精品解析：宁夏银川市灵武市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期期末学业水平检测试卷九年级数学 满分120分，时间120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．通过因式分解法解一元二次方程，利用零乘积性质求根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 即或． 小聪只得到，故被漏掉的根是． 故选：B． 2. 为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积． 【详解】解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为， 长方形的面积为：， 则椭圆的面积为． 3. 若，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案． 【详解】解：∵， 设， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 4. 下列描述正确的是（ ） A. 对角线垂直的四边形是菱形 B. 匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C. 若点C是线段的黄金分割点，，则 D. 正三棱柱的俯视图为等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题为概念辨析题，考查菱形判定、投影分类、黄金分割定义和几何体三视图的基础概念，逐一辨析选项即可得到结果． 【详解】解：∵对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线垂直的任意四边形不一定是菱形，故A错误； ∵灯光属于点光源，点光源下的影子是中心投影，平行投影由平行光线形成，故B错误； ∵点C是线段的黄金分割点，题目未说明是较长线段，因此有两种情况，即或，故C错误； ∵正三棱柱上下底面为等边三角形，其俯视图为等边三角形，描述正确，故D正确， 综上，描述正确的是D． 5. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知，则斜坡坡度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得该直角三角形中，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，即， ， ，即， ， ∴，即斜坡坡度是． 6. 如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 但当，四边形不一定是正方形，故添加不使平行四边形成为正方形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 故选：． 7. 一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，上水面所在圆的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，，上水面，过点A作，垂足为F，交于点G，则，，，由等腰三角形三线合一，得，；可证，于是，求得． 【详解】解：如图，，上水面，过点A作，垂足为F，交于点G，则， ∴ 由题知，， ∴， 　即上水面所在圆的半径长为线段长 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造相似三角形，寻求线段之间的数量关系是解题的关键． 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】把代入反比例函数得，把代入，得， ∴，故①错； 联立两函数解析式，解得， ∴，故②对； 观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③对； 由、、可知，， ∴，故④错． 综上，结论②③正确，正确的个数是2个， 故选B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知α为锐角，且，则α等于____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】先根据特殊角的余弦值确定的度数，再求解α的值即可． 【详解】解：∵， 又∵α为锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______m． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成比例是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成比例即可得出结论． 【详解】解：设这栋楼的高度为， 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为， 解得． 答：这栋楼的高度为， 故答案为：60 11. 某品牌新能源汽车的销售量从1月份的万辆增长到3月份的万辆，设从1月份到3月份的月平均增长率为x，则列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一元二次方程的实际应用中的平均增长率问题，根据增长后总量的关系，结合已知3月份的销售量列方程即可． 【详解】解：∵1月份销售量为10万辆，月平均增长率为x， ∴2月份销售量为万辆，3月份销售量为万辆， 又∵3月份销售量为12.1万辆， ∴列方程得． 12. 如图，在矩形中，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及菱形的判定与性质，连接，证明四边形是菱形，由勾股定理得，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴ ∵点，，，分别为，，，的中点． ∴分别是的中位线， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴ ∴菱形的周长, 故答案为：20 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则反比例函数的图象位于第_____象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】由方程没有实数根可得，从而得到的取值范围，根据的符号判断反比例函数的图象所在的象限即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限． 14. 如图，在平行四边形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，, ，, , ， , 15. 如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则反比例函数的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要利用反比例函数与一次函数的交点问题，结合几何图形的面积计算来求解k的值，通过分析的面积与矩形面积的关系，利用反比例函数比例系数的几何意义来确定k的值，最终可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：如图，作轴于点D， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 而， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 16. 如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先对主视图和左视图的面积表达式进行因式分解，得出长、宽、高相关信息，再根据长方形面积公式得出俯视图的面积表达式，最后结合已知条件通过解一元二次方程即可求解x的值． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 即x的值为1． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】分别根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值及绝对值求出各项的值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 在解一元二次方程时，小明的解法如下，请按要求完成下列问题． 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：或 第五步：， （1）小明第三步配方的依据是__________； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 （2）上述解题过程中，第________步有误，错误原因是_________，此方程正确的解是________________； （3）用合适的方法解方程：． 【答案】（1）A （2）二，没有给等号右边加1，， （3）， 【解析】 【分析】（1）配方法的依据是完全平方公式，即，据此可得出结果； （2）需要检查每一步的计算是否正确，找出错误的步骤并分析原因，然后求解方程； （3）使用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：A项：完全平方公式是，在配方时，通常会使用该公式来将方程转化为完全平方的形式； B项：平方差公式是，与配方无关； C项：多项式与多项式乘法法则是，也与配方无关， ∴小明第三步配方的依据是完全平方公式，选A． 【小问2详解】 解：小明在解题过程中，第二步有误，错误原因是没有给等号右边加1， 正确的解题过程如下： ， ， ， ， 或， ，． 【小问3详解】 解：， ，，， ， ， ，． 19. 如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出，此时与的面积比为________； （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，需要将点A和点B分别沿着和的方向，以点C为中心，延长到原来的2倍距离，得到点M和N，最后连接、、即可得到放大后的三角形，由位似图形的性质可知，三角形面积比为位似比的平方； （2）利用平行线分线段成比例定理，先构造直角三角形，然后在上截取3个单位长度和2个单位长度的线段，找到第二个分点N，过点N作一条平行于的格线，该格线与的交点即为所求的点M． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，点M即为所求： 20. 如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 21. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】（1）①随机；②5，3 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②5，3； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 22. 近年来“中国花卉博览园”每年的月都为八方来客奉上一场具有时代气息的菊花文化盛宴，市民们也常在当季购买菊花观赏．