七年级数学下学期第一次学情自测·培优卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 整式的乘法～第3章 一元一次不等式（组））

七年级数学下学期第一次学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·浙江舟山·月考）若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断各选项的正误，找出错误选项即可． 【详解】解：A选项：根据不等式性质1，两边同时减2，得，故本选项正确； B选项：根据不等式性质1，两边同时加2，得，故本选项正确； C选项：根据不等式性质3，两边同时乘，不等号方向改变，得，故本选项错误． D选项：根据不等式性质2，两边同时除以2，不等号方向不变，得，故本选项正确． 综上，错误的是C选项． 2．（25-26八年级上·海南海口·期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故不符合题意； B．是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D．是无理数，故符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·吉林白山·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的相关运算法则及同类项的合并规则，需根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，以及同类项的定义逐一判断选项． 【详解】∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A选项错误； ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故B选项正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故C选项错误； ∵与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴，故D选项错误． 4．（25-26九年级上·湖北·期末）不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先解每个不等式，得到解集的范围，然后找出所有整数解，并求和即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组：， 解第一个不等式 ，得 ， 解第二个不等式 ，得， ∴ 不等式组的解集为 整数解为 和为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解法及不等式的应用，将两个方程相加，得到关于的表达式，再根据解不等式即可，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 6．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果，第二次运算结果列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运算程序并列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，x的取值范围是． 故选：C． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 10．（25-26九年级上·重庆·期中）对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的“积差操作”，需要列出所有可能的操作组合，计算结果，并判断各说法的正确性． 【详解】解：； ； ； ； ； 结果中，有不同结果有5种：0、、、、． 说法：存在结果为0的操作，0总是3的倍数，正确．   说法：存在结果为0的操作，错误．   说法：有5种不同结果，正确． 正确个数为2． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式的解集，然后在，，，，这五个数中找出符合条件的解，即可得解． 【详解】解：∵， 解得， 在，，，，这五个数中， 是不等式解的有，，，共个． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南信阳·月考）若，则____． 【答案】3 【分析】先将等式两边化为同底数幂，根据同底数幂相等则指数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：将原方程左边变形，可得， 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得， 因此原方程可化为， 因此得， ∴． 13．（25-26八年级上·上海宝山·期末）若，则的值为_____ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值，是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值，再求出的值，最后计算有理数的乘方运算． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 解此不等式组，得． 将代入，得． 则． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 16．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的最大值是______． 【答案】17 【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用、非负数的性质，根据连等式将都转化为同一个参数是解题的关键． 设，用含的式子分别表示，通过计算可得，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为17， 即的最大值是17． 故答案为：17． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 18．（6分）（25-26八年级上·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，根据立方根，算术平方根的性质进行化简，进行解答即可； （2）根据立方根，算术平方根的性质进行化简，进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）（25-26八年级上·山东济宁·月考）（1）先化简，再求值，其中； （2）已知，求的值． 【答案】（1），（2）0 【分析】本题主要考查了整式化简求值， （1）首先进行单项式乘以多项式运算，再去括号，合并同类项进行化简，然后将代入计算即可； （2）首先进行多项式乘以多项式运算、利用完全平方公式进行运算，然后去括号、合并同类项进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ， 当时，原式； （2）原式 ， ∵， ∴原式． 20．（8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）(1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值． (2)已知是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)2 【分析】（1）根据平方根的性质以及立方根的概念，列出方程即可求解； （2）利用平方根、立方根的概念求出a、b的值，通过估算无理数，可得x的值，进而即可求解 【详解】解：（1）某正数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∵的立方根为2， ∴，解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分为， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵4的算术平方根为2，即的算术平方根为2． 21．（10分）（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 22．（10分）（25-26九年级上·广西玉林·期末）据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建，两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． (1)若搭建2个类展位和3个类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个类展位和1个类展位，共需搭建费用1600元．求类展位和类展位的搭建费用单价各是多少？ (2)组委会计划搭建，两类展位共80个，其中类展位的数量不少于类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个类展位？ 【答案】(1)、两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元； (2)组委会至少要搭建54个类展位 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系列出方程组和不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设、两类展位搭建费用的单价分别为元，元， 根据题意得：， 解得． 答：、两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元． （2）解：设搭建类展位个，则搭建类展位个，依题意得， ， 解得， ∵为展位数量，需取正整数， ∴的最小值为54． 答：组委会至少要搭建54个类展位． 23．（12分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 24．（12分）（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第一次学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章整式的乘法~第3章一元一次不等式（组） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·浙江舟山·月考）若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·海南海口·期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·吉林白山·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北·期末）不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 10．（25-26九年级上·重庆·期中）对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有________个． 12．（25-26八年级上·河南信阳·月考）若，则____． 13．（25-26八年级上·上海宝山·期末）若，则的值为_____ 14．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 16．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 19．（8分）（25-26八年级上·山东济宁·月考）（1）先化简，再求值，其中； （2）已知，求的值． 20．（8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）(1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值． (2)已知是的小数部分，求的算术平方根． 21．（10分）（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 22．（10分）（25-26九年级上·广西玉林·期末）据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建，两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． (1)若搭建2个类展位和3个类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个类展位和1个类展位，共需搭建费用1600元．求类展位和类展位的搭建费用单价各是多少？ (2)组委会计划搭建，两类展位共80个，其中类展位的数量不少于类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个类展位？ 23．（12分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 24．（12分）（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $