精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

仁寿第一中学校南校区高一下期入学考试卷 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A ， B. ， C ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数 的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 已知函数，设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 函数有两个零点 C. 在区间上单调递减 D. 有最大值，没有最小值 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该图象对应的函数解析式为 B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数上单调递减 11. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A. 2 B. C. 5 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_________. 13. 已知，且，则________． 14. 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c则a，b，c由小到大的顺序是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 16. （1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值． 17. 已知函数的最大值为. （1）求函数的最小正周期和常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 18. 设函数为奇函数． （1）确定的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围． 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， （1）请证明：函数（）不存在“理想区间”； （2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； （3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿第一中学校南校区高一下期入学考试卷 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式以及对数函数的性质化简两个集合，即可根据并集的定义求解. 【详解】或， ， 故. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由否定的定义判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】； . 因为“”是“”的必要不充分条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 4. 函数 的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】结合选项可知，因为函数和在均为增函数， 所以函数在上单调递增， 又， ， ， 所以函数的零点在区间上. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】将异名三角函数化为同名三角函数，在根据平移规则，再求解出答案. 【详解】因为， 所以，要得到函数，只需要将函数得图象向右平移个单位长度即可. 故选：B. 6. 已知函数，设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 函数有两个零点 C. 在区间上单调递减 D. 有最大值，没有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合对各个选项逐个判断即可. 【详解】在同一直角坐标系中，画出函数，的图象， 由可得，可得，可得，解得， 从而得函数图象，如图实线部分： 对于A，因为函数图象关于轴对称，所以是偶函数，正确； 对于B，根据零点的定义结合函数的图象知，函数有三个零点，分别为，错误； 对于C，从函数图象观察得在区间上单调递减，正确； 对于D，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确； 故选：B. 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦函数性质结合图象中最大最小值可先计算出，再利用点计算出，最后借助点代入计算即可得的值. 【详解】因为，所以，解得， 所以，则， 因为，所以，可得， 因为，所以， 即，因为，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用不等式的性质可以判断；对B，利用特殊值可以判断；对C、D通过作差比较可以判断. 【详解】对A，因为，根据不等式的基本性质可得，故A正确； 对B，当时，，故B不正确； 对C，由，得，所以，故C正确； 对D，由，得，且不同时为0， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该图象对应的函数解析式为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象求出函数解析式，再根据正弦函数性质判断各选项. 【详解】由题意，，则， ，又，所以， 所以，A正确； ，所以是图象的对称轴，B错； ，是图象的对称中心，C错； 时，，递减，D正确. 故选：AD. 11. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由平面向量两两的夹角相等可知有两种可能，分类讨论可求解. 【详解】因为平面向量 两两的夹角相等，所以其夹角为或. 当夹角为时，； 当夹角为时， ， 所以或2. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积的坐标表示即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号. 【详解】设,,那么,从而. 于是.因为, 所以.由,得. 所以, 所以. 故答案为：. 14. 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c则a，b，c由小到大的顺序是________． 【答案】a<c<b 【解析】 【详解】因为函数f(x)＝2x＋x的零点在(－1,0)上，函数g(x)＝log2x＋x的零点在(0,1)上，函数h(x)＝x3＋x的零点为0，所以a<c<b. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据向量模的坐标公式即可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解； （3）根据数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 ， . 【小问3详解】 ,. 16. （1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出的值，利用诱导公式化简可得结果. （2）根据条件计算，结合角的范围分析的正负，求出的值即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，， ∴. （2）∵， ∴，即，故， ∵，∴，故， ∴，故， ∴. 17. 已知函数的最大值为. （1）求函数的最小正周期和常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1）最小正周期为；. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质即可求解； （2）利用正弦函数单调性求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 此时函数的最小正周期， 因为的最大值为，且函数的最大值为，所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 由，得， 即，所以， 解得， 因此，满足的的取值集合为. 18. 设函数为奇函数． （1）确定的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）奇函数满足恒成立，然后求解得，最后检验即可； （2）先设，然后判断的正负，利用定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性与单调性求解即可. 【小问1详解】 由题可知恒成立， 得，即恒成立， 化简得，得， 当时，，此时定义域为，满足， 所以满足； 当时，，此时定义域为，所以非奇非偶， 所以不满足； 故. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 设， 得， 因为，所以， 得， 得， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 由题得， 即， 由（2）可得， 解得， 所以解集为：. 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， （1）请证明：函数（）不存在“理想区间”； （2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； （3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用的单调性，转化为，解方程即可证明； （2）利用二次函数的性质以及函数的值域，求出，结合对称轴，得到在上必为增函数，由求解即可； （3）由函数单调性和新定义知，方程有两个同号的实数根m，n，（），利用韦达定理表示，然后利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由为上的增函数，则有， 所以，所以，无解， 所以（）不存在“理想区间”； 小问2详解】 记是函数的一个“理想区间”（）， 由及此时函数值域为，可知，而其对称轴为， 所以在上必为增函数，令， 所以，所以，故该函数有唯一一个“理想区间”； 【小问3详解】 由在和上均为增函数， 已知在“理想区间”上单调， 所以或，且在上为单调递增， 则，，即m，n（）是方程的两个同号的实数根， 等价于方程有两个同号实数根， 又，则只要， 所以或， 而由韦达定理知，， 所以， 其中或，所以当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $