八年级数学下学期第一次学情自测·培优卷（新教材北师大版，举一反三,测试范围：第1章 三角形的证明及其应用～第3章 图形的平移与旋转）

八年级数学下学期第一次学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸属于中心对称图形的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是根据中心对称图形的定义（绕某点旋转后与原图形重合）逐一判断选项． 1． 明确中心对称图形的定义； 2． 依次将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否与原图形重合； 3． 确定符合条件的选项． 【详解】解：中心对称图形的定义是“绕某点旋转后与原图形重合”，据此分析选项∶ 选项A（灯笼）：旋转后，顶部装饰与底部形状无法重合，不是中心对称图形； 选项B（脸谱）：旋转后，图案细节（如纹路方向）会颠倒，无法与原图形重合，不是中心对称图形； 选项C（双鱼）：绕图形中心旋转后，与原图形完全重合，是中心对称图形； 选项D（花卉）：旋转后，花枝方向等细节无法重合，不是中心对称图形． 故选C． 2．（25-26八年级上·浙江舟山·月考）若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断各选项的正误，找出错误选项即可． 【详解】解：A选项：根据不等式性质1，两边同时减2，得，故本选项正确； B选项：根据不等式性质1，两边同时加2，得，故本选项正确； C选项：根据不等式性质3，两边同时乘，不等号方向改变，得，故本选项错误． D选项：根据不等式性质2，两边同时除以2，不等号方向不变，得，故本选项正确． 综上，错误的是C选项． 3．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解： 是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 6．（25-26八年级上·福建三明·期中）在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，7，8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 故选：． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解法及不等式的应用，将两个方程相加，得到关于的表达式，再根据解不等式即可，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 8．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定和性质和垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键，连接，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，再根据，证得是等边三角形，通过边角关系进行计算求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果，第二次运算结果列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运算程序并列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，x的取值范围是． 故选：C． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵ 是等边三角形，是等腰三角形，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∴ 的周长． ∵ ， ∴的周长为． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式的解集，然后在，，，，这五个数中找出符合条件的解，即可得解． 【详解】解：∵， 解得， 在，，，，这五个数中， 是不等式解的有，，，共个． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·吉林·月考）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中，__________ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形中，，是边上一点，且，绕点旋转后得到，则的长度为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、图形旋转的性质等知识点，掌握旋转前后对应边相等的性质，以及等边三角形三边相等的特点是解题的关键． 先利用等边三角形三边相等的性质求出BC的长度，再根据算出的长，最后通过旋转的全等性质得到，进而求出的长度． 【详解】解：∵是等边三角形，且 ∴ ∵，且 ∴ ∴ ∵绕点旋转后得到 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为____． 【答案】4 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又 ，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 18．（6分）（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，；，， 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键． （1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 故答案为：，；，，． 19．（8分）（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 20．（8分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，得到，推出是等边三角形，得到，平角求出，三角形的内角和定理推出，即可得证； （2）过点作，垂足为，旋转得到，等积法求出，进而得到是的角平分线，平行加上角平分线的定义，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：是旋转得到的图形， ，， 是等边三角形． ． ， ， ． ， ． （2）证明：过点作，垂足为． ， ， ． 是旋转得到的图形， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， 是等腰三角形， ． 21．（10分）（25-26九年级上·广西玉林·期末）据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建，两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． (1)若搭建2个类展位和3个类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个类展位和1个类展位，共需搭建费用1600元．求类展位和类展位的搭建费用单价各是多少？ (2)组委会计划搭建，两类展位共80个，其中类展位的数量不少于类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个类展位？ 【答案】(1)、两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元； (2)组委会至少要搭建54个类展位 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系列出方程组和不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设、两类展位搭建费用的单价分别为元，元， 根据题意得：， 解得． 答：、两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元． （2）解：设搭建类展位个，则搭建类展位个，依题意得， ， 解得， ∵为展位数量，需取正整数， ∴的最小值为54． 答：组委会至少要搭建54个类展位． 22．（10分）（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 23．（12分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 24．（12分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）已知：等边中，点为线段上一动点，点与不重合，点在延长线上，且，确定与大小关系．    (1)当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，并证明你的结论． (2)如图，当不是的中点时，（）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系；若成立，请给予证明． (3)在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，的边长为，，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（）根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一证明； （）作，证明，根据全等三角形的性质解答； （）分点在的延长线上、点在的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）解：， 理由如下：∵为等边三角形，， ∴平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当点为上任意一点时，如图，与的大小关系不会改变，即（）中的结论成立． 理由如下：如图，过作交于，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即； （3）当点在延长线上时，如图，作交的延长线于，    则为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，仿照以上作法可知，同理可得：， ∴，    综上所述，或． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第一次学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第3章 图形的平移与旋转 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸属于中心对称图形的是 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江舟山·月考）若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 3．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 6．（25-26八年级上·福建三明·期中）在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，7，8 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有________个． 12．（24-25八年级上·吉林·月考）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则______度． 13．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中，__________ 14．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形中，，是边上一点，且，绕点旋转后得到，则的长度为_________． 15．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为____． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 18．（6分）（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 19．（8分）（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 20．（8分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 21．（10分）（25-26九年级上·广西玉林·期末）据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建，两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． (1)若搭建2个类展位和3个类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个类展位和1个类展位，共需搭建费用1600元．求类展位和类展位的搭建费用单价各是多少？ (2)组委会计划搭建，两类展位共80个，其中类展位的数量不少于类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个类展位？ 22．（10分）（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 23．（12分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 24．（12分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）已知：等边中，点为线段上一动点，点与不重合，点在延长线上，且，确定与大小关系．    (1)当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，并证明你的结论． (2)如图，当不是的中点时，（）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系；若成立，请给予证明． (3)在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，的边长为，，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $