10.2不等式的基本性质同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

10.2 不等式的基本性质 知识梳理 1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。用字母表示为：若，则。该性质与等式的相关性质一致，移项规则也和一元一次方程相同，移项需变号。 2.不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用字母表示为：若，，则，。 3.不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用字母表示为：若，，则，。这是不等式与等式性质的核心区别，也是变形的主要易错点。 4.不等式的传递性：若，，则，可用于多个数量之间的大小推导与比较。 5.不等式的化简变形：利用不等式的基本性质，可将不等式化成、或、的最简形式，变形步骤通常为移项、合并同类项、系数化为1；系数化为1时，需重点判断系数的正负，系数为负时必须改变不等号方向。 6.作差法比较大小：这是比较数或代数式大小的常用方法，依据为：若，则；若，则；若，则。通过计算两个对象的差，判断差的符号，即可确定两者的大小关系。 7.常见易错点：①乘除同一个负数时，忘记改变不等号方向；②误认为“则”恒成立，该结论仅在、均为正数时成立，若含负数则不一定（如，但）；③在不等式两边同时乘除一个代数式时，未判断其正负性就直接确定不等号方向。 8.性质的实际应用：解决盈利、质量比较、数轴上数的大小关系等实际问题时，先根据题意列出原始不等式，再利用不等式的基本性质逐步变形求解，最终确定量与量之间的不等关系。 同步训练 一、单选题 1．若，则下列各式中正确的是(　　) A． B． C． D． 2．已知，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若是实数，则（    ） A． B． C． D． 6．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 7．根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 8．若，则，这个命题是_________命题（填“真”或“假”） 9．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____（填“”“”或“”）． 10．若，其中a，b为相邻的整数，则_____． 11．根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 12．若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 三、解答题 13．已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 14．将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 15．某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 16．下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 17．阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，．请你直接写出与的大小比较后的结果． 学科网（北京）股份有限公司 《10.2 不等式的基本性质 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学七年级下册》参考答案 1．C 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三个基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．首先由已知条件推导得出，再根据不等式的性质逐一分析各选项即可判断对错． 【详解】解：， ． 对于选项A：取特殊值，，满足，但，与矛盾，故A选项错误； 对于选项B：根据不等式性质1，两边同时减去9，不等号方向不变， ，故B选项错误； 对于选项C：根据不等式性质1，两边同时加上，不等号方向不变， ，即，故C选项正确； 对于选项D：根据不等式性质3，两边同时乘以(负数)，不等号方向改变， ，故D选项错误． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查不等式的基本性质．熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变，是解题的关键．通过对已知不等式进行合理变形，对比选项即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴不等式两边同时加， ∴， 即，其他选项均不符合不等式的基本性质． 故选：． 3．C 【分析】本题考查了判断命题的真假方法—举反例，不等式的性质，掌握知识点是解题的关键． 逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】解：A、∵，， ，，， ， ∴， 故命题“若，则”成立，不符合题意． B、∵，， ，，， ， ， 故命题“若，则”成立，不符合题意． C、∵，， ，，， ， ， 故命题“若，则”不成立，符合题意． D、∵，， ，，， ， ∴， 故命题“若，则”成立，不符合题意． 故选：C． 4．C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 5．D 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据的条件，利用不等式性质与正负数运算的符号规律，判断各选项的正误即可． 【详解】解：∵， ∴（不等式两边同时减去，不等号方向不变）， 又∵， ∴， ∵两个负数相加的结果为负数， ∴，D正确； 取，，，可得，A错误； 取，，，可得，B错误； ∵，， ∴， 又， ∴，C错误； 故选：D． 6．C 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系． 【详解】 解：设为a，为b，为c， 则由第一个图可知， ， ， 由第二个图可知， ， ， 这三种物体按质量从大到小排列应为． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查绝对值，数轴，关键是掌握绝对值的意义，不等式的性质，数轴上的点表示的数，从左向右越来越大．根据图形得到：，，由不等式的性质即可判断． 【详解】解：根据图形得到：，， ①因为， 所以，故①符合题意； ②因为， 所以即，故②符合题意； ③因为， 所以，故③符合题意； ④，正确，故④符合题意． 所以正确的有4个． 故选：D． 8．真 【分析】本题主要考查了判定命题的真假，理解题意是解决本题的关键． 根据不等式的性质，如果，则． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴该命题是真命题． 故答案为：真． 9． 【分析】本题考查了实数的大小比较，数轴和不等式的性质等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据数轴得出，再根据不等式的性质进行变形即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故答案为：． 10．19 【分析】本题考查了无理数的估算．通过估算的范围，确定的范围，从而得到相邻整数a和b的值，再求和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，其中a，b为相邻的整数， ∴， ∴， 故答案为19． 11． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以， ∵不等号由“”变成“”， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，直接得到比较结果． 【详解】解：由，两边同时乘，得， 故答案为：． 13．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，将不等式两边同除以3，再同减去2即可； （2）根据不等式的基本性质，将不等式两边同乘以，得到，再两边加上3即可． 【详解】（1）解：； 理由：， ， ； （2）解：． 理由：， ， ． 14．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 15． 【分析】本题考查了不等式基本性质的应用，正确理解题意列不等式求解是关键．根据题意列出不等式，整理得，再根据不等式基本性质即可得出． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 不等式两边都减去，得， 不等式两边都除以5，得， 所以a与b的大小关系为． 16．见解析 【分析】注意不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变． 【详解】解：∵， ∴，即是负数． 在不等式两边同时除以时， 因为除以的是一个负数，根据不等式的性质，不等号的方向应该改变，即，而不是． 17．(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘法，整式的加减，掌握作差法比较大小是解题关键． （1）将、展开并作差，根据差的符号判断大小； （2）令，再将，转化为整式运算，然后作差判断符号，得出结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ． 答：． （2）解：设， 则，， ，， ， ， ． 答：． 学科网（北京）股份有限公司 $