10.4一元一次不等式与一次函数同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

10.4 一元一次不等式与一次函数 知识梳理 1.一次函数与一元一次方程的基础联系：对于一次函数（），当时，对应一元一次方程，该方程的解就是一次函数图象与轴交点的横坐标；这是连接一次函数与一元一次不等式的基础，不等式可看作是一次函数中取某一范围值时的情况。 2.单个一次函数与一元一次不等式的关系：对于一次函数（）， · 不等式的解集，对应函数图象在轴上方部分的自变量的取值范围； · 不等式的解集，对应函数图象在轴下方部分的自变量的取值范围； · 求解时需结合的正负判断函数的增减性，快速确定取值范围的分界点（与轴的交点）。 3.两个一次函数比较大小与不等式的关系：设两个一次函数为、（，），两函数图象的交点横坐标为， · 不等式的解集，对应的图象在图象上方部分的自变量的取值范围； · 不等式的解集，对应的图象在图象下方部分的自变量的取值范围； · 交点横坐标是两个不等式解集的分界点，结合图象可直观判断左右两侧的大小关系。 4.一次函数与一元一次不等式组的结合：形如的不等式组，解集为同时满足和的取值，对应一次函数的图象在轴上方且在图象下方的部分，求解时需找到两个关键分界点：与轴的交点横坐标、与的交点横坐标。 5.核心思想——数形结合：将代数层面的一元一次不等式（组）问题，转化为几何层面的一次函数图象问题，通过观察图象的位置关系（上下、与坐标轴的相交）直接确定不等式的解集；反之，也可根据不等式的解集，分析一次函数的图象特征（如增减性、交点位置、与坐标轴的交点）。 6.一次函数与不等式的综合应用： · 先利用待定系数法，结合函数图象上的点坐标求出一次函数解析式，再根据不等式要求结合图象求解； · 解决直线与线段有公共点的参数取值问题时，将线段的两个端点坐标代入一次函数，结合题意列出不等式组，求解参数范围； · 结合几何图形（如三角形面积）的条件时，先根据面积关系列出等式/不等式，再结合一次函数解析式求解点的坐标或参数范围。 7.一次函数的平移与不等式的关联：一次函数图象遵循“上加下减、左加右减”的平移规律，平移后的函数解析式仅常数项或自变量发生变化，求解对应不等式时，只需先确定平移后的解析式，再按常规数形结合方法求解即可。 8.常见易错点： · 找不等式解集时，混淆交点横坐标左右两侧的图象位置关系，尤其当（函数随增大而减小）时易出错； · 解决直线与线段的交点问题时，忽略线段的端点取值，未考虑等号是否成立； · 处理含参数的一次函数不等式问题时，未对参数的正负进行分类讨论，导致解集遗漏。 同步训练 一、单选题 1．已知一次函数（ k为常数，）．当时，，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数（a，b是常数）的图象过点，，下列说法中，正确的是（） A．图象经过第二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 3．将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到一次函数的图象，下列结论中错误的是（    ）． A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 4．若一次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A． B．图象与轴的交点为 C．随的增大而增大 D．当时， 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 二、填空题 7．已知，，若满足，则的取值范围是__________． 8．已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____． 9．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．若直线始终与线段有公共点，则的取值范围是___________． 11．一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集是______． 三、解答题 12．在平面直角坐标系中，将函数的图象经过平移得到函数的图象，已知平移后的图象经过点． (1)求函数的表达式； (2)当时，的值总是小于的值，求的取值范围． 13．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 14．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)填空：不等式：的解集是______； (3)若点在的图象上，且满足，直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 《10.4 一元一次不等式与一次函数 同步训练 2025-2026学年鲁教版五四制数学七年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D D D B 1．C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，分当，，两种情况讨论，再结合当时，，得出不等式，解不等式即可． 【详解】解：当时，一次函数为增函数．要使当时，恒成立，则该一次函数图象与轴的交点的横坐标需要满足． 解得，与矛盾，故此种情况不存在． 当时，一次函数为减函数．要使当时，恒成立，则当时，必有．即． 解得，即． 又∵， ∴； 故选C． 2．C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，结合已知条件和一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故本选项错误． B、∵一次函数中，， ∴随的增大而增大，故本选项错误． C、∵一次函数的图象过点， ∴当时，， ∴方程的解是，故本选项正确． D、∵随的增大而增大，且当时，， ∴当时，， 即不等式的解集是，故本选项错误． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，一次函数的性质，掌握好平移规律是关键． 根据平移规律确定的值得到解析式，再逐一验证各选项找出错误结论即可． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移个单位长度，根据“上加下减”的平移规律， ∴得到的一次函数解析式为，即， 对于选项A：由上述推导得，此选项正确，不符合题意； 对于选项B：将代入，得， ∴图象经过点，此选项正确，不符合题意； 对于选项C：∵在中，， ∴随的增大而减小； 又∵当时，， ∴当时，，此选项正确，不符合题意； 对于选项D：∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴，此选项错误，符合题意． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，关键是根据图象上的点坐标求出函数解析式，再结合一次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，一次函数经过点和． 将代入，得，故A正确． 将和代入，得，解得， ∴函数解析式为． 当时，，解得， ∴图象与轴的交点为，故B正确． ∵， ∴随的增大而增大，故C正确． 当时，则，故D错误． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，根据两直线的交点为，并结合函数图象即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ∴结合图象可得，当时，直线位于直线的上方， ∴关于的不等式的解集是， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 当时，图象位于x轴的上方，则有，D选项错误， 故选：B． 7． 【分析】根据列出一元一次不等式，再依据解一元一次不等式的法则求解即可． 【详解】解：依题意， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 8． 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．将代数式视为关于的一次函数 ，根据一次函数的单调性，结合的取值范围，分情况讨论 的符号，求出自变量的取值范围． 【详解】解：代数式可化为． 当，即 时，随增大而增大，需，即，解得，所以． 当，即 时，随增大而减小，需，即，解得，所以． 当，即 时，，恒成立． 综上所述，的取值范围为 ． 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【详解】解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查一次函数与线段的交点问题．由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵直线与线段有公共点， 解得， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查一次函数交点与不等式的关系，解题的关键是看懂一次函数图像． 根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：由图像可得， 在P点右侧的图像在的下方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 12．(1) (2) 【分析】（1）先根据平移得出，再将点，代入求出即可； （2）先求出直线与直线的交点坐标为，然后结合图形得出答案即可． 【详解】（1）解：将函数的图象经过平移得到函数的图象， ，即． 平移后的图象经过点， ， 解得：， 函数的表达式为． （2）解：由题意联立方程，得， 解得：， 直线与直线的交点坐标为． 如图，当时，的值总是小于的值， 的取值范围为． 13．(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 14．(1)直线为，直线； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 15．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）根据题意得出，再利用待定系数法求解即可； （2）根据两条直线的交点坐标，结合函数图象得出答案即可； （3）先求出点B的坐标，得出的面积，分两种情况分析：当点D在直线左侧时，当点D在直线右侧时，结合图形分别计算面积求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 将点、代入得：， 解得：； （2）解：根据图象可知：不等式的解集是：； 故答案为：； （3）解：由（1）得直线的解析式为：， 令，则，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点D在直线左侧时， ， ∴此时点M与点D重合， ∴； 当点D在直线右侧时， 设点D的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴点D的坐标为 综上：点D的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $