精品解析：陕西西安高新唐南中学2025-2026学年下学期阶段学情自测九年级数学试卷

2025~2026学年度第二学期阶段性训练二考试 九年级 数学试题 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 不能确定 2. 如图，传统竹编工艺有着悠久的历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线分别与直线， 交于点，，点在直线 上，．若，则的大小为（ ） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° 4. 计算：（ ）. A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分交边于，且．若，，则的周长为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 13 6. 在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点，，图象上有三个点，，，且．当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：__________． 10. 正十边形绕着它的中心至少旋转___________度，能与它本身重合. 11. 如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为_____． 12. 如图，， 分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为___________． 13. 已知点、点、点分别是不同象限内的三个点，若其中的两个点是正比例函数与反比例函数的交点，则的值为______． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠B＝60°，点E在线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE翻折，得△AFE，连接CF、DF．则△CDF面积的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式，并写出最小整数解． 17. 解方程：． 18. 如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如下图，四边形是矩形，点在边上，，垂足为，．证明：． 20. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要动力，为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种AI软件，他将四种图标依次制成，，，四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到豆包卡片的概率为_____________； （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片中，含有豆包卡片的概率． 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导管紧贴水面 ，延长 交于点，且（点，，，在同一直线上），经测得，，，求的长．（结果保留整数）（参考数据：，，） 22. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 23. 为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为： 89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 九年级 88 88 b （1）完成填空：________，______，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数； （3）若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 24. 如图， 与是的直径，连接、，延长到，连接并延长，交的延长线于点，过点作的切线交于点，点是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线形，线段为桥面，线段 为立柱，关于 所在直线对称．的最低点到的距离为，到 的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以 所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在上，点在上，点到 的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 26. 【问题探究】 （1）如图1，已知：，垂足分别为，点是 上使的值最小的点．，则___________． （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边的中点．探究与 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块花卉种植基地，边长为4千米，对角线为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路上确定一点（不与点重合）．连接，以线段为斜边，在右侧建等腰直角区域（），用来种植新品花卉，并在处设立观赏台．点和点为基地的两个景观点，在上且．现要沿修建观赏步道，请确定步道的最小值．并求出当最小时，花卉种植区域的面积（即的面积）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期阶段性训练二考试 九年级 数学试题 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 如图，传统竹编工艺有着悠久的历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了面动成体的过程，熟练掌握面动成体是解题的关键；通过丰富的空间想象力类比选项中各花瓶的外表即可得出答案． 【详解】解：将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是， 故选：A 3. 如图，直线，直线分别与直线，交于点，，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 又因为，即， 所以． 4. 计算：（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先进行乘方运算，再计算单项式乘单项式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 5. 如图，在中，平分交边于，且．若，，则的周长为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线性质，以及三角形内角和定理推出，结合等腰三角形性质，以及三角形周长公式求解，即可解题． 【详解】解： 平分， ， ，， ， ， ， ， ，， 的周长为． 6. 在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由点A，B的坐标及可得出y随x的增大而增大，进而可得出，利用一次函数的性质，可得出直线经过第一、三象限，再对照四个选项中点的坐标，即可确定结论． 【详解】解：∵点在直线上，且，， ∴随的增大而增大， ∴，该直线经过第一、三象限， ∵选项A位于第三象限，符合直线经过的象限； 选项B不在直线上； 选项C位于第二象限，不符合直线经过的象限； 选项D位于第四象限，不符合直线经过的象限； 故选：A． 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形和直角三角形的性质是解题关键． 先利用菱形的面积公式求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出，从而计算出的长度． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 8. 已知二次函数的图象经过点，，图象上有三个点，，，且．当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数与x轴的两个交点求出对称轴，结合函数增减性判断开口方向，再逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵二次函数图象过x轴上两点， ∴二次函数的对称轴为 ， 由对称轴公式， 可得，即，故B错误． ∵当时y随x的增大而增大，对称轴为， ∴抛物线开口向上，即，故A错误． ∵，开口向上，抛物线与x轴上两点， ∴可得或时，时， ∵，∴，，， ∴，故C正确． 当时，，把代入得， 即， ∴， ∵， ∴，即，故D错误． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法和公式法（平方差公式）分解因式，先提取公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】解：原式 故答案为：． 10. 正十边形绕着它的中心至少旋转___________度，能与它本身重合. 【答案】36 【解析】 【分析】该图形被平分成相等的十部分，因而每部分被分成的圆心角是36°，因而旋转36度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成相等的十部分， ∴旋转36度的整数倍，就可以与自身重合， ∴一个正十边形绕着它的中心至少旋转36度能与自身重合． 故答案为：36． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 11. 如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的实际应用．设小长方形木块的长为，宽为，由题意列出二元一次方程组，再根据长方形面积长宽即可得解． 【详解】解：设小长方形木块的长为，宽为， 依题意得：， 解得， 则每块小长方形木块的面积为． 故答案为：． 12. 如图，，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为___________． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的中心角公式是解题的关键． 连接 、 、、，根据正多边形的中心角公式可得，，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接 、 、、， ∵，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：49． 13. 已知点、点、点分别是不同象限内的三个点，若其中的两个点是正比例函数与反比例函数的交点，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点；根据题意得到点在第一象限，点在第二象限，点在第三象限，再结合正比例函数与反比例函数的交点需满足坐标互为相反数，得到，即可求出结果． 【详解】解：已知点在第一象限，点、点的y坐标相同． 正比例函数与反比例函数的交点需满足坐标互为相反数，且三点分布在不同象限． ∴点不能在第一象限， ∴只能， ∴点在第二象限， ∴点不能在第一象限和第二象限， 又∵， ∴点在第三象限， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的交点需满足坐标互为相反数， ∴只有点和点在第一象限和第三象限满足， ∴和坐标互为相反数， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠B＝60°，点E在线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE翻折，得△AFE，连接CF、DF．