五、导数与微元的思想-学科融合研究高中物理与数学

-2×1+京+京 2a y12 1 、2 25 a1一 1 a 24 因为v1=wo=3m/s, a=4 Mg-15。 m 2m/s2, 所以总路程s6-骨m 五、导数与微元的思想 1.导数 [达标演练1] 设船头与上游（或下游）河岸的夹角为0， 分别以o1、2、d表示题中水速、船在静水中 的速度和河宽， 02N 01 则有下列关系： 渡江时间t=4 v2 sin a' 船向下游漂流距离s=(v1一2cos)t, 船的位移x=(d+s2) v2sin 0 ·214 对变量0进行求导得 dvvsin(v22v vcos cos0 vsin20 vu 2+v2-2v vcos 0 当x'=0,即y2sin0-(v2+22-2uw· cos)cos0=0时，x取最小值， 此时cos0==0.8,因此渡江过程中， 船应保持与上游河岸的夹角为37°渡江. [达标演练2] 根据题意对B=Bosint求导，可知AB= △t B,cost,由法拉第电磁感应定律可知，线圈中产 生的感应电动势为E-=Bos,所 以线圈中产生的是余弦（正弦）交流电，电动势的 最大值为Em=B,π2，由闭合电路的欧姆定律 知感位电流的最大值为1。-最-录，， 电阻R,两端的电压的最大值为Um=ImX 2R=二2B电压表的示数为有效值，则其 示数为U-U=EB,,故选C √2 3 [达标演练3] 穿过三角形线框的磁通量表达式为 Φ=B·S=5Ba2·sino 4 三角形相框中的总感应电动势E的大小 为Φ对时间的导数 |E1=|Φ1=3Boa'·os t.. 4 因线框中的总电阻为3R,故t时刻线框 中的电流为 i最-原o2osod [达标演练4] 任一顶点的电势可转化为图中M点的电 势，其值等于其他6个点电荷在M点的电势叠 加，由对称性可知，1、5在M点的电势相等，2、 4在M点的电势相等，则M点的电势M=2· +2·g+k9-2kg=(2+1)kg a 3a 2a 2 a 同理，正六边形的中心处的电势= 6kg 任一正点电荷，其他点电荷对其产生的静 +11kg2 电能为E=9（号2a 由静电能W=)2q9:(式中：为9：所 2白 在处除q:以外的其他点电荷在该处所产生的 电势)知整个系统具有的静电能为 269g4-24p=i26-号}g w- 2.流体问题 [达标演练1] (1)设△t时间内，从喷口喷出的水的体 积为△V,质量为△m,则 △m=p△V, △V=voS△t, 由以上两式代入数据得 六4=p%S=1X103×10×104kg/s字 1 kg/s. 故单位时间内从喷口喷出的水的质量为 1 kg. (2)设铁盒悬停时其底面相对于喷口的 高度为h,水从喷口喷出后到达铁盒底面时的 速度大小为v,对于△t时间内冲击铁盒的水 △'，由动能定理得 ·215 -4mgh=号Amo2- 24m'o,2, △m'=puS△t. 以竖直向上为正方向，设水对铁盒的作 用力的大小为F,△t时间内冲击铁盒的水的 质量忽略不计，由动量定理得 -F·△t=0-△m'v. 由于铁盒在空中悬停，由力的平衡条件得 F=mg, 联立以上各式并代入数据得 h--25=0.5m. 故盒子在空中悬停时，其底面相对于喷 口的高度为0.5m. [达标演练2] 选在时间△t内与飞船碰撞的微粒为研 究对象，其质量应等于底面积为S、高为v△t 的圆柱体内微粒的质量m=m,Sv△t. 设飞船对微粒的作用力为F,由动量定 理得F·△t=mv-0,解得F=mSu= 0.784N. 根据牛顿第三定律可知，微粒对飞船的 ·216 撞击力大小为0.784N,要使飞船速度保持不 变，飞船的推进力应为0.784N. 六、平面几何的魅力 1.矢量三角形 [达标演练1] 以球为研究对象对其受力分析，如图 所示， 17 球受重力Mg、挡板对球的弹力F、滑 块对球的弹力F2三个力，三力构成首尾相接 的封闭三角形.滑块平行于斜面向上拉过 较小的距离，则挡板对球的弹力F减小， 滑块对球的弹力F2减小，故C正确，B错误； 对滑块和球整体进行受力分析，整体受重力、 斜面的支持力、挡板的弹力及拉力，各力的方 向不变，由于挡板对球的弹力减小，则拉力F 增大，在垂直斜面方向上，斜面对滑块的弹力 不变，故A、D错误.故选C.学科融合研究高中物理与数学 五、导数与微元的思想 1.导数 9 【必备知识】 1.常用函数的导数： (1)原函数为y=c(c为常数)，导数为y=0. (2)原函数为y=x”,导数为y=nx”-1. (3)原函数为y=sinx,导数为y=cosx. (4)原函数为y=cosx,导数为y'=-sinx. 2.导数的四则运算： a)u士0'=a士：2)u'=a+uw;(80/-, 02 【经典例题1】如图所示，一人通过动滑轮斜向上拉一水平地面上的物体，假定绳子 H 不可伸长且始终绷紧，某时刻此人拉绳的速度大小为，绳与水平面的夹角为，求此时物体 运动的速度的大小 ” 【解析】如图所示，不妨将绳子末端加长，与墙面相交于A点.A点距地面的高度为 h,动滑轮P与墙面的距离为x,墙面左边的绳子的总长度为1，则有l=x十√x2十h. 将1看作关于x的函数，对x求导数可得'(x)=1十}· √x2+h2 h P 1+ x =1+cos0. √x2+h2 而实际上，x也是关于时间t的函数，根据复合函数求导公式有 l'[x(t)]=1(x)x'(t)=(1+cos0)x'(t). 根据导数含义知'(t)是绳子长度变化的速度的大小，即拉绳子的速度，x'(t)即物体运 动的速度v的大小，故知一1十c09当然此题也可从功的原理出发，利用功率相等计算. ·110 学科融合研究高中物理与数学 是【经典例题2】如图所示，两个半径均为R的薄圆环（环心分别为0和O,)在同一平 面上，令左边的圆环静止，右边的圆环O2紧贴左边的圆环O,并以速度沿O1O2的连线方向 向左运动，试求两圆环上部的交点A的速度与两环圆心间距d的关系. 0 【解析】如图建立平面直角坐标系0，y,设任意时刻：两环圈心之间的距高为山一 ot,则 圆环O1的方程为x2十y2=R, 圆环O2的方程为(x-vt)2十y2=R2, 两式相减得A点的横坐标x=,故=)=分 将圆环O,方程对时间t求导数可得2xx'(t)十2yy'(t)=0, 化简得y'()=-工x'(), y 即Uh=一乙U, y 所以a2=2+y2=工十y y22R2 又因为当两环限心间距为山时有y=R怡)，代入上式可得一- R 。【经典例题3】某人在水平地面上抛出一沙包.问：必须以什么角度抛出，才能保证此 物在运动过程中始终远离抛出点？ 晶【解析】设抛出时沙包的初速度为，抛射角为时刻沙包的位移大小为，则 g2=(e0s0)2+(sin01-2g2-gt-gsin0…+d2. 令上式右边为)()，即()=gt一gsin0P+,只要y在>0时随上增大即 可保证s也随t增大.对y(t)求导数得y(t)=g2t3-3 ogsin0·t十2ot=t(g2t-3 ugsin0· t+2).要使y(t)在t>0时为增函数，必须使y'(t)>0,即gt-3 vgsin0·t+2o2>0. gt-3 vgsin0t+2x可看作是关于t的一元二次方程，△=(-3 vgsin0)2-8g2<0, 化简得sin022,即角度小于70.5 ·111 学科融合研究高中物理与数学 【经典例题4】如图所示在光滑水平面上，有一边长为a=0.1m,质量M=2.4kg的 正方形木块B,支撑着一根长为l=0.3m的光滑轻杆.轻杆的一端固定着质量m=2.0kg的 小球A,另一端可绕O点无摩擦地自由转动，O点离地的高度不计.系统静止时杆与水平面的 夹角a=53°.释放系统后，当杆与水平面的夹角为30°时，木块的速度是多少？（已知sin53°= 0.8,g取10m/s2) 【解析】设B物体的水平位移为，水平方向B物体运动的速度为阳=1()， A物体的转动的线速度为vA=lw=0.3a'(t), 水平位移与夹角的关系为x=,0=01 tan a tan a 所以x'(t)=0.1 sina la'(t), (负号表示变化方向相反，x是增加的，而角度是变小的) 0.3 联立上面式子有w-0.i%sina=3 nsin30, 3 故U=4哪 杆与水平面的夹角由53°变为30°时，小球下降的高度为h=l(sin53°一sin30°)， 小球和木块组成的系统机械能守恒，剥有mg=之m,+号Mm, 联立解得= 32mgl(sin 53sin 3012 m/s. 9m+16M 【经典例题5】一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场 中竖直向下落，磁场的分布情况如图所示.已知磁感应强度竖直方向分量B,的大小随高度y 变化，其关系为B,=B,(1+ky),k为比例常数，且k>0.沿圆环轴线的磁场 方向始终竖直向上，金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平，其速度越 来越大，最终稳定在某一数值，称为收尾速度 (1)求圆环中感应电流的方向； (2)求圆环收尾速度的大小. 骨【解析】1)根据楞次定律可知，感应电流的方向为顺时针方向（俯视观察）. ·112 学科融合研究高中物理与数学 (2)设圆环下落达到稳定速度时的高度为yo,收尾速度为m,经时间t圆环下落高度为 y,则穿过圆环的磁通量为=B,S=xB(1十kb十 将上式对时间1求导数，即为金属喝环中产生的感应电动势E=:)=B,0 圆环中的感应电流的电功率P二，重力做功的功率G。