一、基础函数理解-学科融合研究高中物理与数学

参考答案 一、基础函数理解 根据数学知识可知图像应是过原点的抛 1.线性探索 物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率 [达标演练1] 的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的 将公式变形为-十，作出h图 瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可 像，为一条倾斜直线，如图所示. 知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均 云/s·mm) 速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切 线斜率，选项A正确.故选A. 20 h/mm [达标演练3] 取微元发现其阴影面积代表t=∑△t 由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=号 (货·a, 可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒 则=20+》 数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A 代入数据，得t=60s. 正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着 [达标演练2] 电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选 根据题意可知，物体做匀加速直线运动， 满足x=ar,画出物体的x4图像 项C正确.由P=UI可知，图像中矩形 PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际 ↑x/m 功率，选项D正确.故选B. tis ·197 2.曲线的韵律 将2，=3·代人轨迹方程，得 3g [达标演练1] 0=60°，即为最远发射角.故选AB. 如图所示. [达标演练2] (1)小球在BC段做匀速直线运动，所受 合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平 衡状态，小球所受支持力FN=mg=1N,根 以发射点为原点建立平面直角坐标系， 据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小 设发射角为0， 球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小 1 x=t·wcos0,y=t·bsin0-28t, 相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为 两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一 1N,方向竖直向下. 8x2 2·(tan0+1). (2)小球从静止到C点，根据功能关系有 上式看作关于tan0的一元二次方程，方 2mo2=mgX2R+E。, 程有唯一解的条件为△=2一4 2u2 解得E。=1.2J. (3)小球从C点到E点，根据动能定理有 +器-0， 1 一mgh-ungL= 2n℃21 n2, 2,2x2. 即y=g%-。8 解得0s=√60一20h. 将斜面的方程x=√3y代入，解得y= 过了E点小球做平抛运动，有A=st, 1.2=5.2 3·g x x-VEt, 所以在斜面上的最远距离为√x2十y· 联立得到x与h的关系为x=√12h一4h, 2.w2=6000m 3 g 当A=多m时x有最大值x=3m ·198 [达标演练3] 为R 设共同速度为1，子弹和木块碰撞过程 bc部分之间的电阻为R3一R,,其等效电 中动量守恒，则=(M十m)v1, 路如图所示， m 解得u=M十m。=4m/s. R2 a R c bR3-R:c 设在轨道最高点平抛时速度为2，轨道 ⑦ 光滑，根据机械能守恒定律，有 R. (M+mn=2M+m8R+号M+ 电路的总电流和电压表示数分别为 E m)v22, I= r+R,+R十R)R-R,) R2+Rs 解得2=√0,2-4Rg=√16-40R, U=IRf=- E 所以平抛的水平位移 +R+R:+R)(R:-R) R2十R x=t=√g (16-40R)4= (R2十R)(R3-R) E R2+R3 (r+R)(R+R) +R R+R)(R-R+1 令y=(R2+R,)(R-R.)=-R2+ 根号下的部分是关于R的二次函数， (R3-R2)·R+R2R3, 二次项系数为一1<0，所以水平位移x有最 当R=-乡-R,R-12,50=30时， 2a2 2 大值， 当R=一多=0.2m时，二次函数有最大 y有最大值yx=如c一B Aa 2a 值，此时水平位移也有最大值 -4R2R3-(R3-R2)2 =81, -4 xmax=4√-(0.2)+0.4X0.2m=0.8m 所以电压表示数的最大值为 [达标演练4] 6 Um*=(2+2)(6+12)+1 V=3.2V. 设滑片在某位置时ac部分之间的电阻 81 ·199 3.增长的奥秘 解后点拨：有关变质量理想气体状态变 [达标演练1] 化的问题要注意利用密度分析，方程兴- n=8=4:8天后每分钟放射次数N= R两边同除以m,又因气体密度ρ一，可得 N(份》=6x10×6-×10. 卫R T M 由每分钟衰变次数与其体积成正比可得 式中M是摩尔质量，仅和气体种类有 水库蓄水量为 关，故只要是同一种理想气体，上式都成立. 3 V-义=8X10 N 20m3=1.875×105m3. 二、深入解析判别式与不等式 像水库蓄水量、人体血液的体积等一类 1.判别式的多张面孔 无法用刻度尺来度量的则往往可借助于放射 [达标演练1] 性的半衰期特点来求得. 设两车经时间t相遇，有 [达标演练2] 1 vit+L-vst-zal, 解此题时一般会想到利用理想气体状态 42-5t+36=0y 方程和有关定律分析，但实际上只要抓住密 代入数值得 度的变化即可. 由活塞式抽气筒的原理，每完成一次抽 △=b-4ac=-11<0, Vo t无解，即两车不会相遇： 气，气体的密度即为原来的V,十△7一.1 5 当两车速度相等时相距最近，有 这样在容器容积不变的情况下，质量也 w=w2-at1,得t=10s, 变为原来的依题意得（广-2 则最近距离△smm=1t十L一（2t一 1g2 取对数得n=1g5.11g5=35. 2a4,), ·200学科融合研究高中物理与数学 一、基础函数理解 1.线性探索 【必备知识】 1.函数y=kx十b(k、b均为常数，k≠0)就是一次函数，其图像是直线，k叫作直线的斜 率，反映直线的倾斜程度（注意，这些内容初中并没有进行系统的学习）. (1)切线斜率k=△y=y一丛 △xx2-x1 如图甲所示，图像上P点的切线斜率为一它表示物理量y对另一个物理量x的导 数，它与函数y对x的求导结果是一致的，其实际意义就是变化的快慢，即变化率. △y 0 图甲 图乙 (2)割线斜率k=义 如图乙所示，取图像上一点P,连接OP,OP为割线，它的斜率为k=兰，即图像上某点和 坐标原点连线的斜率.显然，只有物理图像为过原点的一条直线时，切线斜率才与割线斜率 相等. (3)切线和割线两类斜率的意义. 如果图像中的纵轴物理量y与横轴物理量x的比值与高中阶段的某个物理量的定义相 同或者单位相同，那么这个斜率就有明确的物理意义，反之图像斜率就没有意义.但是切线斜 率和割线斜率描述物理意义的形式不尽相同. 用微小变化量的比值来反映的物理量可以用切线的斜率表示，在数学上，k=tanO,其中 0是直线与x轴正方向之间的夹角.但在物理上，只能说k与tan0成正比，即k=xtan 0(x> 0).在物理中的一次函数图像中，求斜率k时更看重于物理图像所描述的物理意义，更多的时 候求解斜率k要使用k=Ay=业二出，而不再使用k=tan0,主要是物理图像与数学图像是 △.xx2一C1 有较大的差别. ·001 学科融合研究高中物理与数学 两类斜率表达的物理形式和意义是不同的，不能混为一谈.在具体应用时，根据图像y轴 和工轴所表示的物理量，结合所学的物理知识，分析飞=合和k=兰哪个具有物理意义，就选 △x 用哪个形式对应的斜率进行解题. (4)图线上某点的斜率. ①斜率为正时，表示斜率代表的物理量方向与所取正方向同向； ②斜率为负时，表示斜率代表的物理量方向与所取正方向反向. 4 △v △t 2.基础类运动图像。 x/m 平行于轴的直线：静止 平器于轴的直线：匀速直线运动 alm·s2) 倾斜直线：加速度均匀 倾斜直线：匀速直线运动 倾斜直线：匀变速直线运动 变化的直线运动 、-￥ 平行于轴的直线： 7 匀变速直线运动 、Ts O t/s tis 曲线：变速直线运动 曲线：变速直线运动 (1)在t图像中，图线上某点的斜率表示对应时刻的加速度大小，正、负号表示方向，如 图所示. 0,=0 ,=0 a=0 a>0 t2! a=0 匀速 匀减速匀加速a<0 加速度减小！加速度增大 运动 运动 运动 的减速运动的加速运动 ,≠0 ,=0 U=0 ,≠0 -0 加速度减小！