专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.铅笔头模型 1 11 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出，进而可得出结论． 【详解】过点C作，    ，，∴ 由得，， 即．故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 例2．（2023下·浙江七年级期中）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】C 【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数． 【详解】解：过点A作AB∥l1， ∵l1∥l2，∴AB∥l1∥l2，∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180， ∵∠1=105,∠2=140 ，∴∠4=75,∠5=40， ∵∠4+∠5+∠3=180，∴∠3=65.故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质. 例3．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】过顶点做直线支撑平台，直线将分成两个角，根据平行的性质即可求解． 【详解】解：过顶点做直线支撑平台，支撑平台工作篮底部， 、，， ，．    【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质，结合所作的辅助线，可以得出答案． 【详解】解：过点C作，过点D作．    ∵，∴， ∴，，, ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及判定的相关知识点，掌握知识点是解答此题的关键． 例5．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过E作，根据平行线的性质即可得到，再根据，分别为的角平分线，即可得出，最后根据四边形内角和进行计算即可解答． 本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识，正确作出辅助线构造平行线成为解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作，∵，∴， ∴，∴， 又∵，分别为的角平分线， ∴， ∴四边形中，．故选：D． 例6．（2023下·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先过点E作，过点F作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作，    ∵，∴，∴，， ∴，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，用到的知识点为：两直线平行内错角相等，角平分线的性质． 例7．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，，∴， ∴，， ∴，； ∵，∴，∴，∴， ∴，∴ 故答案为：． 例8．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列各图中的与平行．    图中的，图中的，图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 【答案】 【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案． 【详解】解：图中的， 图中的， 图中的， 图中的， 图中的．故答案为：，． 【点睛】本题考查平行线的性质，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律． 例9．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）【初步应用】：生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射入到平面镜上、被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．回答下列问题：①当，（即）时，求的度数． ②当时，任何射入平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于） （2）【拓展探究】：如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，求的度数． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①先求出的度数，再利用平行线的性质求解即可； ②由求出，结合题意可得，，可求，进而求出，最后利用平行线的判定即可得证； （2）过点作，则，利用平行线的性质、三角形内角和等于可求，，，，，，最后在中求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴，∴， 又，∴； ②由题意知，，∵，∴，∴， ∴，∴； （2）过点作， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 又，∴，∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 例10．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）【阅读材料】 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，，点P在与之间，可得结论：． 理由如下：过点P作．∴． ∵，∴．∴．∴． 【问题解决】(1)如图②，，点P在与之间，求证：； (2)如图③，，点P在与之间，平分，平分，写出与间的等量关系，并写出理由；(3)如图④，，点P，E在与之间，，，可得与间的等量关系是______（只写结论） 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3) 【分析】（1）过点P作．由平行线的性质可得，，进而可得； （2）由题意可设，，则，，由（1）可知：，同理可得，可得，，证得；（3）由（2）可知，由，，可得，由题意可知，进而可得； 【详解】（1）证明：过点P作．∵，∴； ∵，∴．∴，∴； （2）结论：．理由：如图中，∵平分，平分， ∴，． 设，，则，， 由（1）可知：，同理可得：， ，，∴； （3）．理由如下：由（2）可知， ∵，，∴，即：， 由题意可知：，∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，等量代换等相关知识．解题的关键是熟练运用平行线的判定与性质，难点是作辅助线构建平行线． 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过作，而，可得，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作，而， ∴，∴，， ∴，∴，∵，∴；故选C 2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【答案】B 【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可． 【详解】解：如图，作CF//ED，  ∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键． 3．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，则，， ，，， ，， ．故选：B．    【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键． 4．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，已知，，和的平分线交于点F，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据，求出，根据角平分线定义得出，，求出，最后根据四边形内角和求出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴， ∵和的平分线交于点F，∴，， ∴， ∴．故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定义，求出． 5．（2023下·云南昆明·七年级统考期末）如图，已知，为、之间的一点，连接、，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，则有，利用平行线的性质可求得与，即可求的度数． 【详解】解：过点作，如图，    ∵，∴，，， ，，，， ．故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 6．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点C作，利用平行线的性质得到，进而求出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作，∵，∴， ∴， ∵，即，∴， ∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 7．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（     ） A．150° B．180° C．210° D．240° 【答案】C 【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：作直线l平行于直线l1和l2． ，． ，．故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键． 8．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可． 【详解】解：过点B作，∴    ∵，∴，∴ ∴，∴， ∵∴∵，∴的度数为．故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键． 9．（2023下·山东八年级课时练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【答案】540 【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°， 故答案为：540． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键． 10．（2023下·河北保定·七年级校考期中）如图，已知，则 ，则等于 （用含的式子表示）．    【答案】 /360度 【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，过点向右作，过点向右作，    ∵，∴， ∴，，， ∴， 当时， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键． 11．（2023下·河南许昌·七年级统考期末）如图，于，交于点，交于点．若， ．    【答案】45 【分析】如图，过点F作，根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】解：如图，过点F作，    ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：45． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 【答案】①② 【分析】根据题意，画出正确的图形，角平分线的定义，根据平行线的性质、角的和与差推理即可．本题考查的是平行线的性质以及角的和与差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，以及找到各角的和与差． 【详解】解：①，，，，， ，平分， ，，故①选项是正确的； ②由①知，，，， ，， ， ，，故②选项是正确的； ③由①知，，， ，故③选项是错误的．故答案为：①② 13．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵，∴，∴， ， ，∴， 又∵、分别平分、，∴，， ∴， ∴ ，故答案为：． 14．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．作辅助线构建平行关系是解题的关键． 过点作，则有，由两直线平行，同旁内角互补，可知，通过角的等量代换可得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ，，， ，，，， ，．故答案为：． 15．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 16．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作，得（____________）， 因为（____________），（所作）， 所以（____________）．得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知），所以______°（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；； 【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知），（所作）， 所以（平行于同一直线的两直线互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）． 所以（等式性质）． 即， 因为（已知），所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补． 16．（2024下·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 【答案】(1)(2)；证明见详解(3) 【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问； （2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问； （3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图过点作， ∵，∴．∴，． ∵，，∴ ∴． ∵，∴∠P=80°．故答案为：； （2）解：，理由如下：如图过点作， ∵，∴．∴，． ∴∵，． （3）如图分别过点、点作、 ∵，∴． ∴，，． ∴ ∵，，， ∴∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键． 17．（2023下·安徽滁州·七年级统考期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是________，________． 利用上面的发现，解决下列问题：    （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是________． 【答案】，360；（1）；（2） 【分析】根据平行线的性质得出，，即可求解；（1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质进而即可求解；（2）设，则，，根据题意列出方程，，解方程即可求解． 【详解】如图1，，过点作，可得． ∴，， ∴；， 故答案为：，； （1）解：∵， 又∵，，∴， （2）解：设，则，，， ∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 18．（2023下·山西长治·七年级校考阶段练习）综合与探究 已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． (1)在图1中，，，之间的数量关系为___________，，之间的数量关系为___________ (2)如图2，若，，试猜想和之间的数量关系，并加以证明．(3)若， ，请直接写出和之间的数量关系； 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）过作，根据平行线的性质与判定得出，根据为的平分线，为的平分线，得出； （2）过点作，根据平行线的性质与判定得出，由（1）可得，进而可得，根据已知条件得出，则，根据，即可求解；（3）根据（2）的方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过作 ∵，∴，∴，， 又，∴； ∵为的平分线，为的平分线， ∴即， 故答案为：，． （2），证明如下，如图所示，过点作 ∵，∴，∴ ∴，由（1）可得 ∴ ∵，即∴，即 同（1）可得，∴ ∵，， ∴，∴； （3）解：由（2）可得， ∵，∴，即 同（1）可得，∴ ∵，， ∴，∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 19．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】（2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】（3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；（1）过点作，得出，进而根据平行线的性质可得，即可求解；（2）过点作,根据平行线的性质可得 ，进而得出；（3）过点作得出，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）过点作，∵，∴， ∵ ， ， （2）理由如下:如图所示, 过点作, ，即 ； （3）如图所示，过点作 与桌面 垂直．∴ ∵∴ 由（1）可得故答案为：． 20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】 （1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系； ②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系； 【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．           【答案】（1）①；②；（2），理由见解析 【分析】（1）①过点E作，可得，根据平行线的性质得到，从而可得；②过点E作，可得，根据平行线的性质得到，，从而可得；（2）过点E作，结合（1）②中的结论可得，，进一步可得结论． 【详解】解：（1）①如图1，过点E作， ∵，∴，∴， ∴，即；          ②如图，过点E作，∵，∴， ∴，，∴； （2），理由是：如图，过点E作， ∵，∴，在折线中，同（1）②可得： ；同理可得：； ∴，即． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.铅笔头模型 1 11 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 例2．（2023下·浙江七年级期中）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 例3．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ．    例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 例5．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例6．（2023下·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（        ）    A． B． C． D． 例7．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 例8．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列各图中的与平行．    图中的，图中的，图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 例9．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）【初步应用】：生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射入到平面镜上、被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．回答下列问题：①当，（即）时，求的度数． ②当时，任何射入平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于） （2）【拓展探究】：如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，求的度数． 例10．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）【阅读材料】 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，，点P在与之间，可得结论：． 理由如下：过点P作．∴． ∵，∴．∴．∴． 【问题解决】(1)如图②，，点P在与之间，求证：； (2)如图③，，点P在与之间，平分，平分，写出与间的等量关系，并写出理由；(3)如图④，，点P，E在与之间，，，可得与间的等量关系是______（只写结论） 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 3．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 4．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，已知，，和的平分线交于点F，的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（2023下·云南昆明·七年级统考期末）如图，已知，为、之间的一点，连接、，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（     ） A．150° B．180° C．210° D．240° 8．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023下·山东八年级课时练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 10．（2023下·河北保定·七年级校考期中）如图，已知，则 ，则等于 （用含的式子表示）．    11．（2023下·河南许昌·七年级统考期末）如图，于，交于点，交于点．若， ．    12．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 13．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    14．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 15．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 16．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作，得（____________）， 因为（____________），（所作）， 所以（____________）．得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知），所以______°（等式性质）． 16．（2024下·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 17．（2023下·安徽滁州·七年级统考期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是________，________． 利用上面的发现，解决下列问题：    （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是________． 18．（2023下·山西长治·七年级校考阶段练习）综合与探究 已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． (1)在图1中，，，之间的数量关系为___________，，之间的数量关系为___________ (2)如图2，若，，试猜想和之间的数量关系，并加以证明．(3)若， ，请直接写出和之间的数量关系； 19．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】（2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】（3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】 （1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系； ②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系； 【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．           10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$