11.2全等三角形同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

11.2 全等三角形 知识梳理 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 2.一般三角形全等的判定定理（4种），需满足三组对应元素相等，且判定定理中至少包含一组对应边相等，具体为： · SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等； · SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（注意是夹角，非邻角）； · ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； · AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。 · 关键易错点：SSA（两边及其中一边的对角） 不能判定一般三角形全等，是判定的常见误区。 3.直角三角形全等的特殊判定：HL（斜边、直角边），在两个直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。HL是直角三角形独有的判定方法，也可沿用一般三角形的4种判定定理。 4.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；延伸性质：全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等，周长相等，面积相等。性质的核心应用是：证明三角形全等后，可通过对应关系求未知的边或角。 5.全等三角形的证明步骤： · 审题：确定要证明的两个三角形，找出已知的边、角相等条件； · 找条件：结合图形隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等）、平行线性质、角平分线定义、垂直定义等，补充所需的相等条件； · 选判定：根据已知条件选择合适的判定定理（如已知三边选SSS，已知直角三角形斜边+直角边选HL）； · 写证明：按照判定定理的顺序，规范书写全等的条件，得出三角形全等的结论，再利用性质推导后续边、角关系。 6.图形中常见的相等条件挖掘： · 公共边、公共角为天然的相等对应边、对应角； · 对顶角相等； · 垂直的定义可得到90°的直角相等； · 平行线的性质可得到同位角、内错角相等； · 角平分线的定义可得到两个角相等； · 等式的性质：如由可得，即，用于推导对应边相等。 7.全等三角形的常见应用： · 求线段的长度、角的度数：通过证明三角形全等，将未知边/角转化为已知的对应边/角； · 证明线段相等、角相等：证明两条线段/两个角所在的三角形全等，利用性质直接得出结论； · 实际操作：如利用SSS判定作角的平分线，利用全等三角形的性质测量不可直接测量的距离。 8.构造全等三角形的简单辅助线作法： · 延长线段：如延长角平分线的垂线，构造等腰三角形与全等三角形； · 作垂线：在直角三角形相关证明中，作边的垂线，得到直角相等的条件，为HL/AAS/ASA判定创造条件； · 截长补短：在证明线段和差关系时，通过截长或补短构造全等三角形，转化线段关系。 9.判定三角形全等的常见思路： · 已知两边：找夹角（SAS）、找第三边（SSS），若为直角三角形直接用HL； · 已知一边一角：若角为夹角，找另一边（SAS）；若角为对边，找另一角（AAS）；若为直角，用HL； · 已知两角：找夹边（ASA）、找任意一组等角的对边（AAS）。 同步训练 一、单选题 1．如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 4．如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6．王刚同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 二、填空题 8．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 9．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充的条件是___________．（填写一个即可） 10．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 11．如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 三、解答题 12．如图，在中，是的高，平分，，，求的度数． 13．如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 14．如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 16．如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 《11.2 全等三角形 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学七年级下册》参考答案 1．B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：在和中， ，， 当时，满足“”判定定理，可证明； 当时，属于“”，不能证明； 当时，，即，满足“”判定定理，可证明； 当时，满足“”判定定理，可证明． 2．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．根据垂直的定义得到根据平行线的性质得到，证明得出，进而根据，即可求解． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中 ． ∴， ∴， ∴     故选：B． 3．D 【分析】根据题意，得到两个三角形对应的三条边相等，从而判定，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，、、， ， 则， 即射线是的角平分线， 依据的数学基本事实是“三边分别相等的两个三角形全等”． 4．D 【分析】通过、、、判定三角形全等的判定方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即， 选项： ， ∵，，， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， 即对顶角相等，无法直接得出，符合题意． 故选：． 5．C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故选：C． 6．C 【分析】由题意得，，，再证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 在和中， ， ； ∴， ，即两堵木墙之间的距离为． 7．D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 8． 【分析】根据条件，通过证明，得到，，之间的关系，再利用已知角度关系求解即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． 9．（或） 【分析】本题主要考查了利用判定直角三角形全等，已知，，只需要斜边相等即可判定，可以直接添加；也可以添加，利用线段的关系证明． 【详解】解：，， 方法一、 若添加， 在和中，， ； 方法二， 若添加， 可得：， ， 在和中，， ； 需补充的条件是或． 故答案为：或． 10．2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 11． 【分析】如图所示，延长交于点，可证，得到分别为的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵垂直于的平分线于点P， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∵，， ∴． 12． 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先根据三角形内角和得到，根据角平分线可得到，根据是的高，可得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 即， ∴的度数为． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 14．(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“角角边”可证明，再由全等三角形的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 中，， ． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 16．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先证明，再证明，证明即可； （2）根据平行线的判定，证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ． （2）解：，理由： 由（1）知：， ． 在和中， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $