专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，故选：B． 例2．（23-24下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则 度．    【答案】125 【分析】直接延长交于点，利用平行线的性质得出，再利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：延长交于点，直线，，    ，．故答案为：125． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，解题的关键是正确掌握平行线的性质． 例3．（23-24下·湖南长沙·七年级校考期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ．    【答案】/35度 【分析】过E作，则，利用平行线的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：过E作，    ∵，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，作平行辅助线，利用平行线的性质求解是解答的关键． 例4．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    【答案】 【分析】根据题意作图，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得答案． 【详解】解：根据题意作图，过点作，过点作，    ∵，∴，∵，， ∴，， ∴，即， ∵，，∴，， ∴，即， 又∵点为和的角平分线所在的直线的交点，∴，， ∴，故答案案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 例5．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）已知，E是平面内一点，连接，．    (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，连接，，若，，的度数． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）过点E作，从而有，则可求得，，即可求； （2）延长交于点F，由平行线的性质可得，结合三角形的外角性质即可求解； （3）由三角形外角性质可得，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质得，结合（2）的结论及所给的条件即可求． 【详解】（1）解：过点E作，如图，          ，，， ，，，， ； （2）解：，理由如下：延长交于点F，如图， ，，，； （3）解：如图，是的外角，， ，， 平分，， 由（2）可得：，，， ，即： ，，． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的定义，解答本题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．    (1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3) 【分析】（1）证明：延长交于点，则，结合已知即可得出，据此即可得出结论；（2）设，，由角平分线的定义得，，由（1）可知∥，则，，然后由得，再四边形的内角和等于得，即，据此可得出，的数量关系； （3）设，则，，由∥得，而，然后根据得，据此可求出，则，最后根据周角的定义可求出的度数． 【详解】（1）证明：延长交于点，，    ，，∥． （2）解：，的数量关系是：，理由如下： 设，，平分，， ，，， 由（1）可知：∥，，， ，，， 由四边形的内角和等于得：， 即：，，． （3）解：设，， ，由（1）可知：∥， ，， ，， ，，解得：， ，，根据周角的定义得：， ． 【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． 例7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为 ． 【答案】45°/45度 【分析】反向延长DE交BC于M，如图，先根据平行线的性质求出∠BMD的度数，进而可得∠CMD的度数，然后利用三角形的外角定理解答即可． 【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图， ∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝75°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°； 又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．故答案为：45°． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键． 例8．（23-24七年级下·广东·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论；（2）过点P向右，则，得出，进而求出结论；（3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）过点P向右， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （3）过点P向左作，过N向左作，∵，∴， 与（2）同理，得， 依题意，设，则 ． ∴，∴． 1．（2024·湖北·模拟预测）将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，锐角顶点在直线n上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，根据平行线的性质得到，再由平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，∴， ∵，，∴，∴，故选：D． 2．（2023·重庆渝中·统考二模）如图所示，直线，，则（    ）    A．58° B．59° C．60° D．61° 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出． 【详解】∵， 直线，．故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键． 3．（2023下·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平角的定义得到，进而根据三角形外角的性质得到，利用等边对等角和三角形内角和定理得到，再由平行线的性质得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，，点E，F分别在上，G是上方一点，连接，与交于点H，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，同位角相等和三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵，∴． ∵，∴， ∴．故选：C． 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 5．（陕西2023-2024学年七年级数学下学期期中试题）如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平角定义得，再根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，且，∴ ∵，∴故答案为：． 6．（山东2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，进而得到，由平行线的性质求，继而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作，∵，∴∴， ∵∴，∴， ∴故答案为：． 7．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是 ．    【答案】/40度 【分析】利用平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解决本题的关键． 8.（2023·江苏镇江·统考二模）如图，直线，有一个含的直角三角板的直角顶点A在直线上，若边与直线的夹角，则边与直线的夹角 ．    【答案】40 【分析】延长交于点，由题意可得，，利用平角的定义求得，，利用三角形内角和定理求得，由平行线的性质即可得到． 【详解】解：如图，延长交于点，    由题意可得，，，， ，， 在中，， ∵，．故答案为：40． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 9．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点，的角平分线交的反向延长线于点，下列四个结论：①；②； ③若，则；④． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】过点作，根据平行线的性质得出，同理可得，即可判断①②，根据已知条件设，得出，不能得出，故③错误，进而得出，而，不一定成立，故④错误，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，∵，∴ ∴，∴，故①正确； 同理可得，∵分别为和的角平分线 ∴，∴，故②正确； 如图所示，设交于点，∵，∴ ∵∴∴， ∵是的角平分线，∴， 设，∴∴， ∵∴即不能得出，故③错误， 当时，∴, ∵，∴，∴ 而不一定成立，故④错误，故答案为：①②． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 10．（2024·广东广州·统考一模）直线，线段分别与，交于点，，过点作，交直线于点，的平分线交直线于点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】由垂直关系及可求得的度数，由平行线的性质可求得的度数，由角平分线的定义求得的度数，再由平行线的性质即可求得的度数． 【详解】解：∵，，∴； ∵，∴，∴； ∵平分，∴，∴；故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，互余关系，角平分线的定义等知识，其中平行线性质的掌握是解题的关键． 11．（2023上·辽宁铁岭·八年级校考阶段练习）如图，若，，，则 ． 【答案】 【分析】如图，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：如图所示，设交于点，，， ，．故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 12．（2024下·河南濮阳·七年级统考阶段练习）如图，已知，，．    (1)求的度数；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）的延长线交于点，可求，从而可求，即可求解； （2）延长交于点，可求，从而可求，即可求证． 【详解】（1）解：如图，的延长线交于点，，      ，，， ，，； （2）证明：，理由如下：如图，延长交于点， 由（1）知，，， ，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，理解定义，掌握性质是解题的关键． 13．（2024·山东·七年级月考）如图所示，，，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， 又因为，得到，所以. 【详解】因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， ，即， ， 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质. 14．（24-25七年级上·广东·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数；②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作，， ，，， ，，； （2）解:①过点P作，， ，，，； ②过点G作，是的平分线，是的平分线， ，，，， ，，，． 15．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 【答案】(1)(2)；理由见解析(3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质等；（1）过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；（2）过点P作，同理可得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （3）延长交于点H，过点G，作，同理可得：，由平行线的性质得，，，由角的和差得 ，由三角形内角和及邻补角的定义得，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，解决这类问题的典型做法：作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点P作，，， 又，，，， ；故答案：； （2）解：；理由如下：过点P作， 同理可得：，，， ，； （3）解：延长交于点H，过点G，作， 同理可得：，，，， 平分，平分，， ，，， ， ，，， ，， ．故答案为：． 16．（23-24七年级下·上海·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数； 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在【探究】的条件下，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数；（3）过点作，在（2）的条件下，根据的平分线和的平分线交于点，可得的度数． 【详解】解；（1）如图，过点作，（两直线平行，内错角相等）， ∵，，两直线平行，同旁内角互补． ，，，即； （2）如图，过点作，， ∵，，．； （3）如图，过点作， 是的平分线，是的平分线， ，， ∵，，．． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 例2．（23-24下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则 度．    例3．（23-24下·湖南长沙·七年级校考期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ．    例4．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    例5．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）已知，E是平面内一点，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，连接，，若，，的度数．    例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．    (1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 例7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为 ． 例8．（23-24七年级下·广东·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 1．（2024·湖北·模拟预测）将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，锐角顶点在直线n上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·重庆渝中·统考二模）如图所示，直线，，则（    ）    A．58° B．59° C．60° D．61° 3．（2023下·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，，点E，F分别在上，G是上方一点，连接，与交于点H，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 5．（陕西2023-2024学年七年级数学下学期期中试题）如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 6．（山东2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，则的度数为 ． 7．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是 ．    8.（2023·江苏镇江·统考二模）如图，直线，有一个含的直角三角板的直角顶点A在直线上，若边与直线的夹角，则边与直线的夹角 ．    9．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点，的角平分线交的反向延长线于点，下列四个结论：①；②； ③若，则；④． 其中正确的结论是 （填写序号）． 10．（2024·广东广州·统考一模）直线，线段分别与，交于点，，过点作，交直线于点，的平分线交直线于点．若，则的度数是 ． 11．（2023上·辽宁铁岭·八年级校考阶段练习）如图，若，，，则 ． 12．（2024下·河南濮阳·七年级统考阶段练习）如图，已知，，． (1)求的度数；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由．    13．（2024·山东·七年级月考）如图所示，，，，求的度数. 14．（24-25七年级上·广东·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数；②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 15．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 16．（23-24七年级下·上海·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数； 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在【探究】的条件下，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$