加速度增大 加速度增大加速度减小 的加速运动！的减速运动！ 的减速运动！的加速运动 I ·002 学科融合研究高中物理与数学 (2)在wt图像中，图线与时间轴包围的面积表示对应时间内物体的位移，如图所示. 路程 4 S 位移 S t1 t2 t31 路程=位移 2 平均速度平均速度平均速度 路程=S2+S,位移=S-2 (3)在xt图像中，图线上某点的斜率表示对应时刻的速度大小，正、负号表示速度的方 向，如图所示. AX 速度大小 速度正向 速度反向 :逐渐减小、 减速运动 速度正向 速度反向 0=0 X1 速度大小！速度大小 逐渐减小 逐渐增大 静止 匀速运动'匀速运动 减速运动 加速运动 【经典例题1】一质点做匀变速直线运动，对应的工-(x为位移，t为时间)图像如图 所示，则在0~4s内质点的速度变化量是( A.16 m/s B.8 m/s C.-16m/s D.-8 m/s 微【解析】选C由=w叶方得号=+a,结合图像可小 辛m·s) 知，质点的加速度a=一4m/s2,则0~4s内质点的速度变化量是 0 4 t/s -16m/s. 2 提醒：在=十71对应的图像中，子：图像的斜率等于2a,要注意与U:图像的斜率 等于a的区别. 【经典例题2】如图甲所示，物块和长木板置于倾角为0=37°且足够长的斜面上.当 t=0时对长木板施加沿斜面向上的拉力F,使长木板和物块由静止开始沿斜面上滑，作用一 段时间后撤去拉力.已知长木板和物块始终保持相对静止，两者上滑时速度的平方与位移之 间的关系图像如图乙所示.已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2,最大静 摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是() A.拉力F的作用时间为2s ·003 学科融合研究高中物理与数学 B.拉力F作用时长木板的加速度大小为2m/s C.长木板与斜面间的动摩擦因数为0.25 D.物块与长木板之间的动摩擦因数可能为0.75 4w21m2·s-2) 16 37 89x/m 图甲 图乙 【解析】选C,x因像反映出速度平方与位移的关系，皓合连度一位移公式心一 u2=2ax可知，斜率的绝对值等于加速度的2倍，图线的斜率为2a. +2/m2·s-23) 斜率的绝对值等于加速度大小的2倍， 16 1a1=1m/s2,B错误. 撤去拉力时速度01=4m/s,拉力作用] 时间为==45：A错误， 0 8 9 x/m 敬去拉力后的加速度大小a=号×白 1 m/s2=8m/s2,由牛顿第二定律有(M+m)gsin0+ 4(M十m)gcos0=(M十m)a2,解得4=0.25，C正确.物块与长木板之间无相对滑动，由牛 顿第二定律有2 mgcos0-ngsin0≥ma1,解得42≥0.875，因此物块与长木板之间的动摩擦 因数不可能为0.75，D错误 【经典例题3】甲、乙两物体均沿x轴正方向做直线运动，某一时刻两物体以速度 同时经过O点，之后它们运动的二-x图像如图所示.对甲、乙两物体速度从增加到2的 过程分析，下列说法正确的是( /sm) 甲 0 0.5xo xo x/m A.速度均随位移均匀变化 B.速度均随时间均匀变化 C.经历的时间之比为1：2 D.经历的时间之比为2：1 【解析】选C.由图像可知，速度与位移成反比，速度不随位移均匀变化，A错误. ·004 学科融合研究高中物理与数学 图像中的图线与坐标轴围成的面积表示时间，由图像可知，速度不随时间均匀变化，B错误. 甲、乙两物体速度从增加到2，的过程，图线与坐标轴围成的面积之比为1：2，则经历的 时间之比为1：2，C正确，D错误 【经典例题4】K多选)水平地面上有一质量为m的长木板，木板的左端上有一质量 为2的物块，如图甲所示.水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图乙 所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小.木板的加速度a1随时间t的变化关系如图丙 所示，已知木板与地面间的动摩擦因数为山，物块与木板间的动摩擦因数为2，假设最大静 摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g,则() ↑F m2→F _h 图甲 图乙 图丙 A.F=umg B.F2=(m十m2 -（2一41）g m C.>m十m n21 D.在0~t2时间段内物块与木板加速度相等 【试题立意】本题以板块运动模型为素材，创设了利用F-t图像和at图像探求临界作用 力等问题的学习探索问题情境，主要考查了滑动摩擦力、动摩擦因数、力的合成和分解、共点 力的平衡、牛顿运动定律及其应用等知识点· 【解析】选BCD.由题图丙可知，时刻物块和木板一起沿水平的方向向右运动，对 物块和木板组成的整体有F1=1(m十2)g,A错误.结合题图丙可知，0~t时间段内物块 和木板静止，加速度均为0，t1~t2时间段内物块和木板相对静止一起加速，加速度均相等，所 以0~t2时间段内物块和木板加速度相等，D正确.t2时刻物块与木板间的静摩擦力达到最 大，物块和木板具有相同的加速度，设加速度大小为1，根据牛顿第二定律，对木板受力分析 有2m2g一(m1十m2)g=m1a1,对物块和木板组成的整体受力分析有F2一1(m1十m2)g= (m1十m)a1,解得F,=m:m十m》.(一A)g,B正确.木板向右加速滑动时，一定有 1n1 mg（n十m)g>0,解得>m+m4 m24,C正确. ·005 学科融合研究高中物理与数学 【关键能力】本题主要考查理解能力、模型建构能力. (1)理解能力 序号 关键表述/图像信息 物理量及其关系 最大静摩擦力均与相应 木板与地面之间的最大静摩擦力F=(m十m2)g 1 的滑动摩擦力相等 物块与木板之间的最大静摩擦力F=2m2g 2 F-t图像 拉力F随时间t的变化关系，t1、t2时刻对应F1、F2 2时刻以后木板的加速度保持不变，做匀加速直线运 动，这说明木板的受力不再发生变化，因此物块和木板 3 a1t图像 发生了相对滑动，物块对木板的摩擦力为滑动摩擦力， 保持不变.因拉力F继续随时间均匀增大，因此物块的 加速度会继续随时间均匀增大 (2)模型建构能力 序号 物理过程 物理模型 1 0~t1时间段内 物块与木板均受力平衡（静止模型） 物块与木板均做加速度均匀增加的加速运动（匀变速直线运 2 t1~t2时间段内 动模型) 木板的加速度保持不变，做匀加速直线运动，这说明木板的受 力不再发生变化，因此物块和木板发生了相对滑动，物块对木 3 t2时刻后 板的摩擦力为滑动摩擦力，保持不变.因拉力F继续随时间均 匀增大，因此物块的加速度会继续随时间均匀增大 【经典例题5】（多选）如图甲所示，质量分别为mA、的A、B两物体用轻弹簧连接 店 构成一个系统，外力F作用在物体A上，系统静止在光滑水平面上(B靠墙面).此时弹簧形 变量为x,撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的a-t图像如图乙所示，S,表示0~t1时间 段内A的a-t图线与坐标轴所围面积大小，S2、S分别表示t1~t2时间内两物体A、B的a-t图 线与坐标轴所围面积大小.物体A在t1时刻的速度为，下列说法正确的是(） a o B A -w 7777777777777777777777777 图甲 图乙 A.0~t1时间段内，墙面对物体B的冲量等于mA6 ·006 学科融合研究高中物理与数学 B.mA>mB C.物体B运动后，弹簧的最大形变量等于x D.S1-S2=S3 【试题立意】本题以光滑水平面上轻弹簧连接两物体的运动为背景，创设学习探索问题情 境，主要考查运动图像、冲量、动量定理、牛顿运动定律和机械能守恒定律等知识点. 【关键能力】本题主要考查理解能力、推理论证能力： (1)理解能力 ①对题意的理解 关键表述 物理量及其关系 系统静止在光滑水平面上（物体B靠墙 系统的机械能守恒，物体B离开墙面后 面)，此时弹簧形变量为x 系统动量守恒 ②对图像的理解 序号 图像信息 物理量及其关系 t 时刻物体B离开墙面，时刻以后的运动 y t时刻开始物体B有加速度 过程中两物体和弹簧组成的系统动量守恒 面积表示速度的变化量 a-t图线与坐标轴所围面积大小 t1时刻物体A的速度=S, S1、S2、S3 t2时刻物体A的速度v=一S2,物体B 的速度vB=S3 t2时刻，物体A、B的加速度均达 此时弹簧弹力达到最大，弹簧拉伸到最长， 到最大，B的加速度大于A的加 物体A、B共速 速度 (2)推理论证能力 序号 选项 内容 墙面对物体B的冲量和弹簧对B的冲量大小相等、方向相反.弹簧对 A 物体B的冲量和弹簧对A的冲量的关系也是大小相等、方向相反.弹 簧对物体A的冲量等于A的动量变化量，即I墙= t2时刻物体A、B共速，oA=B,VA=-S2=S1一S2,vB=S3,所 以S1-S2=S3 2 B、D 2时刻物体A、B受到的弹力大小相同，但物体B的加速度大于A 的加速度，根据F弹=nAaA=BaB,得mA>nB 物体A、B共速时弹簧有最大形变量，最开始的弹簧弹性势能E, 转化为共速时物体A、B的动能和弹簧弹性势能E。',所以E。'小于 E,弹簧的形变量要小于x ·007 学科融合研究高中物理与数学 【答案】ABD 【失分剖析】①学生对于a-t图像比较陌生，无法通过a-t图像厘清两物体的运动情况，错 误应用动量定理和机械能守恒定律； ②学生不知道-t图像中图线与坐标轴所围成的图形面积含义，得不到各部分面积之间 的关系 【经典例题6】在xOy坐标系中，有三个电荷量相同的带正电小球A、B、C位于坐标原 点O处.t=0时刻，在外力和库仑力共同作用下，三个小球同时由静止开始 运动.如图所示，小球A、B分别沿着x轴负方向、正方向以相等的加速度做 ⊕C 匀加速运动，小球C沿着y轴正方向做匀加速运动.关于小球C受到库仑 力的合力F随时间t的变化规律，下面四幅图像中正确的是() 骨【解析】选D.小球C受到的合力F如图所示，设小球A,B距坐 标原点O的距离均为x,小球C距坐标原，点O的距离为y,由库仑定律可 得PA=F=年y由平行四边形定划可得F=r,ng十Fsn0 x- ·根据题意有=，y= y 2,t,联立化简可得 F= 8a2kq t√(a,2+a22) 可见F与成反比，即F与成正比，D项正确， 【经典例题】某物理兴趣实验小组的同学探究热敏电阻的阻值和温度的关系，实验 用 室为其提供了如下的实验器材： A.电源（电动势E=4.0V,内阻不计）； B.电流表A(0~0.6A,内阻r1=52); C.电流表A2(0~0.6A,内阻r2约为1)；D.定值电阻R,(用于保护电源)； E.滑动变阻器R,(最大阻值为102)： F.滑动变阻器R,(最大阻值为1002)； G.热敏电阻RT; H.绝缘温度计； 1.开关S、导线若干. (1)实验时要求电流表的示数从0开始调节，则滑动变阻器应选择 (填器材前的 字母). ·008 学科融合研究高中物理与数学 (2)为了较精确地测量热敏电阻在不同温度下（所加电压不超过3.0V)的阻值，利用以 上的实验器材设计电路图，并将设计好的电路图画在虚线框中. (3)根据设计的电路图，闭合开关，调节滑动变阻器，两电表A,、A2的读数分别记为I1、 I2,则此次测量时，热敏电阻的阻值为RT= (用题中所给的物理量的符号表示)， (4)该小组的同学通过测量的实验数据描绘出了该热敏电阻的阻值关于温度的函数图 像，如图甲所示，则该热敏电阻的阻值随温度的升高而逐渐 (填“减小”“不变”或 “增大”). 1 Q- 0.55 RT R 0.2 R3 0 35t/℃ 0I0- 图甲 图乙 (5)该小组的同学将热敏电阻接在如图乙所示的电路中.已知电源的输出电流I恒为 0.8A,定值电阻R3=5Ω、R4=32,接通电路后理想电压表的示数为1.2V,则热敏电阻所 处环境的温度为 ℃. 【解析()实脸时要求电流表的示教从0开始润节，则滑动支阻器应来用分压式接 法，为了方便调节且使电表示数变化比较明显，滑动变阻器应选择阻值较小的R· (2)滑动变阻器采用分压式接法，实验器材有两个电流表，没有电压表，可以采用双安法 测电阻的方式测量热敏电阻的阻值.电流表A]的阻值已知，所以A1可 以作为电压表使用，设计电路图如图所示. A (3)电流表A1两端电压U1=I1”1,热敏电阻RT与电流表A,并联， R 所以热敏电阻RT两端的电压Ur=U1=I1r,通过热敏电阻RT的电流 1,=1一1：所以热黛电且的阻位k告 ()由题图甲中信息可知，随温度的升高万运渐增大，所以K,随强度的升高万遂新 减小 (⑤)题图乙中，电压表示数U,1.2V,所以通过电阻R的电流1，=0,4A,道过电 ·009 学科融合研究高中物理与数学 阻R3的电流I3=I一I4=0.4A,电阻R3两端的电压U3=I3R3=2.0V,热敏电阻RT两端的 U,U:0,8V.所以热敏电阻的阻值R1=2Q,由题图甲中信息 温度t之间存在线性关系R=0.20+0,01t(℃)，所以当R1=2Ω时，环境的温度为t○ 30℃. 【经典例题8】-个导热性能良好，开口面积为S,内壁光滑的汽缸开口朝上水平放 E 在桌面上，里面有一个轻质活塞，轻质活塞封闭了一定质量的气体，活塞上放 m 置了一个质量为m的砝码，稳定时活塞距离汽缸底高度为h.以m为纵轴，以 六为横轴画图，图像为一条斜率为：纵轴截距为6的直线，重力加速度为，大 气压为 .当m=0kg时，h= 晶【解析】设未放陆码时活寒距汽缸底的高度为H:效珠码稳定后，汽缸内气体压强为 卫，外界大气压为0 对于活塞，根据平衡条件可得pS=pS+g, 对于气体，由理想气体状态方程可得 PoHS=phS, 联立解得m=HS.1pS 8 h g 根据题意可得-S-b,HS=k, g g 当m=0kg时，A=一会故答案为一曾，一合 【达标演练1】蜗牛爬树的上升速度和高度的关系是()=骨6其巾1=2nm, 2mm/s,求蜗牛上爬高度h=2cm所用的时间. ·010