则△CDF面积的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】过点A作AH⊥CD于H，由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求AH＝6，由折叠的性质可得AF＝AB＝4，可得点F在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，则当点F在AH上时，FH有最小值＝AH﹣AF＝2，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥CD于H， ∵平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠ABC＝60°， ∴CD＝AB＝4，∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴∠DAH＝30°， ∴DH＝AD＝＝2，AH＝DH＝6， ∵将△ABE沿着AE翻折，得△AFE， ∴AF＝AB＝4， ∴点F在以点A为圆心，AB长为半径的圆上， ∴当点F在AH上时，FH有最小值＝AH﹣AF＝2， ∴△CDF面积的最小值＝×4×2＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够看出来点F的轨迹是圆，然后用求一个定点到圆上一点距离最小值的方法求解． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用非零数的零次幂、立方根、三角函数、负整数指数幂解出答案． 【详解】解：原式 . 16. 解不等式，并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【解析】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式最小整数解为． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．首先提取公因式因式分解，并且根据两个分母的因式互为相反数的关系，找到最小公分母后去分母化为整式方程， 解整式方程，最后检验：将解得的根代入最小公分母验证，确保分母不为（避免增根）． 【详解】解：， 因式分解，得：， 方程两边乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：． 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 18. 如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】由得到点P在的垂直平分线上，根据作垂直平分线的尺规作图方法作出的垂直平分线，在以点B为顶点，为边作出等于的角，即可得到的平行线，垂直平分线与平行线的交点即为点P． 【详解】如图，点即为所求． 19. 如下图，四边形是矩形，点在边上，，垂足为，．证明：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ． ，，， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用 “”证明，即可证明． 【详解】略 20. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要动力，为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种AI软件，他将四种图标依次制成，，，四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到豆包卡片的概率为_____________； （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片中，含有豆包卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单事件的概率，所有可能情况有4种，抽到豆包卡片的情况有1种，则可求得概率； （2）根据题意画出树状图，得到所有可能情况及含有豆包卡片的情况，再结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽到豆包卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图如下： 所有可能情况共有12种，其中含有豆包卡片的情况有6种，则含有豆包卡片的概率为． 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导管紧贴水面 ，延长交于点，且（点，，，在同一直线上），经测得，，，求的长．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于，先证明四边形为矩形，利用三角函数关系求出和，求出的长，再根据已知条件得出，根据等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】如图，延长、交于， ，，， 四边形为矩形， ，， ，， ， 在中，，， 则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】解此类题的关键是根据已知条件准确作辅助线，构造直角三角形． 22. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 【答案】（1） （2）15分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． （1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解． 【小问1详解】 解：设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为， 由题知当时，；时，， ， 解得：， 与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 答：最晚15分钟菜全部上桌． 23. 为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为： 89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 九年级 88 88 b （1）完成填空：________，______，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数； （3）若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】（1），88，补全条形图如图： （2） （3）估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有169人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图，求中位数和众数，利用样本估计总体． （1）根据中位数和众数的计算方法求解即可，根据频数之和求出等级的人数，补全条形图即可； （2）用乘以D等级的百分比即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，八年级等级的人数为， 八年级数据中第10个和第11个数据分别为：， ∴； 九年级中等级的人数为，等级的人数为，等级的人数为，等级的人数为，数据中出现次数最多的是88， ∴； 补全条形图略 故答案为：，88； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有169人． 24. 如图，与是的直径，连接、，延长到，连接并延长，交的延长线于点，过点作的切线交于点，点是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质推出，根据等腰三角形的性质得出，再根据等量代换求解证明即可； （2）连接，求出，，，证明，求出，再利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 证明：和是的直径， ，点为与的交点， 点是的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 点是斜边的中点， ， 在中，， ，， ， ，， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ． 25. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线形，线段为桥面，线段 为立柱，关于 所在直线对称．的最低点到的距离为，到 的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以 所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在上，点在上，点到 的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识． ()利用待定系数法求出函数解析式即可； () 求出当时，，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ∴ 解得：， ∴所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ∵点到 的距离均为， 当时，， ， ∴， ∴这两条灯带的总长为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，已知：，垂足分别为，点是 上使的值最小的点．，则___________． （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边的中点．探究与 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块花卉种植基地，边长为4千米，对角线为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路上确定一点（不与点重合）．连接，以线段为斜边，在右侧建等腰直角区域（），用来种植新品花卉，并在处设立观赏台．点和点为基地的两个景观点，在上且．现要沿修建观赏步道，请确定步道的最小值．并求出当最小时，花卉种植区域的面积（即的面积）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【解析】 【分析】（1）以 为轴作A点对称点，连接交 于C，则就是最小值，延长使，连接；根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质得 ，的长，在中运用勾股定理求得的长，即可求得的最小值； （2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明； （3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，根据角平分线的性质以及三角形的面积公式求得，即可进一步求的面积． 【详解】解：（1）以 为轴作A点对称点，连接交 于C， 则， 就是的最小值； 延长使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ； （3）取中点，连接， 由正方形可得 ， ， ， ， ， 又∵是的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴最小值等于最小值， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为4千米，是中点，则 在中，由勾股定理得千米， ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， ∵ ∴是的角平分线， ∴到的距离相等，设距离为，设到的距离为 ∵ ∴ ∴ ∴此时的面积为平方千米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $