构造法求数列的通项公式学案-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了构造法求数列通项公式的核心考点，涵盖形如\(a_{n+1}=pa_n+q\)、\(pa_n+qn+r\)、\(pa_n+q^n\)及\(pa_{n+1}+qa_n\)的四种递推类型，按由简到难构建知识网络，通过复习旧知回顾基础方法，预习新知设置问题链引导学生自主辨析递推特性，形成系统认知框架。 亮点在于诊断性学习与分层任务设计，开篇“复习旧知”自查累加法等基础，每种类型例题后配教材习题与高考真题变式（如2014新课标Ⅱ卷练习），培养数学思维与推理能力。课后巩固分层设题，学生可自主检测薄弱点，教师借高考链接题把握命题方向，助力因材施教，提升学生自主复习能力。

构造法求数列的通项公式 编写教师： 班级 姓名 《构造法求数列的通项公式》 一、学习目标： 1.掌握构造法数列的通项公式； 2.会辨析递推关系式的特性，准确选择恰当的方法，迅速求出数列的通项公式. 二、学习重难点： 1. 重点：构造特殊数列（等差、等比）将复杂递推式转化为“标准”递推式，并求数列的通项公式. 2. 难点：准确选择恰当的方法，将复杂的问题化归转化为简单问题. 三、学习过程： 复习旧知 (1)等差数列通项公式_________ (2)等比数列通项公式_________ 2.我们学过哪些求通项的方法 (1)累加法 (2)累乘法 (3)利用an与sn 的关系求前n项和 预习新知 1、 形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0) 例1已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 练习1（2014新课标Ⅱ卷）已知数列 {an} 满足an＋1＝3an＋1(n∈N*)，a1＝1， 求{an}的通项公式． 练习2（教材习题）证明：数列满足bn+1=Abn+B时（其中A≠1， B≠0），数列 是以A为公比的等比数列，并求数列的通项公式． 二、形如an＋1＝pan＋qn＋r(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0) 例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式． 变式（2020•新课标Ⅲ改编）设数列满足，，求的通项公式． 三、形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0) 例3数列{an}中，a1＝1，an＋1－2an＝2n，求数列{an}的通项公式． 变式1在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋4·3n-1，求数列{an}的通项公式． 变式2（2023·安徽模拟）数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n+1，求数列{an}的通项公式． 四、形如an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q为常数，且pq≠0) 例4已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝2an+1＋3an ，求这个数列的通项公式． 练习：在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an+2 ＝3an+1－2an ，求这个数列的通项公式． 预习小结 高考链接 1.(2019·课标全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4， 4bn＋1＝3bn－an－4． (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an-bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 2.（2023年全国新课标一卷21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8. 由抽签确定第 1 次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i次投篮的人是甲的概率． 3.（2019年全国Ⅰ卷(理)21题）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药，一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验，当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得—1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得—1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分，甲、乙两种药的治愈率分别记为 a 和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋4分， pi（i=0，1，……，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效"的概率，则P0=0， P8=1， Pi=api-1+bpi，+Cpi-+1， （i=1，2，…… ，7），其中a=p（X=－1），b=p（X=0），c=p（X=1）.假设α=0.5，β=0.8. (i)证明: {Pi+1－Pi} (i=0,1,2……,7)为等比数列; （ii）求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性． 课后巩固 一、选择题 1．数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列第5项是(　　) A．15　　　　　　　 B．255 C．16 D．63 2．已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝－3×2n－1 B．an＝3×2n－1 C．an＝5n＋3×2n－1 D．an＝5n－3×2n－1 3．数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝4an＋6(n∈N*)，令bn＝log2(an＋2)，则＝(　　) A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 023 4．已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　) A．47 B．48 C．49 D．410 5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＝log2，则数列{bn}的通项公式bn＝(　　) A.n B．n－1 C．n D．2n 二、填空题与解答题 6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an=，则an＝________． 7．数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝2(n+1)an，求数列{an}的通项公式． 8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则an＝________． 9．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)． (1)求证：是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $