于、的对称点和，    由对称性质得， 则的周长为 ， 当四点共线时，周长最小，最小值为的长， ∵在等边中，，过作， 且 ， 在 中，， 如图 2 ，过点作，则 ，    在 中，， 则 ， ∴的周长最小为； （3）存在；如图 3 ，将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，    四边形周长为，其中，，故最小时周长最小， 关于对称点，连接， 则，故当三点共线时，最小， ∴最小值为 ； 则四边形周长最小为． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，利用轴对称求周长最小，遇到动线段问题需要先平移变换再进行对称求解． 5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)在图中画出关于轴对称的图形，并写出的对称点的坐标； (2)若与点关于某一条直线成轴对称，请你在图中用尺规作图作出这条对称轴（不写作法，保留作图痕迹）； (3)在轴上确定一点，使的周长最小（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析，为所求的三角形， (2)图见解析，直线为所求的对称轴 (3)图见解析，点为所求的点 【分析】本题考查的是画轴对称，作对称轴，轴对称的性质，熟练的画图是解本题的关键． （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接，根据的位置可得其坐标； （2）连接，作线段的垂直平分线即可； （3）作点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点即可； 【详解】（1）解：如图，为所求的三角形，； （2）解：如图，直线为所求的对称轴； （3）解：如图，点为所求的点． 理由：由作图可得：， ∴，此时周长最小． 6．（22-23八年级上·江苏扬州·月考）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． (3)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间线段最短 (3)①12；②， 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【详解】（1）解：作图如下： （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型5 将军遛马与造桥选址 1. 将军遛马 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上有一条线段。试确定线段在直线l上的位置，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则。过点作一条平行线，并在点的右侧在平行线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线l为点。此时最短，。 2. 造桥选址 【基本模型】已知有两条平行直线，在直线异侧有两定点A和B，有一条线段，且。试确定线段在直线上的位置，使得最短. 如上图所示，过点A作直线l的垂线，在点的下侧在垂线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线为点。此时最短，。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题关键是利用轴对称的性质得出线段相等，进而将问题转化为在直线上找一点，使得最小． 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，，将问题转化为求的最小值，当点，，在同一条直线上时，取得最小值，由此即可得到点，的位置． 【详解】解：点，的位置如图所示．理由如下： 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点， 连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，． 连接，将向西平移的长度得到． 由作图可得，，，． 要求的最小值，即求的最小值． ， 当点，，在同一条直线上时，取得最小值， 即点与点重合时，最小， 故点，即为所求． 2．（25-26八年级上·重庆江津·期末）在“最短路径问题”综合与实践活动中，我们通过牧民饮马、造桥选址等实际问题，探究出利用轴对称、平移等求最短路径的方法．请结合几何图形的特征继续深入探究以下问题：已知，如图1，、都是等边三角形，是的中点，建立如图平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为． (1)求点、的坐标； (2)如图2，点为轴上一点，连接、，求的最小值； (3)如图3，点为中点，线段在轴上滑动，且，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为； (2)； (3)． 【分析】（）过作轴于，由是的中点，则，可得点坐标为，因为、都是等边三角形，所以，从而证明，所以，，则，故点坐标为； （）作点关于轴的对称点即点，连接与轴交于点，连接、，此时，即的最小值为，过作轴于，证明，所以，在中，，从而可得的最小值； （）连接、相交于点，同理可得：，，，所以，所以，即点向下平移单位到点，此时． 【详解】（1）解：过作轴于， ∵是的中点， ∴， ∵点坐标为， ∴点坐标为， ∵、都是等边三角形， ∴（三线合一）， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点即点，连接与轴交于点，连接、， 此时，即的最小值为， 过作轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值； （3）解：连接、与相交于点， 同理可得：，，， ∴，所以， 即点向下平移单位到点， 此时， 所以． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期中）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】（）画图见解析，；（）画图见解析，，；（） 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】（）解：画图如下： 设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）如图，在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 5．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    【答案】见解析． 【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题． 证明四边形为平行四边形得，可得，进而可说明方案可行． 【详解】解：，， ． ， ， 四边形为平行四边形， ． 根据两点之间线段最短可知， ． 与河岸垂直，为定值， 当时，路径最短． 6．（21-22七年级上·全国·课后作业）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图1）．要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE=FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置． （1）分析桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD+DB)最短的理由． （2）利用前一问的做法，解决下面的问题：如图2所示A、B、C三地被两条河隔开，现要修两座与河岸垂直的桥，如何修使A到B到C的路程最短？请作出示意图． 【答案】（1）两点之间线段最短．（2）见解析． 【分析】（1）利用平移的性质以及两点之间线段最短解决问题即可． （2）根据修建的桥必须是与河岸垂直的，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”解决问题． 【详解】解：（1）利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知： AC+CD+DB=（ED+DB）+CD=EB+CD． 而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短． （2）示意图如图所示． 从A到B的路径AMNEFB最短． 【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，利用平移的性质得出桥的位置，能运用两点之间线段最短的原理是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04将军饮马模型求最值 两定一动 一定两动 一定两动（垂线段最短） 将军饮马模型求最值 两定两动 将军遛马 造桥选址 /0o 德点量戒 题型1两定一动 煤方法 【基本模型】已知直线I同侧的两定点A和B,在直线1上找一动点P,使得AP+PB最短， B 如上图所示，作点A关于直线1的对称点A',则PA=PA',根据两点之间线段最短，连接点 B,A'。此时AP+PB最短，AP+PB=A'P+PB=A'B。 1122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(23-24八年级上浙江金华·期末)某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B,在直线1上存在点P,使得PA+PB的值最小.解法：如图1，作点A关 于直线I的对称点A,连接AB,则AB与直线I的交点即为P,且PA+PB的最小值为AB.请利用上 述模型解决下列问题： B B E P 图1 图2 图3 (1)几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,E是AB的中点，P是BC边上的一动点， 则PA+PE的最小值为一： (2)几何拓展：如图3，△ABC中，AC=2,∠A=30°，若在AB上取一点M,则2CM+AM的值最小 值是一 2.(25-26八年级上重庆月考)如图，在△ABC中，∠BAC=75°，∠B=60°，AB=4,点M和点V分 别在射线AB与射线CB上，且AM=CN,则AN+CM的最小值为；AN+MN的最小值为一. B 3.(25-26八年级上浙江宁波·月考)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从 军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题 2/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D C A B B 图1 图2 m B 图3 图4 (I)线段AB=3,CA⊥AB于点A且CA=1,DB⊥AB于点B且DB=3,点P为线段AB上任意一点，则 图1中PC+PD最小值为 ;图2中PC+PD最小值为 (2)如图3，△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=2,点D是AC边的中点，点P是AB边上任意一点， 则PC+PD的最小值是 (3)如图4，△ABC中，∠BAC=90°且AB=AC=√2，作AD1BC于点D,过A点的射线m始终平行 于BC,点E是高AD上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段AB上一点，且始终保持 AF=EA=BG,则BE+DF的最小值为一：则BE+DG的最小值为 4.〔2425九年级下黑龙江大庆期末)如图1，已知直线'与轴交于点40)，与'轴交于点 (0,3) 以A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC,其中∠BAC=90°，AB=AC B B 图1 图2 备用图 (I)求直线的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是BC的中点，点P是直线I上一动点，连接PM、PC,求PM+PC的最小值，并求 出当PM+PC取最小值时点P的坐标： 3/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E2的条件下，当PM+PC取最小N值时.直线pM上存在一点O:使Sm0So,求O购 坐标.（直接写出答案） 5.(25-26八年级上河南安阳期中)阅读材料： 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线I同旁有两个定点A,B, 在直线I上存在点C,使得CA+CB的值最小 “智慧小组”的作法是：如图2，作点B关于直线的对称点B,连接AB',则AB'与直线的交点即为 点C,且CA+CB的最小值为AB的长. 如图3，为了证明点C的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点C, 连接AC,BC,B'C'.证明AC+BC<AC'+BC'即可. (1)请完成图3中的证明： (2)类比应用： ①如图4，在等边△ABC中，E是AB中点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的动点.若AD=6, 则PE+PB的最小值是一： ②如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD平分∠BAC,点M,N分别 为AD,AC上的动点，连接CM,MN.则CM+MN的最小值是· 6.(25-26八年级上广东汕头期末)数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间， 线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课 【提出问题】 问题1唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”中隐含着一 个有趣的数学问题一一将军饮马.如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河岸1上的点C饮 马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 4/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小亮：作点A关于的对称点A,连接AB与I交于点C，,点C就是饮马的地方，此时按路线AC-CB 走的路程就是最短的 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：在I上另取一点C,连接AC,BC,只要证明AC+CB<AC'+CB即可. 问题2如图②，要在河岸I上建一座水泵房Q,修建引水渠P№；使得Q到村庄P的距离最短.施工人员 的做法是：过点P作P巴上1于点Q,将水泵房建在Q处，这样修建引水渠P№最短，既省人力又省物力」 (1)请在图①中标出河岸1中点C的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)问题2中所隐含的数学原理是 B A oh 图① 图② 【感悟方法，尝试应用】 (3)如图③，在等边三角形ABC中，AD是△ABC的中线. ①直接写出BD与AB的数量关系 ②若AD=4,点E为AB边的中点，点F为AD上一点，当BF+EF的值最小时，在如图③上标注点F 的位置，并求出BF+EF的最小值. 【迁移拓展，综合应用】 (4)如图④，在Rt△ABC中，∠B=30°，点D在斜边BC上，且BC=4CD=4,AE是△BAC的角平 分线，点F、点G分别为AC、AE上一点，求DG+FG的最小值. C B 图③ 图④ 5/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2一定两动 嫩方法 【基本模型】已知在∠AOB的内侧有一定点M,在射线OA,OB上有两动点P,Q,在射线OA,OB上 各确定一点P,Q,使得MP+M0+PO最短. M' 个 M X 0 B M 如上图所示，分别作点M关于∠AOB的两条边射线OA,OB的对称点M,M”,则 PM'=PM,PO'=PO,根据两点之间线段最短，连接点M,M",分别交射线OA,OB于点P,Q'。 此时MP+M0+PO最短，MP+M0+PO=M'P'+M"Q'+P'Q'=M'M" 1. (24-25七年级下陕西西安月考)“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发， 走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题 时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点A、B,在直线I上存在点P,使得PA+PB的值最小. 6/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B ●B 图1 备用图 图2 图3 解法：作点A关于直线I的对称点A,连接AB,则AB与直线I的交点即为P,且PA+PB的最小值为 线段AB的长 ()根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形： (2)应用： ①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P,OP=12,在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于 点O),使△PCD的周长最小，则△PCD周长的最小值为一· ②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上，连接AD,在AD 的右侧作等边△ADE,连接EF,则△AEF周长的最小值是多少？此时∠CFE为多少度？ 2.(25-26八年级上江苏南通月考)问题背景：如图①，点A,B在直线同侧，在直线上找一点P,使 AP+BP的值最小. 作法如下：作点B关于直线I的对称点B,连接AB',与直线I的交点就是所求的点P,线段AB的长度 即为AP+BP的最小值， ② ③ (I实践应用：如图②，在等边三角形ABC中，若E是AB的中点，P为高AD上一点，AD=3,连接 BP,求BP+PE的最小值. ②拓展延伸1：如图2，在等边三角形BC中，若p为高CE上一点，高D=3,求8P+P的最小 值 (3)拓展延伸2：如图③，∠AOB=30°，P是四边形OACB内一定点，Q,R分别是OA,OB上的动点， 7/22 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当△POR周长的最小值为5时，求OP的长 3.(25-26八年级上辽宁葫芦岛期中)【问题初探】 (I)如图1，在等边三角形ABC中，若E是AB的中点，P为高AD上一点，AD=3,连接BP、PE, 求BP+PE的最小值： A E D Q B 图1 图2 图3 【变式探究】 (2②如图2，在等边三角形8C中，若p为商CE上一点，商CE-3,求BP+CP的最小值 【拓展延伸】 (3)如图3，∠AOB=30°，P是∠A0B内一定点，，R分别是OA,OB上的动点，当△PR周长的 最小值为5时，求OP的长， 4.(25-26八年级下~陕西西安·月考)根据提出问题、解决问题求下列最小值. 图① 图② 备用图 (1)【问题提出】如图①，P为∠AOB内部的一个定点，OP=3，,∠AOB=30°，M,N分别是OA, OB边上的两个动点，连接PM,PN,求△PMN的周长最小值： (2)【问题解决】如图②，C,A,B三个城市由三条主道路AC,AB,BC连接，已知 AC=6√2，∠A=45°，AB=10 ,为缓解因汽车数量“井喷式”增长而导致的交通拥堵，增加人们出行 的幸福指数，省规划厅计划分别在线段BC,AB,AC上选取D,E,F处开口修建便捷通道，为了减小 成本要使得便捷通道长度的总和DE+EF+FD最小，请你求出这个最小值. 5.(25-26八年级上福建龙岩·期中)请根据以下素材，完成探究任务. 8/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 探索最短距离 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和 军事问题，更体现出转化的数学思想.这些古老的思想在今天依然充 背景材料 满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在 使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC 和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为260米，则牧 童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是」 米. 任务1 D 河 B 如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一 动点，若AB=6,AC=4,BC=7 (I)求PA+PB的最小值，并说明理由： (2)求△APC周长的最小值. 任务2 m B 如图∠40B=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2,ON=9 ，点P、Q分别在边OB、OA上，则当MP+P№+QN取最小值时，求 S.N00+S.oP+S.MOP 的值。 任务3 0 B 6.(25-26八年级上山东青岛月考)几何模型： 9/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：如图，A、B是直线同旁的两个定点。 问题：在直线I上确定一点P,使PA+PB的值最小. 方法：作点A关于直线I的对称点A,连接AB交I于点P,则PA+PB=A'B的值最小（不必证明）. 模型应用： B B R D D 图1 图2 (I)如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性 可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是； (2)在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在ADAD上找一点P,使BP+PE的 最小值为 (3)如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点，求△POR周 长的最小值. (提示：分别作点P关于O1和OB的对称点 B,连接 PRPB、 题型3一定两动（垂线段最短） 嫁方法 【基本模型】已知在∠AOB的内侧有一定点M,在射线OA,OB上有两动点P,Q,在射线OA,OB上 各确定一点P,Q,使得MP+PO最短： 10/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 Q 如上图所示，作点M关于射线OA的对称点M',则PM'=PM,根据点到之间距离垂线段最 短，过M'作M'Q'LOB,垂线段交射线OA于点P',在射线OB上的垂足为Q'。此时MP+P最 短，MP+PO=M'P+P'Q'=M'Q 1.(25-26八年级下·江西九江期中)如图，已知在等边△ABC中，AD L BC,BD=8,若点P在线段 1 AD上运动，当24P+BP有最小值时，最小值为() A.4V5 B&3 C.10 D.12 2.(25-26八年级上重庆期中)如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点 M,N,D是C的中点，P是W上任意一点，连接PC,PD,若BC=4,S=10 则APCD 周长的最小值是 一；若∠B=a,当△PCD的周长取最小值时，∠PCD=一（用含a的 代数式表示) 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 3。(2324八年级下辽宁楼山开学考试)如图，已知在等边△16C中，4D18C.=85,若点”在 线段AD上运动，当24P+BP有最小值时，最小值为 4.(24-25八年级下山西晋中·期中)唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄 昏饮马傍交河”.由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题， D D 图1 图2 图3 图4 【经典再现】如图1，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的点P饮马后再到点 B宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线I同旁有两个定点A,B,在直线I上存 在点P,使得PA+PB的值最小. 解法如下：如图2，作点B关于直线I的对称点B,连接AB',则AB与直线I的交点即为P,且 PA+PB的最小值为AB的长. 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决. 任务一：如图3，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AB的中点，P为AD上一动点，若 12/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=8V3△PBE ,求 周长的最小值： 任务二：如图4，在△ABC中，AB=AC=5,AD是中线，点E是AB上一动点，P为AD上一动点， 若△ABC的面积等于6，则PB+PE的最小值为 5.(25-26七年级上山东烟台期末)如图，等腰△ABC的底边BC长为4，腰长为5，AC的垂直平分线 分别交AB,AC于点E,F,点M,N分别为线段EF,BC上的动点，连接CM,MN,请探索 CM+MN是否存在最小值，若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由. 6.(23-24八年级上陕西西安期末)【问题发现】 (1)数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，再 去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2， 作B关于直线I的对称点B,连接AB与直线I交于C,点C就是所求位置， ●B A· 0 图1 图2 图3 直线I是点B,B的对称轴， ∴.CB=CB ∴.AC+CB=AC+CB 根据“”可得AC+CB的最小值是AB. 【问题探究】 (2)如图3，在等边△ABC中，AB=6,AD L BC,E是AB边上的一点，且AE=2,F是AD上的一 个动点，求△BEF周长的最小值； 【问题解决】(3)如图4，在四边形ABDC中，∠A=∠B=90°，AB=60,AC=50,BD=110,点 13/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E是线段AB上的任一点，连接EC,以EC为直角边在AC下方作等腰直角三角形ECF，FE为斜边 CD边上存在一个点G,且点G到BD的距离等于20，连接FG,△CFG的周长是否存在最小值？若存 在，请求出△CFG的周长最小值；若不存在，请说明理由. BE 图4 题型4两定两动 啸方法 【基本模型】已知在∠AOB的内侧有两定点M,N,在射线OA,OB上有两动点P,O,在射线OA,OB 上各确定一点P,Q,使得MP+PO+QN+MN最短. M' P'K 内 0 如上图所示，作点M关于射线OA的对称点M',则PM'=PM;作点N关于射线OB的对称点 N'。由于M,N为定点，所以线段MN为定值。因此，若使MP+PO+QN+MN最短，只需令 MP+PO+QN最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点M,N',线段M'N'分别交射线 14/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA,OB于点P,2'。此时，M,P,Q,N'四点共线，能够使得MP+P+QN最短， MP+PO+ON+MN=M'P'+P'O'+O'N'+MN=M'N'+MN 1.(25-26八年级上·河北石家庄·期末)如图是由边长为1的小正方形组成的10×10网格，直线EF是一条 网格线，点E,F在格点上，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上. ①)作出△18C关于直线EF对称的 AB,C (2)在直线EF上画出点M,使四边形AMBC的周长最小，且最小周长为 (3)在这个10×10网格中，到点A和点B的距离相等的格点有 个. 2.(25-26八年级上·安徽阜阳期末)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示： y本 6543210123.4.56x (I)作出△ABC关于y轴对称的图形△ABC: (2)在y轴上是否存在一点P,使四边形ABCP的周长最小.若存在，请在图中标出P点位置，保留作图 痕迹，若不存在，请说明理由. 3.(23-24八年级上重庆渝中月考)如图所示，在直角坐标系中，C(6,0),D(6,6),线段B在y轴上 平移，且满足AB=2,连接AD、BC、CD 15/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C (1)当∠OBC=30°时，BC= (2)当四边形ABCD的周长取得最小值时，求出此时点B的坐标及四边形的最小周长： (3)在(2)的条件下，连接BD,当BD向下平移的过程中，x轴上是否存在一点P,使△BDP为等腰 直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 4.(23-24八年级上·陕西西安阶段检测)(1)问题发现： 如图①，在平面直角坐标系中，已知点 4,2)和点85)则线段4B的长为一 (2)问题探究： 如图②，在平面直角坐标系中，已知 B(6,0),04B为等边三角形，点A在第一象限，点 2.0)在 线段OB上，点M,N分别是边OA,AB上两点，求△CMN周长的最小值. (提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.) (3)问题解决： 为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地OABC上用鲜花摆放一个四边形的图案， B(12,12) 设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，己知点 点A,C在坐标轴上，绿化部 门计划在正方形OABC内围成一个如图所示的四边形AMNP,在其内部摆放花卉图案，其余地方种植 草坪.要求N,P在边BC上，M在OC上，且OM=NP=4.请问是否存在点P,N,使得四边形 AMNP的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由。 B B M ① ② ③ 16/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A(-1,3),B(-2,-1),C(-3,1) ()在图中画出△AB 关于轴对称的图形 AB,C,并写出C的对称点的坐标： (2)若D(6,)与点C关于某一条直线成轴对称，请你在图中用尺规作图作出这条对称轴（不写作法，保 留作图痕迹)： (3)在y轴上确定一点E,使△ABE的周长最小（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 6.(22-23八年级上江苏扬州月考)“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发， 走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题 时抽象出数学模型：直线I同旁有两个定点A、B,在直线I上存在点P,使得PA+PB的值最小. 解法：作点A关于直线I的对称点A,连接A'B,则AB与直线I的交点即为P,且PA+PB的最小值为 线段AB的长， ●B 图1 图2 图3 备用图 ()根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形： (2)利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是 (3)应用： ①如图2，已知∠A0B=30°，其内部有一点P,OP=12,在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于 点O),使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值： 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上，连接AD,在AD 的右侧作等边△ADE,连接EF,则△AEF周长的最小值是一，此时∠CFE= 题型5将军遛马与造桥选址 妹方法 1.