某菊花供应商有一种菊花，进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，菊花节期间平均每天可以售出20盆．菊花节落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价4元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． （1）降价后每盆的利润是________元；每天卖出_______盆；（用含的代数式表示） （2）菊花供应商想要达到每天700元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）每盆应降价10元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出相应的代数式即可； （2）根据“每盆的利润销售量总盈利”列出方程并求解，选择更实惠的降价即可． 【小问1详解】 解：降价后每盆的利润是（元）；每天卖出（盆）； 【小问2详解】 解：由题意列方程得：， 解得：，， ， 为让市民得到实惠，x应取10． 答：菊花供应商想要达到每天700元的盈利，同时想让市民得到实惠，每盆应降价10元． 23. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 24. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？ 【答案】（1） （2）米 （3）米 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为并代入与的函数关系式，求出的值再减去的长即可； （3）设点的坐标为并代入与的函数关系式，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【小问1详解】 解：米，米， 点的坐标为， 设段滑梯所在的双曲线的解析式为为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 段滑梯所在的双曲线的解析式为． 【小问2详解】 设点的坐标为， 将代入， 得， 解得， 米， ，之间的水平距离为米． 【小问3详解】 设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离至少米． 25. 如图，在四边形中，平分，，点为的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，则可得，再结合平分即可证明 （2）利用，，可得，再利用相似的性质即可得； （3）利用平行判定，求出，再利用线段的比例性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 26. 【明晰研究路径】 函数是描述客观世界运动变化的重要模型，我们在学习一次函数时，是按照现实问题→函数概念→函数的图象与性质→函数的应用，这样的研究路径对一次函数展开研究的． 类比一次函数的研究路径，我们研究了反比例函数．其中，“反比例函数的性质”采用由特殊到一般的研究思路，对k分类讨论，分别研究了和的情况，画出具体函数的图象，数形结合，归纳出这类特殊函数的图象特征（形状、位置）和性质（增减性、对称性），进而推广到更一般的情况，最后再综合运用函数知识解决实际问题． 【迁移研究路径】 小明借鉴研究反比例函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． （1）绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中m_________； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①_________________； ②_________________； （3）观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接，，则__________； （4）知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C，D，请计算的面积． 【答案】（1）1，见解析 （2）①函数的图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （3）2 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意将代入即可求解； （2）根据题意看图即可求解； （3）将点,的坐标求出来即可求解； （4）联立方程即可求解点，的坐标求出来即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，当时，， 当时， 则， 补全图象如图所示： 【小问2详解】 解：①函数的图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 【小问3详解】 解：由题意可知，当时，或， 则点A的坐标为：， 点B的坐标为：， 则 【小问4详解】 解：当时，联立得， 整理得，解得或， 当时，；当时，； 如图，设直线与轴交于点E， 则、，， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末学业水平检测试卷九年级数学 满分120分，时间120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（ ） A. B. C. D. 2. 为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 下列描述正确的是（ ） A. 对角线垂直的四边形是菱形 B. 匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C. 若点C是线段的黄金分割点，，则 D. 正三棱柱的俯视图为等边三角形 5. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知，则斜坡坡度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 7. 一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，上水面所在圆的半径长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知α为锐角，且，则α等于____． 10. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______m． 11. 某品牌新能源汽车的销售量从1月份的万辆增长到3月份的万辆，设从1月份到3月份的月平均增长率为x，则列方程为______． 12. 如图，在矩形中，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长为______． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则反比例函数的图象位于第_____象限． 14. 如图，在平行四边形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为____． 15. 如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则反比例函数的表达式为_____． 16. 如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 18. 在解一元二次方程时，小明的解法如下，请按要求完成下列问题． 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：或 第五步：， （1）小明第三步配方的依据是__________； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 （2）上述解题过程中，第________步有误，错误原因是_________，此方程正确的解是________________； （3）用合适的方法解方程：． 19. 如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出，此时与的面积比为________； （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 20. 如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 21. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 22. 近年来“中国花卉博览园”每年的月都为八方来客奉上一场具有时代气息的菊花文化盛宴，市民们也常在当季购买菊花观赏．某菊花供应商有一种菊花，进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，菊花节期间平均每天可以售出20盆．菊花节落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价4元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． （1）降价后每盆的利润是________元；每天卖出_______盆；（用含的代数式表示） （2）菊花供应商想要达到每天700元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？ 23. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 24. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？ 25. 如图，在四边形中，平分，，点为的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的值． 26. 【明晰研究路径】 函数是描述客观世界运动变化的重要模型，我们在学习一次函数时，是按照现实问题→函数概念→函数的图象与性质→函数的应用，这样的研究路径对一次函数展开研究的． 类比一次函数的研究路径，我们研究了反比例函数．其中，“反比例函数的性质”采用由特殊到一般的研究思路，对k分类讨论，分别研究了和的情况，画出具体函数的图象，数形结合，归纳出这类特殊函数的图象特征（形状、位置）和性质（增减性、对称性），进而推广到更一般的情况，最后再综合运用函数知识解决实际问题． 【迁移研究路径】 小明借鉴研究反比例函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． （1）绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中m_________； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①_________________； ②_________________； （3）观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接，，则__________； （4）知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C，D，请计算的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $