七、数形结合思想的应用-学科融合研究高中物理与数学

学科融合研究高中物理与数学 七、数形结合思想的应用 测量电源电动势和内阻的方法 【必备知识】 图像法 实验电路 方案 公式法 斜率与纵轴 《电表均为理想电表) 解析式 图像 截距的意义 E4 测两组不同 UNV (1) 的U、I E 斜率：一r 伏安法 U=E-Ir E=U+Ir 纵截距：E E=U2+lzr 0 I短IA @ E4gI (2) ↑R/n R- 斜率：E 1 测两组不同 E· r 纵截距：一 0 ④ 的U、I -r 安阻法 E=I1(R1+r) E. E=I2(R2十r) 斜率：官 R+ 0 纵酸距：后 R/Q E=U+ 斜率日 伏阻法 R 1 E4§ E 1 E LE0 纵截距：卮 ·176 学科融合研究高中物理与数学 续表 ↑ ④ 半 安安法 ④ E=I2RA+Ir 1,+ ES r 纵发距，号 ② E=U ·r U2= r 伏伏法 ⑦ Rv 斜率：R R E.r U+E 纵截距：E 0 U 【经典例题1】某实验小组为测量干电池的电动势和内阻，设计了如图甲所示电路，所用 面 器材如下： 电压表（量程为0~3V,内阻很大）； 电流表（量程为0~0.6A); 电阻箱（阻值为0~999.92）： 干电池一节、开关一个和导线若干. G■G 图甲 图乙 (1)根据图甲，用笔画线代替导线，完成图乙中的实物图连接. (2)调节电阻箱到最大阻值，闭合开关.逐次改变电阻箱的电阻，记录其阻值R,相应的电 流表示数为I和电压表示数为U.根据记录数据作出的U-I图像如图丙所示，则干电池的电 动势为 V(保留3位有效数字)、内阻为 2(保留2位有效数字). ↑U/V 1.60 25 1.55 20 15 1.50 10 1.45 1.35 出出出出出出出出出出 用# 0.100.200.30 05101520253035R/2 图丙 图丁 ·177 学科融合研究高中物理与数学 (3)该小组根据记录数据进一步探究，作出子R图像如图丁所示，利用图丁中图像的纵轴 截距，结合(2)问得到的电动势与内阻，还可以求出电流表内阻为Ω（保留2位有效数字）. (4)由于电压表内阻不是无穷大，本实验干电池内阻的测量值 (填“偏大”或 “偏小”). 【解析1(1)如图所示. G■G (2)由闭合电路欧姆定律可得U=E-r,由题图丙可知E=1.58V,电池内阻，-，581,36 ^≈ 0.35-0 0.632(0.620.662均可). （3)报据E=1R+R十r,可好号E·R+RE,由题因丁可知Rr=1.8A,解 E E 得RA≈2.22(2.02.52均可). (4)由于电压表内阻不是无穷大，则实验测得的是电压表内阻与电源内阻的并联值，即实 验中测得的电池内阻偏小 【经典例题2】有一特殊电池，它的电动势约为9V,内阻r约为402，已知该电池允 许输出的最大电流为50A.为了测定这个电池的电动势和内阻，某同学利用如图甲所示电 路进行实验，图中电流表的内阻RA=5Ω，R为电阻箱，阻值范围为0~999.92，R。为定值电 阻，对电源起保护作用. 40 30 Ro 20 10 012345(R+Ro)/(1022) 图甲 图乙 (1)本实验中的R,应选 (填选项字母) A.102 B.502 C.1502 D.5002 (2)该同学接入符合要求的R,后，闭合开关S,调整电阻箱的阻值，读取电流表的示数， 记录多组数据，作出了如图乙所示的图线，则根据图线可求得该电池的电动势E=V, ·178 学科融合研究高中物理与数学 内阻r= 2. 【解析)选C,当包阻箱接入电路的阻位为零时，电路中的电流不能超过50血 所以电路中电阻的最小值约为1802，除去电源内阻（约为40）、图中电流表的内阻(RA= 5Ω)，C选项最为合适， （②)由U=Er得IR+R+R)=E支形得-R+ E E 结合题图可得E=10V,r=452. 【经典例题3】如图甲所示，某同学设计了一个“只用一个理想电压表测电源的电动 势和内阻”的实验方案，同时可以测量一个未知电阻R,的阻值，电路中R为电阻箱(0~ 992).实验操作步骤如下： R/O S2 23 图甲 图乙 (1)现将电阻箱调到阻值较大位置，保持开关S1断开、S2闭合，逐次改变电阻箱的阻值， 得到多组合适的R,U值：依据R,U值作出如图乙所示的只己图线：断开S、闭合S,读出电 压表示数为1.5V,则根据图乙可求得电源的电动势为 V,电源的内阻为 2,未 知电阻R,的阻值为 2.