将军遛马 【基本模型】已知直线1同侧的两定点A和B,在直线1上有一条线段MN。试确定线段MN在直线1上 的位置，使得AM+MN+NB最短. 如上图所示，作点A关于直线1的对称点A',则AM=A'M。过点A'作一条平行线，并在点A' 的右侧在平行线上作一点A"使得A'A"=MN。此时，由于四边形MNA"A'为oMNA"A',因此 MA'=A"N=AM。由于线段MN为定值，因此若要使AM+MN+NB最短，只需令AM+NB最短 即可。根据两点之间线段最短，连接点B,A"交直线1为点N'。此时AM+NB最短， AM+MN+NB=A"N'+MN+N'B 2.造桥选址 【基本模型】已知有两条平行直线，l,在直线，异侧有两定点A和B,有一条线段MN,且 MN1(,MN1L。试确定线段MN在直线，上的位置，使得AM+MN+NB最短. 18/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如上图所示，过点A作直线1的垂线，在点A'的下侧在垂线上作一点A'使得A4'=MN。此时， 由于四边形MNA'A为oMNA'A,因此AM=A'N。由于线段MN为定值，因此若要使 AM+MN+NB最短，只需令AM+NB最短即可。根据两点之间线段最短，连接点B,A'交直线2为 点N'。此时AM+NB最短，AM+MN+NB=A'N'+MN+N'B 1.(25-26八年级下·全国课后作业)如下图，军营A和军营B在河岸1的同一侧，将军骑马从军营A到河 岸I上的点E处，沿河岸I向东遛马至点F处后骑马去军营B,遛马的距离EF同图中MN的长度，遛马 点E,F如何设置才能使军营A到点E与军营B到点F的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因. 北 东 .B A· M N 2.(25-26八年级上·重庆江津·期末)在“最短路径问题”综合与实践活动中，我们通过牧民饮马、造桥 选址等实际问题，探究出利用轴对称、平移等求最短路径的方法.请结合几何图形的特征继续深入探 究以下问题：己知，如图1，△ABC、△BCD都是等边三角形，O是AB的中点，建立如图平面直角坐 标系，点C坐标为0,33），点8坐标为3,0)， 19/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B 图1 图2 图3 (I)求点A、D的坐标： (2)如图2，点E为y轴上一点，连接BE、DE,求BE+DE的最小值； 3)如图3，点M为CD中点，线段P吧在'轴上滑动，且 PO PO=V ,连接PM、 ，请直接写出 MP+PO+OB 的最小值， 3.(24-25七年级下·江苏南京月考)如图所示，某条护城河在CC处直角转弯，河宽均为5m,从A处到 达B处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如 何选址造桥可使从A处到B处的路程最短？请确定两座桥的位置 北 北 555 0 B。 B.litit 图① 图② (I)如图①，如果点A,点B到外河岸的距离都是5m,请确定两座桥的位置，画出示意图. (2)如图②，如果点A,点B到外河岸的距离分别是8m和3m,请确定两座桥的位置，画出示意图. 4.(25-26八年级上江西赣州期中)综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计 了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，40,2)，B4),在销上找点C,使得4C+C 的值最小你能求出点C的坐标吗？ 【方法探究】 (1)小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点A',连接AB交轴于点C,则此 20/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时1C+BC OB 的值最小；然后连接 B,利用 .os=S.c+S,ac, 列方程求出点的坐标.请按小明的 方法完成画图，并求出点C的坐标： 【类比推广】 (2)小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，在平 A(0,2)B(5,-3) 直线m经过点 D(0,-1) 面直角坐标系中， 且与轴平行，分别在x轴和直线m上 找点M,N,使得MN⊥x轴，且AM+BN的值最小，请在图2中画出点M和点N的位置，并求出点 M,N的坐标： 【拓展创新】 (3)如图3，在平面直角坐标系中， 40,6),B(60),点C线段01上，且0C=2,0D1BC交 AB于点D,求点D的坐标. B A D 2 B B 图1 图2 图3 5.(23-24八年级下·福建漳州期中)河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间（如图），要在 河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A,B间的路程最短.确定桥的位置的方案如下：作从A到河 岸的垂线，分别交河岸PO,MN于F,G.在AG上取AE=FG,连接EB,EB交MN于D.在D处 作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明. F M G 21/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(21-22七年级上·全国课后作业)河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间（如图1）·要 在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A,B间的路程最短.确定桥的位置的方法如下：作从A到 河岸的垂线，分别交河岸PQ,MN于F,G.在AG上取AE=FG,连接EB,EB交MN于D.在D处作 到对岸的垂线DC,那么DC就是造桥的位置. A 12 B· 3 P F Q M N 图1 图2 (I)分析桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD+DB)最短的理由. (2)利用前一问的做法，解决下面的问题：如图2所示A、B、C三地被两条河隔开，现要修两座与河 岸垂直的桥，如何修使A到B到C的路程最短？请作出示意图. 22/22