八、近似计算与忽略处理的艺术-学科融合研究高中物理与数学

学科融合研究高中物理与数学 八、近似计算与忽略处理的艺术 1.近似计算 【必备知识】 1.函数f(x)=(1+x)的泰勒展开式为1+四x+mm,1·2+…十 1 1×2 m(m-1).(m-n十1x, 1X2X…Xxm 当x《1时，可以略去第3项起的以后各项，得近似式(1十x)m≈1十mx,也可类似写成 <→1+}广≈1+m5, 其中m以是正数、负数或分数，如+)≈1叶专x,宇①+ 同理可得，当x《a时，略去高次项后有近似式工= 一≈工 atr 1+z a 三个常用的简单近似计算式，当x<a时：a十x≈a,乙≈0，a十'≈l. a ’a-x 当|x<1,|y≤1时，则有近似式(1十x)m(1+y)"≈1+m.x十ny. 2.sin x=x- !5171+…, amnx=十号+2g+17十…， 3+15315 由于tan>0≥sin0,各式除以sin0,得，1。≥9 'cos0sin9≥1， 倒数变形为0s≤1. 当0趋近于零时，60s0趋近于1，母道近于1， i很小时，sini≈tani≈i,cosi≈l,sin icos i≈i. 二【经典例题1】海平面并不平，而是球面的一部分.在风平浪静的海面上，一只航船的 桅杆尖头高出海平面约5，估算被岸边的观察者发现时，距岸边的航程至多是多大？假设 观察者的双眼也高出岸边的海面约5m高.（地球半径取6400km) ·184 学科融合研究高中物理与数学 【解析】如图甲所示，由于球面凸起而使中间部分高出水平视线的距离叫号高（严格 说是海面上过海岸站立处与船底的大圆劣孤的弓高)， 依题意，应形成5m高的弓高，如图乙所示. 弓高 图甲 图乙 设航程为$，由几何关系有 =R1-cos9)=2Rsin2日 d, 由于0很小，sin是≈，代入可得≈ 8 又0=，可得s=8R7=V8×6.4X10X5m=1,6×10m=16km, 【经典例题2】试推导双缝干涉的路程差公式. 【解析】双缝千莎示意图如因所示，设从N、M两缝到屏上P点的距离（路程）分别为 r1、r2,双缝的中点O与P点的连线与OO'方向的夹角为0.作MC⊥NP,则由双缝射至P点 的两束光的路程差为 8=r2-n≈dsin0,因为x=PO'=ltan0≈lsin0,所以6= d P 【经典例题3】如图所示，一根细绳绕过两个相距为（的光滑定滑轮，悬挂两个质量 均为m的物体，在绳的中点悬挂一个质量为0的物体，整个系统处于平衡状态，现将结点O 少许拉下一点后轻轻释放，则物体将做什么运动？ ·185 学科融合研究高中物理与数学 3 ☐mo 【解析】系统平衡时，由对称性知，两侧绳子与水平方向的夹角相等，设夹商大小为 0,则由平衡条件可知2 mngsin0=1m0g. 结点O少许下降后，两侧细绳与水平方向的夹角增大，设此 21 时夹角大小为日，如图所示，释放后，O,点受到的竖直向上的合力 A 为F=2mg(sin0-sin0). m 设平衡状态时结点O到水平线AB的距离为h,AO、BO的 长度均为L,当结点下降的距离x很小时，可认为AO、BO的长 mo 度仍为L.于是有in=,sing≈士 L 因此合力可表示为F=2加g生产-2）-2=m V+x, 其方向向上，即指向原来的平衡位置O的方向. 由于m,1,h都有确定的值，故2mg也是一个定值，设2mg=,考虑到方向性，则 √2+h2 √+h2 上式可表示为F=一kx 所以物体。将以结，点O为平衡位置做简谐运动. 星【经典例题4】如图所示，电荷量分别为4g和一q的小球A,B固定在水平放置的光 面 滑绝缘细杆上，相距为d.杆上套有一带电小环C,A、B、C均可视为点电荷. 49 (1)求小环C受力平衡的位置； (2)若小环C的电荷量为q,将小环拉离平衡位置一小段位移x(x<d)后由静止释放， 试判断小环C能否回到平衡位置；（回答“能”或“不能”） (3)若小环C的电荷量为一q,将小环拉离平衡位置一小段位移x(x<d)后由静止释 放，试证明小环C将做简谐运动.（提示：当a<1时，则a十c≈1-ma） 1 ·186 学科融合研究高中物理与数学 【解析】口设小环C在小球A,B连线的延长线上距离B为1处达到平街，电荷量为 Q:由年合定徐及平商条件有格？8+一2-0 12 解得1=-号d念去)=d 所以小环C受力平衡的位置为小球B右侧与小球B距离为d处. (2)小环被拉离平衡位置一小段位移x后，小环C所在位置的电场强度为 4k9 Ee=2lx kg (d+x)2 d1+)d(1+ 下凯(+)-1+)门 因为x<d,所以[(1+)-(1+)]≈(1-)-(1-2)=音 则有Ec≈g 由此可知在平衡位置右侧，电场方向向右；在平衡位置左侧，电场方向向左，小环C带正 电，则不能回到平衡位置 (3)由(2)中分析可知小环所在位置的场强为E-祭，则小环C受力为P=一9= 、x,故小环C将做简谐运动. 晶【经典例题5】一位航天员位于字宙飞船外的吊绳上，如果飞船位于航天员与地球之 间连接它们重心的连线上，求吊绳中的张力.已知宇航员质量为100kg,飞船质量为5t,吊绳 长为64km. 计算时可以认为飞船沿圆轨道运行，轨道离地面的高度与地球半径(R=6400km)相比 可忽略不计 ◆m2航天员 【解析】如图所示，飞船沿近地国轨道运行，飞据的轨道半径可 Mm2 LF2=G(R+L)2 近似认为等于地球半径R,设地球、飞船和航天员的质量分别为M、 AFT ◆m1飞船 和2，飞船与航天员绕地球做圆周运动的角速度为ω. 对飞船和航天员，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 GMu-Er-moR. R R2 M地球 GR+F1=m20 (R+L), ◆地心 ·187 学科融合研究高中物理与数学 GMin-Fr 两式相比得 R2 mR Mm2 m2(R+L)' G (R+L)+F1 整理得FT[m1R+2(R+L)]=GM1m1 R+L R R2 (R+L) h于R>湖R”*10) 代入上式可得Fm,R+%R+DI=GMm[是-受门=GM两 3L 3LGmmz 即FT=R(m十m2)' 由地球高斯常数（又称黄金代换式）GM=gR可知F=尺X十≈0.O29 【经典例题6】“顿牟缀芥”是2000多年前我国古人对摩擦起电现象的观察记录，经 摩擦后带电的琥珀能吸起小物体.现用下述模型分析探究. 在某处固定一个电荷量为Q的点电荷，在其正下方h处有一个原子.在点电荷产生的电 场（场强为E)作用下，原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的距离，形成电偶极子. 描述电偶极子的物理量称为电偶极距p,p=ql,这里q为原子核的电荷.实验显示，p=αE, α为原子的极化系数，反映其极化的难易程度，被极化的原子与点电荷之间产生作用力F.在 一定条件下，原子会被点电荷“缀”上去.若固定点电荷的电荷量增加一倍，力F如何变化？ 哥【解析】设电荷Q为正电荷，原子被极化后，负电行中心被吸向Q,正电行被排斥而远 离Q,假设负电荷中心与正电荷中心的电量分别为一q和十q,如图所示.它们受到的电 +Q● 场力的合力为F=kQg -kQg-2hl 2hl （五+之2 一kQg (1一4】 、2 21 由于h>L,上式的分母中可略去坊，则F≈一bQg器 根据题设条件，引入电偶极矩p,则有关系式p=ql=αE, 而点电荷在电偶极子中心产生的电场强度为E=k 2; 以上三式联立，得F=-2akQ h 所以，当固定点电荷的电荷量增加一倍时，力F将变化为 F=-2ak(2Q)=-8ak2Q=4F, h h 即变为原来的4倍. ·188 学科融合研究高中物理与数学 【经典例题7】如图所示，气缸内有一个质量为、横截面积为S的活塞，活塞离气缸 底部为，气缸里封闭着一定质量的理想气体.如果在外界压强为p。时，用力将活塞从原来的 平衡位置稍微向外移动△x(设△x≤)，则活塞第一次回到平衡位置的时间是多少？假设气 缸内气体温度不变 【解析】由平衡条件知，初始状态时，气缸内气体压强=. 设活塞移动后气缸内气体的压强为2，由玻意耳定律知11S=2(l十△x)S, 些理得产是脚是 po-2△x 所以=≈学A 活塞移动后，作用在活塞上使它回复到平衡位置的力 F=(,s-空ax=ar,=2) 它符合简谐运动的回复力的特征，活塞移动后将在内外压力差作用下做简谐运动，因此 第一欢國到平寄位辽的防同1=骨·2层-艺 44 【说明】为了计算活塞的运动时间，必须先明确活塞运动的规律，当物体做往返运动时，往 往都可以先从物体受力与位移的关系上去确定. 【经典例题8】光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示 面 意图如图所示.图中A为轻质绝缘弹簧，C为位于纸面上的线 圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场.M为置于平台上的轻质 反射光 小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂 M 直，另一端与弹簧下端相连，PQ为圆弧形、带有均匀刻度的透明 d O入射光 读数条，PQ的圆心位于M的中心.使用前需调零，使线圈内没 有电流通过时，M竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经 PQ上的O点射到M上后沿原路反射.线圈通入电流后弹簧长 1----------- 度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心，通过读取反射光 ·189 学科融合研究高中物理与数学 射到PQ上的位置，可以测得电流的大小.已知弹簧的劲度系数为k,磁场磁感应强度大小为 B,线圈C的匝数为N、沿水平方向的长度为1，细杆D的长度为d,圆弧PQ的半径为r,r> d,d远大于弹簧长度改变量的绝对值， (1)若在线圈中通入的微小电流为I,求平衡后弹簧长度改变量的绝对值△x及PQ上反 射光点与O点间的弧长s; (2)某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，PQ上反射光点 出现在O点上方，与O点间的弧长为51，保持其他条件不变，只将该电流反向接入，则反射光 点出现在O点下方，与O点间的弧长为2，求待测电流的大小. 骨【解析】(1)由题意知，当线圈中通入微小电流I时，线圈所受安培力为F=NBIL, 根据胡克定律F=k△x,解得△r=NBL 如图所示，设此时细杆转过的角度为日，则可知反射光线转过的角度为0，又因为>>△x, 则sin00,sin220,所以有△x=ls=20r,联立可得s=2NBIL dk 35s5555 A 反射光 △X 0 入射光 (2)因为测量前未调零，设没有通电流时偏移的孤长为'，当初始时反射光点在O点上 方，通电流'后，根据前面的结论可知=2NB1'十， dk 当电流反向后有s=2N51一， dk 联立可得=dk(s十s2) 4NBir 同理可得，初始时反射光点在O点下方结果也相同，故待测电流的大小为'= dk(s1+s2) 4NBIr 【经典例题9】如图甲所示，刚性导体线框由长为L、质量均为的两根竖杆与长为 21的两轻质横杆组成，且L>2.线框通有恒定电流I,,可以绕其中心竖直轴转动.以线框中 ·190 学科融合研究高中物理与数学 心O为原点、转轴为之轴建立平面直角坐标系，在y轴正方向上距离O点α处，固定放置一 半径远小于α、面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴.在外力作用下，通电线框绕 转轴以角速度ω匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度 的y轴分量B,与时间的近似关系如图乙所示，图中B,已知. Bo 0 2红元4红/ 5π2π 3w B 3 30 -Bo 图甲 图乙 (1)求0~工时间内，流过圆环横截面的电荷量q; (2)沿y轴正方向看以逆时针方向为电流正方向，在0一严时间内，求圆环中的电流与时 3o 间的关系； (3)求圆环中电流的有效值； (4)当撤去外力，线框将缓慢减速，经工时间角速度减小量为△（△“<1）.设线框与圆环 1 的能量转换效率为k,求△w的值[当0<x《1,有(1一x)2≈1一2x]. 爱【解折11)旅据法柱务电避应定律E=0有产生的感应电流1{， 通进圆环挽我面的电符量g=△1=会兴兽 在0~π时间内，圆环磁通量改变量△中=B,S一（一B,S)=2B,S, 0 则流过圆环横截面的电荷量q= 2B,S R (2)在0~元时间内，穿过圆环的磁通量不变，即感应电流为零 3 在正一时间内，磁场均匀变化，所以感应电流大小I=E=△中=SB=6BS 3w 3w RR△tR△t Rπ ·191 学科融合研究高中物理与数学 (3)圆环中电流变化的图像如图所示. I 4π 5π 33 0 无品 2π兀 2π 根据有效电流的定义rRXπ=I有R×2红 3w 化简得1有= 2√5uBS 元R (4)根据能量守恒定律，线框将缓慢减速时，线框减少的动能转化为热量，即 [2·2m(o0-号·2m(w-awrr]-1k2R×8, 化简得mu[1-(1-白)门 12w2B2SR匹， π2R2 共中1-把)≈1-20。 继续化简，得kmw2P(2△@） 12w2B,2S2 πRw 即△w= 6B,2S πkRml2 。【经典例题10】如图为测量微小厚度变化的装置示意图，在工作台上放有标准件B, 上面压杆C的顶部有一小平面镜M.一束光线从标尺垂直射向平面镜，沿原路反射后落在标 尺刻度P处（通常恰好调至零点），撤去B,换上待测工件.如果待测工件比标准件厚△x,则压 杆顶C的小平面镜就会绕轴O旋转一微小角度0，这样，来自标尺的光束反射后就会落在标 尺的另一刻度Q处.已知平面镜至标尺的距离为，平面镜中心至O轴的距离为12，两刻度 的间距（若P调至零点，即为Q的刻度值）PQ=△，那么待测工件与标准件的厚度之差△x为 多少？ P 山山L ·192 学科融合研究高中物理与数学 【解析】由于待测工件与标准件的厚度之差△x很小，所以小平面镜旋转的角度日可 表示为0≈， 对标尺的反射光路来说，由于小平面镜旋转了角度日，则平面镜的法线也旋转角度，使反 射光与入射光之间的夹角为20，如图所示.当0很小时，同样有近似关系tan2020=A L2 s. 联立得厚度差为△x=2 △S 工0 【说明】在这个实验中，利用了光放大的原理，将微小长度变化量△x转化为标尺上相应 的侣转量△，这里的比值二技术上常常把它称为”微大倍毅”，这种测量微小长度 的方法称为光杠杆法，这种光放大的原理在物理实验中常有应用，如库仑扭秤实验、卡文迪什 测量引力常量的实验等， 【达标演练1】2019年1月3日“嫦娥四号”探测器首次成功实现月球背面软着陆，这是我 国航天事业取得的又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面 与探测器的通信联系.为解决这个问题，我国发射了“嫦娥四号”中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围 绕地月拉格朗日L,点的轨道运行.L?点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为 M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力 定律满足方程RM,+4=(R+,设。=后月于“的值限小.医此在近似计纹中 r2 3a十3a十Q≈3a,则r的近似值为(） (1+a)2 A√R M2 R B.A ZM:' 恶 爱R 【达标演练2】如图所示，电量相等（大小为9）、电性相反、相距为1的两个点电荷系统（电 偶极子)，当考察点P与电荷对中心O的距离r远大于1时，可称此系统为电偶极子，描述电 偶极子的物理量称为电偶极矩p=,方向为负电荷指向正电荷.现设电偶极子中点为原点 O,r>l,求： (1)中垂线上距离O为r处的P1点的场强E1; ·193箱R两端的电压，则R,两端的电压为U2一 U,此时流过R的电流为爱，由欧姆定律可 得R,UUR U (3)由闭合电路欧姆定律可知E= 行(R+R十)，变形可得=，十' E ·R 十 言，由数学知识可得图乙巾1=，斜率及= R,即E==会-R. 八、近似计算与忽略处理的艺术 1.近似计算 [达标演练1] 本题通过物理背景不仅考查了学生的数 学应用意识、运算求解能力以及方程思想，也 考查了数学建模、逻辑推理和数学运算的核 心素养.本题体现了试题的创新意识，激发了 学生的爱国情怀. 将r=αR代入方程可得 x0-1+ R2 即a。+-+oM ·224 则有a30+a- (1+a)2 M 即4=十3a十3a.结合题中所给近 (1十a)2 ≈3a, 似运算条件，即 3MR.故 所以区城则a·R 选D. [达标演练2] (1)显然有E1=2·g +( 2 kgl P+( + (2)由叠加原理可得 E2= kg ka =2kql + 22 r3 (3)如上图所示，垂直于OP3连线作十q 的对称点A,将此对称点等效视为+q和一9 构成两对电偶极子，应用(1)(2)的结论，则得 到E3的两个分量为 E,=kalsin日，E,=2 kqlcos日 3 [达标演练3] (1)如图所示，将x轴划分为I,Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ四个区域。 +40 i2d Ix 在I区：k9>是，所以合场强 Q 向左 在Ⅱ区：两个独立场强方向相同，所以合 场强向右. 在Ⅲ区：E(x)=k坦- Q (x+d)2 当x=2d时，E=0,即当d<x<2d时， 场强向左；当x>2d时，场强向右. 综上所述，场强向左的区域为（一∞， 0)U(d,2d),场强向右的区域为 (0,d)U(2d,+o∞). (2)假设在平衡位置向左微移x,则合力 向右大小为F=a222 4Qg d2 [(1-)-(1-)1, 又因为1-别》=1+音所以F=9, 所以该振动为简谐振动，其周期为 T=2π m=2r√kQq md k d3 [达标演练4] 转动带电环与环形电流十分相似.非均 匀磁场对环的作用力主要表现为吸引力，但 是当离轴某一远处时存在磁感应强度的水平 分量B,时，它会对环产生竖直作用.为了求 B,列出穿过高△h、直径d(△h《d)的薄圆柱 的磁通量. 穿过圆柱两端的磁通量分别为 电=B()4=品，a-a的。 4 Φ，=Bh-h)f=B,(1-ah十a△h) 4 4 而通过侧面的磁通量中侧面=中2一Φ，= Bnπd△h, 其中B,=B,吧 ·225 对“电流”1号兴 2元 沿竖直方向作用力Fmn=B,Iπd= Boad'Qw 如果磁场力与重力平衡，那么环的加速 度将最小，为Fmin=mg. 由此得出环的角速度w一BoadQ 8mg 2.忽略处理 [达标演练] 射电星实际射向地面的光线是不平行 的，但射电星很遥远，该问题可以忽略，把射 电星发射来的光视为平行光，它的直射光与 ·226 经湖面的反射光为相干光源.如图所示，直射 光与反射光到达接收器P的路程差 ò=OP-QP+=OP(1-cos2a)+合， 式中a=受-0，于是有a=2hcos0叶合： 出现第一个极大值时，两束光干涉加强 满足6=入， 联立解得c0s0=之=020=0.1. 4h4×0.50 0 2a