(结果均保留1位小数) (2)如果考虑电压表阻值的影响，则电动势的测量值 真实值，内阻的测量值 真实值（均填“大于”“小于”或“等于”）， 者【解析1)根据闭合电路欧姆定律E=U+只，可得京-×日上从围像可以看 出，当日0时，布点-0，又亡故上=U=30V,斜率华6=0,5n.离开S,闭合 SU=1.5V=5R,=0.5n (2)由等效关系可知，测定的电源实际为电源与电压表并联而成的等效电源，因此测定的 电源与实际需要测定的相比，电动势与内阻都偏小 【经典例题4】某兴趣小组要测量一节干电池的电动势和内阻，准备的器材如下： A.一节干电池； ·179 学科融合研究高中物理与数学 B.电流表G(量程为0~2.0mA,内阻R.为102)； C.电流表A(量程为0~0.6A,内阻约为0.52)： D.滑动变阻器R1(0~102,5A); E.滑动变阻器R2(01002,1A); F.定值电阻R3=9902: G.开关S和导线若干. (1)所准备的器材中无电压表，需要将电流表G与定值电阻R (填“串联”或 “并联”)，改装后的电压表对应的量程为 (2)根据所给器材在虚方框里画出电路图. (3)为了能准确地进行测量，同时为了操作方便，实验中所选用的滑动变阻器是 (填写器材前的字母编号). ↑I1/mA 1 1.4 1.2 . 1.0 0.10.20.30.40.512/A (4)该小组的同学按照上述电路图连接好电路后测量几组数据，并根据这些数据以电流 表G的读数I1为纵坐标，电流表A的读数I2为横坐标，绘出了如图所示的图像，根据图线所 求出干电池的电动势E=V(保留3位有效数字)，干电池的内阻为r=2 (保留2位有效数字). 【解析】)电流表G与定值电阻串联可以改装成大量程的电压表，其最大测量值为 U=I(R十R)=2V,故改装后的电压表对应的量程为0~2V. (2)由于一节干电池的内阻较小，所以电流表应采用相对电源的外接法，改装后的电压表 测量路端电压并受开关控制，故实验电路图如图所示， A R3 ·180 学科融合研究高中物理与数学 (3)为了能准确地进行测量，同时为了操作方便，实验中应选小电阻的滑动变阻器，故选D (4)根据闭合电路欧姆定律得E=I1(Rg十R)十I2r, E r E r 整理得1=R,千RR,十Rl=100001000nl, 由此可知1-1：图线的纵轴截距为10000-1.48X103A,解得E=1.48V, 图线斜率的绝对值为1000Q ①.48-1.06)×10，解得r=0.840. 0.5 【经典例题5】某同学利用如图甲所示的电路图测量某电源的电动势和内阻，其中定 值电阻R,(阻值约为20Ω)，电阻箱R的调节范围为0~99.92，电压表V1、V2的量程分别为 0一3V、0~6V,两电表的内阻很大.实验时该同学完成了以下的操作. V U2 ↑U2N U 4.5 3.0 0 38.0 R/2 0 Ux ULIA 1.5R 图甲 图乙 图丙 (1)组装好实验器材后，将电阻箱的阻值调到最大，闭合开关，调节电阻箱使电压表V1 的指针指到满偏，再增大电阻箱的阻值，读出两电压表V1、V2的示数U1、U2,反复调节记录 多组实验数据。 (2)为了准确测量R。的阻值，该同学利用(1)中的数据建立如图乙所示的平面直角坐标 系并绘出图像，则图像与纵轴的交点应为 ;电路图甲中定值电阻的阻值R,= 2.(结果均保留2位有效数字) (3)该同学又利用(1)中的数据建立如图丙所示的平面直角坐标系并绘出图像，由图像可 知该电源的电动势E= V,内阻r= Ω（结果均保留2位有效数字）；内阻 的测量值与真实值相比将 (填“偏大”“偏小”或“不变”). 晶【解析】(2)串联电路中电流处处相等，由题图甲所示电路图可知I一尺R十R:则 U U2 U2=1·R+1. U Ro 当R=0时U =1，所以题图乙中号R图像在纵轴的我距为1.0， ·181 学科融合研究高中物理与数学 -R图像的斜率k=定=3080，解得R,=18.00 U 38 (3)由题图甲所示电路图可知U=1. R 由E=U,十r,可得U=EU:。U×,结合题中图像可知，电源电动势E=4.5V R 电源内阻r=:智 2=3.02. 实验等效为外接伏安法测电源电动势和内阻，由于电压表的分流作用，内阻的测量值 比真实值偏小. 【达标演练1】某同学准备测量两节干电池的电动势和内阻，他选用了如图甲所示的实验 电路进行测量. U/V R R 2 5◆10 WTIUE b I/A 图甲 图乙 图丙 图丁 (1)某次测量，电压表的表盘如图丁所示，则读数为 V; (2)由于电表存在内阻，会导致测量结果有一定的系统误差.对于图甲方案，下列有关系 统误差分析的说法，正确的是 .(填选项字母) A.电压表分流导致电源电动势测量值偏大B.电压表分流导致电源内阻测量值偏小 C.电流表分压导致电源电动势测量值偏小D.电流表分压导致电源内阻测量值偏大 (3)为了消除电表内阻带来的影响，该同学设计了改进实验如图乙所示，其中定值电阻 R。阻值已知，进行以下实验步骤. ①闭合S1,将S2掷向1，调节滑动变阻器R,使电流表和电压表有较大偏转，记下示数 I,、U。,则电流表的内阻Ra= ②将S2掷向2，调节变阻器的阻值，记录多组电流表示数I和电压表对应的示数U,然后 利用数据作出图丙的U-I图像，图中α、b已知，则测量得到的电动势E= ,内阻r= .(用测得的量和已知量表示) 【达标演练2】某小组要测量电源的电动势E(约为3V)、内电阻r(约为12)和电阻R (约为522)的阻值.已经提供的器材有待测电源E、待测电阻R、电压表（量程为1.5V,内阻 为Rv=15002)、电阻箱R(0~99.992)、开关S1、单刀双掷开关S2及导线若干. (1)实验时需要将电压表的量程扩大一倍，应该再选用一个阻值为 Ω的定值电 阻与电压表 (填“串联”或“并联”)；设计好的电路如图甲所示，图中的电压表为改装 ·182 学科融合研究高中物理与数学 后的电压表（以下实验中可看成理想电压表）. (2)为了测量R,的电阻，闭合S,将S2与α连接，调节电阻箱，读出其电阻值R和电压 表的示数U1;保持电阻箱阻值不变，将S2与b连接，读出电压表的示数U2,则电阻R,的表达 式为 (3)为了测量电源的电动势和内电阻，闭合S1,将S2与a连接，多次调节电阻箱，读出多 组电阻箱示数R和对应的电压表示数U,由测得的数据，绘出如图乙所示的亡是图像，若图 像的斜率为k,纵轴截距为1，则电动势E的表达式为 ,内电阻r的表达式为 .(用k、I和R,表示) 0 S2 b 0 图甲 图乙 ·183相切，如图所示. A点为电子做圆周运动的圆心，电子从 圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得， AB⊥OB,△ABO为直角三角形，则由几何关 系可得（3a一rmax)2=rmax2十a2,解得rmax= 3a,解得磁场的磁感应强度最小值Bm= my -3mv er max Aae 6.圆锥曲线 [达标演练] 质点在初速度为零的匀加速直线运动 中，速度v和位移x满足v2=2ax, 由动量定义式可得力=mw, 联立可得p=m√2a.x. 沿x轴正方向，有x>0,p>0,所以p-x 图像是开口向右只能在第一象限的抛物线， 答案为D. 七、数形结合思想的应用 测量电源电动势和内阻的方法 [达标演练1] (1)电压表量程为3V,读数为1.50V. (2)用题图甲方案测出的内阻等于电源 内阻与电流表内阻之和，故电流表分压导致 电源内阻测量值偏大，故选D. 3)①电流表的内阻R=一R ②根据闭合电路欧姆定律E=U+I(R,+ RA十r), 整理得U=一份十+B a-Uo+r, 则E=a,6=1 联立锯符号一受 [达标演练2] (1)实验时需要将电压表的量程扩大 1倍，应串联一个定值电阻，它的阻值为 R=U-U=15000. U Rv (2)当S2接a时，电压表测电阻箱R两 端的电压，当S2接b时，电压表测R,及电阻 ·223 箱R两端的电压，则R,两端的电压为U2一 U,此时流过R的电流为爱，由欧姆定律可 得R,UUR U (3)由闭合电路欧姆定律可知E= 行(R+R十)，变形可得=，十' E ·R 十 言，由数学知识可得图乙巾1=，斜率及= R,即E==会-R. 八、近似计算与忽略处理的艺术 1.近似计算 [达标演练1] 本题通过物理背景不仅考查了学生的数 学应用意识、运算求解能力以及方程思想，也 考查了数学建模、逻辑推理和数学运算的核 心素养.本题体现了试题的创新意识，激发了 学生的爱国情怀. 将r=αR代入方程可得 x0-1+ R2 即a。+-+oM ·224 则有a30+a- (1+a)2 M 即4=十3a十3a.结合题中所给近 (1十a)2 ≈3a, 似运算条件，即 3MR.故 所以区城则a·R 选D. [达标演练2] (1)显然有E1=2·g +( 2 kgl P+( + (2)由叠加原理可得 E2= kg ka =2kql + 22 r3 (3)如上图所示，垂直于OP3连线作十q 的对称点A,将此对称点等效视为+q和一9 构成两对电偶极子，应用(1)(2)的结论，则得