=mg 圆环收尾时动能不再增加，重力势能全部转化为电能，故有PG=PE, 联立以上各式可得圆环的收尾速度一B, 16mgR 黑【经典例题6】如图所示，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为0，间距为L. 导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B,方向 垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保 持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g, 忽略所有电阻，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑， (1)求电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)求金属棒的速度大小随时间变化的关系 【解析1I)设1时刻金属棒下落速度为0，则感应电动势大小B=BL0, 电容器两极板间电势差U=E, 则电容器极板积聚电荷量Q=CU=CBLU. (2)极板所积聚的电荷经回路而来（从微观层面看是洛伦兹力搬运电荷所致），将(1)中式 子对时间进行求导可得回路中电流I=Q=CBLw'=CBLa. 金属棒所受的安培力方向沿导轨向上，大小为F豪=BLI, 金属棒所受的摩擦力方向沿导轨向上，大小为F=FN, 上式中，FN是金属棒对轨道正压力的大小，即FN=mgcos0, 根据牛顿第二定律有ngsin0-F安一Ff=ma, 由以上式子可得a=m(sin0-gcos0) m+B2L2C 故t时刻金属棒的速度大小为o=m(sin0一scos。 m+B2L2C gt. ·113 学科融合研究高中物理与数学 【经典例题7】如图所示，边长为α的正三角形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大 小为B,方向垂直于纸面向外.边长也为a的正三角形导体框架ABC,以周期T绕其中心点 在纸面内匀速旋转，设t=0时恰好与磁场区域的边界重合，求导体框架与磁场边界重合前的 某时刻：<： (1)导体框架的感应电动势大小与转过角度的关系； (2)t=0时刻和t= 时刻回路中感应电动势的大小 T B C 胃【解析】如图所示，假设导体框逆时针转过一角度，成为等边三角形AB,G,从三 角形中心O向AC和A1C分别作垂线，垂足D、D1在边长上，A,C1交AC于点E、交AB于 点F,则有 ∠AEF=∠DOD1=∠AOA,=0. 由儿何关系知ED=OD·tan号=6atan?' AE-AD-DE-9 26 atan 2 在△AOF中应用正弦定理有AF AO 0 sin 2 sin150°- 、 AOsi 3 3 asin 2 所以AF sin150°- sin(30+) 利用正弦定理得△AEF的面积S=号AF·AE·sn60, ·114 学科融合研究高中物理与数学 联立公克符9-c.如8-m别 24 sm(30+号】 化简后得S=3a tan 2 12 tan(30°+2） t时刻通过导体框架的磁通量①=B(S△ABC一3S), 对上式中的磁通量对时间t求导数可得感应电动势大小 E=I'()|=3BIS'=3Bag tan 1 0 cos2 tam(30+号) sin2(30°+号 其中0=w=宁， 2π 当t=0时，0=0，E=3πBQ 4T, 当t关日时，0=60，E=0 【经典例题8】如图所示，两根平行金属导线固定在水平桌面上，每一根导轨每米长 的电阻值r。=0.102,导轨的端点P、Q用电阻可以忽略不计的导线相连，两导轨的距离l= 0.20.随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt,比 例系数为k=0.02T/s.一电阻不计的金属杆可以在导线上无摩擦地滑动，在滑动过程中保 持与导轨垂直.在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静 止开始向导轨另一端滑动，求在t=6.0s时金属杆所受的安培力. 【解析】要求出6s时刻的安培力，即要求出6s时的磁感应强度、电阻速度，面积。 而此题产生感应电动势有两个方面，一是由运动导体切割磁感线引起，二是由磁场本身的变 化引起 因此有E=Blw十Sk. 设加速度为a,则磁感应强度B=kt=0.02×6=0.12T, 速度v=at=6a, ·115 学科融合研究高中物理与数学 闭合回路的面积S=2ar1=18a×0.2=3.6a, 1 电阻R=0.10×2at=1.8a, 所以安培力的大小为 F=BI1=BB1m十Sk1=B1+BSkL_0.12×0.2×6a+0.12X3.6a×0.02X0.2= R R R 1.8a 1.8a 2.88×10-3N. 【点评】该题同时涉及动生电动势和感生电动势，难度较大，但用导数计算回路中的感应 电动势思路清晰、方法简洁，避免了学生错误地只应用公式E=B如或S=A5进行计算。 △t 【经典例题9】一质量为的人造地球卫星，在轨道半径r的圆形轨道上运动，受所 处空间稀薄空气阻力的作用，卫星运动的轨道半径、动能、势能、机械能将如何变化？（此题仅 供有余力的读者练习) 骨【解析】说地球质量为M,由公式G=m知卫显的动能E.=m=G 2r 卫星引力势能E。=一GMm 卫星的机械能E=E十E,=一GMm 2r 由于克服阻力做功，卫星的势能将减小，由上式可知卫星的轨道半径r将变小，r减小将 使卫星动能增加，机械能减小. 【经典例题10如图所示，电荷量为Q的带电粒子甲固定在0点，在0点正上方距 其1处的A点有一电荷量为q、质量为m的粒子乙刚好静止.现将粒子乙竖直向上拉 B 高至距0为1处的B点后从静止开始释放，粒子乙能到达的最低点为C,假定两粒 子都能当作点电荷，求OC间的距离.（此题仅供有余力的读者练习） 【解析】以0点为重力势能零点，设OC间距离为x,由题意得在A点的重力 势能与电势能之和应与C点相等，即mg影十竖=mgx十盟，又mg=婴，联立解得 ·116 学科融合研究高中物理与数学 【经典例题11】求解同心球形电容器的电容.（此题仅供有余力的读者练习） 有【解析】如图所示，半径为R,的导体球（或球壳）和半径为R,(R2>-Q R1)的导体球壳同心放置，便构成了同心球形电容器 RR 若同心球形电容器内、外球壳之间也充以相对介电常数为€，的电介 质，设内球壳电荷量为Q,外球壳电荷量为一Q,则内、外球壳之间的电势差为 U=4=2品一品兽限忘》 故也客务C-吕k 【经典例题12】如图所示，中空金属球壳内、外半径分别为R1和R2,球带电荷量为 W Q.(此题仅供有余力的读者练习) (1)求全空间电场强度和电势； (2)现将电荷量为q的点电荷放入球心处，空间各处场强和电势如何变化？ (3)如果在(2)情况下再将球和外部接地，场强和电势又如何变化？ 【解析】)电荷量Q将全部分布在球亮外表面，注意到导体内部电场强度为零，子 体是等势体，设在空间某点离球心的距离为r,则有 Q k k (r>R2) (r>R2) r 电场强度E= ,电势 0(r≤R2) Q R2 (r≤R2) (2)空腔内放有电荷q后，球壳内表面将聚集电荷为一q的电荷，外表面电荷量为Q十q,有 k Q+9(r>R2) kQtq (r>R2) 2 电场强度E=〈0 (R≤≤R),电势=kQg R2 (R1≤r≤R). k号 （r<R1) kQ十9+kg-kg(<R) R2 r R (3)球壳外部接地后，外表面的电荷消失，球壳电势为零，有 ·117 学科融合研究高中物理与数学 (<R) 电场强度E= 电势0 是-是(<R) 0(r≥R1) 0(r≥R1) 【达标演练1】8月的某日，某处江水的平均流速是15/s,一只帆船在静水中航速为 12m/s,要从江北的A处到对岸的B处去执行任务.此处江面的平均宽度为840m且两边江 岸垂直.要使此船在渡江过程中位移最小，应如何渡江？ 【达标演练2】如图所示，单匝圆形金属线圈与电阻R,连接成闭合回路，线圈电阻为R, R,的阻值为2R.线圈的半径为1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向 里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系为B=B。sit,若在a、b两点间并联一个 理想交流电压表，则电压表的示数为() BX才 × b A.号B C D.2B, 31 3 3B,r22 3 ·118 学科融合研究高中物理与数学 【达标演练3】如图所示，ACD是由均匀细导线制成的边长为α的正三角形线框，它以 AD为转轴，在磁感应强度为B的恒定匀强磁场中以恒定的角速度ω转动（俯视方向观察为 逆时针旋转)，磁场方向与AD垂直.已知三角形每条边的电阻均为R,取图示线框平面转至 与磁场平行的时刻为t=0.求任意时刻t线框中的电流. 六0 Aa B a a D 【达标演练4】一边长为a的正六边形的六个顶点各有电荷量为十q的点电荷，六边形的 中心有电荷量为一2q的点电荷.则正六边形任一顶点处的电势为 ;则对任一正点电 荷，其他点电荷对其产生的静电能为 ;整个系统具有的静电能为 (此题仅供有余力的读者练习) -2 ·119