精品解析：广西来宾市象州县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

广西来宾市象州县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各式是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴A是整式，不是分式，故此选项不符合题意； B、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴B是整式，不是分式，故此选项不符合题意； C、∵选项中的分子、分母都是整式，分母含有字母，∴C是分式，故此选项符合题意； D、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴D是整式，不是分式，故此选项不符合题意． 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴． 解得：． 故选：D． 3. 下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（　　）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：对选项A，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意； 对选项B，两短边为，，最长边为，，故不能组成三角形，符合题意； 对选项C，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意； 对选项D，两短边为，，最长边为，，故能组成三角形，不符合题意． 4. 分式 ， 的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式，的分母分别是：x2y2、xy3，各分母系数的最小公倍数是1，则最简公分母是x2y3． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 5. 如图，，现添加以下哪个条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一般全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【详解】解：A、∠A=∠C，，BD=BD，符合AAS，即能推出，故本选项错误； B、，，BD=BD，符合ASA，即能推出，故本选项错误； C、,，BD=BD，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项正确； D、AD=CD，，BD=BD，，符合SAS，即能推出，故本选项错误. 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：一般全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS． 6. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 三角形的外角等于任意两内角之和 B. 等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 C. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D. 直角三角形一边上的中线等于这条边的一半 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由全等三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，即可判断． 【详解】解：A、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角，故A不符合题意； B、命题正确，故B符合题意； C、两边其夹角对应相等的两个三角形全等，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故C不符合题意； D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在等腰三角形中，，点是上一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质．根据等腰三角形三线合一的性质，可得A、B、D都能够说明是的角平分线，而C选项不能，由此即可求解．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，且， ， ， ∵， ∴是等腰的角平分线， 故A选项能说明是的角平分线，不符合题意； B、∵在等腰三角形中，，， ∴是等腰的角平分线， 故B选项能说明是的角平分线，不符合题意； C、不能说明是的角平分线，符合题意； D、∵和 的高相同，而，因此底边， ∴是等腰的角平分线， 故D选项能说明是的角平分线，不符合题意； 故选：C． 8. 下列运算结果正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A，，故符合题意； 选项B，，故不符合题意； 选项C，，故不符合题意； 选项D，，故不符合题意． 9. 如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 根据中线平分三角形的面积即可得到. 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， 故选：C． 10. 下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得 第一步 解这个方程得： 第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边 第三步 所以，是原分式方程的解 第四步 A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 【答案】C 【解析】 【分析】 根据解分式方程的步骤，逐一判断每一步的正误即可． 【详解】解：∵第一步方程两边同乘，得到，去分母操作正确， ∴第一步无错误； ∵对整理计算，得，代数运算正确， ∴第二步无错误； ∵分式方程检验需要将所得解代入原方程，判断原方程是否有意义． 当时，原方程分母，原方程无意义，是增根，小军错误地将解代入去分母后的方程检验，因此第三步开始出错． ∴错误从第三步开始． 11. 如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识点，证得和是解题的关键． 先利用等边三角形的性质可证明即可判断A选项；根据全等三角形的性质、角的和差以及三角形内角和定理可得，即可判断C选项；再证明可得、即可判断B选项；再证明，即可证明是等边三角形，从而判断D选项． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∴，， ， ∵， ∴，故C选项错误，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴、，即B选项正确，不符合题意； ∵， ∴是等边三角形，即D选项正确，不符合题意． 故选C． 12. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，因为，，所以，则．可判断①正确；由折叠得，，则，所以，可判断②正确；所以，推导出，可根据“”证明，可判断③正确；延长交于点，可证明，得，再证明，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； 延长至，沿着折叠与重合，交于点， ，， ， ， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， （）， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， 故④正确． 故选：A． 【点睛】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、同角的余角相等、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 请写出一个比大的数：__________． 【答案】2（答案不唯一 ） 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握实数比较大小的方法． 【详解】解：， 故答案为：2． 14. 我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为米，请用科学记数法表示该尺寸为________ （单位：米）． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数可以表示为的形式，其中，为原数左起第一个非零数字前面零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：． 15. 在中，已知，的垂直平分线分别交，于点D、E，连接，若的周长为24，则的周长为_______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据三角形的周长求出，然后根据垂直平分线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵，的周长为24， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 16. 如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提出公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先化简二次根式，计算零次幂，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18. 先化简，再求值： （1）化简：； （2）从给定的范围内选择一个整数代入（1）的化简结果中，并计算其值． 【答案】（1） （2）当时，值为5； 当时，值为6 【解析】 【分析】（1）利用分式的除法法则和平方差公式进行化简； （2）先判定出不合适的数，然后选取合适的数代入求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：的范围内的整数解为， ∵， ∴且， 当时，； 当时，； 19. 如图，在△ABC中，，． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD，求的度数． 【答案】（1） 如图设所示：直线MN和点D就是所求作的图形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线． （2）根据到腰三角形的性质和三角形的内角和可得出再线段的垂直平分线的性质得到得到再计算出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵的垂直平分线交AC于点D， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 20. 如图，在中，D是边上一点，过点D作交于点F，E是边上一点，并且．过点E作交于点G． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（1）可证， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，，再根据证明即可； （2）先证明，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与美育展示相结合的区域，准备购买A、B两种不同功能的工具．通过市场调研得知：A种工具每组的价格比B种工具每组的价格少30元，且用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍． （1）求A、B两种工具每组的价格分别是多少元？ （2）该学校计划用不超过2100元购买A、B两种工具共20组，其中：要求B种工具的数量不少于A种工具数量的一半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买B种工具多少组？ 【答案】（1）A种工具每组的价格是90元，B种工具每组的价格是120元 （2）最多可以购买B种工具10组 【解析】 【分析】（1）设A种工具每组的价格是x元，则B种工具每组的价格是元，根据“用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍”，列分式方程求解并检验即可； （2）设购买B种工具y组，则购买A种工具组，根据“不超过2100元购买”和“B种工具的数量不少于A种工具数量的一半”，列一元一次不等式组，取最大正整数解即可． 【小问1详解】 解：设A种工具每组的价格是x元，则B种工具每组的价格是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种工具每组的价格是90元，B种工具每组的价格是120元； 【小问2详解】 解：设购买B种工具y组，则购买A种工具组， 依题意得：， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最大值为10， 答：最多可以购买B种工具10组． 22. （1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】 （1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）为等边三角形 【解析】 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明；  （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 23. 某景区内有一片夹角为（）的游览区域，点P是区域内的核心观景台，观景台到夹角顶点O的距离．景区计划基于此设计导览路线，相关规划如下： 材料1：为优化观景体验，先在射线上设置临时停靠点P，点P在上，并规划从P点出发，关于游览步道对称的备选观景点，连接（如图①）． 材料2：为丰富路线选择，过核心观景台P分别作关于步道的对称点，连接（如图②）． 材料3：为设计最短游览路线，需在步道上各选一个休憩点M、N，使游客从观景台P出发，经M、N后返回P的路线（即）周长最小（如图③）． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）结合材料1，求备选观景点与临时停靠点的距离的长度； （2）结合材料2，求对称点之间的距离； （3）结合材料3，先补全图③，再求出周长的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； （2）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； （3）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； 【小问1详解】 解：∵点P和点关于对称， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P关于的对称点为， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问3详解】 解：过点P分别作的对称点E，F，连接，交和于M，N， 如图所示，此时三角形的周长取得最小值． 由（2）知，， ∵点P关于的对称点为E，F， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西来宾市象州县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各式是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（　　）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 分式 ， 的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，现添加以下哪个条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 三角形的外角等于任意两内角之和 B. 等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 C. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D. 直角三角形一边上的中线等于这条边的一半 7. 如图，在等腰三角形中，，点是上一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算结果正确的是（　　）． A. B. C. D. 9. 如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 10. 下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得 第一步 解这个方程得： 第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边 第三步 所以，是原分式方程的解 第四步 A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 11. 如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 是等边三角形 12. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 请写出一个比大的数：__________． 14. 我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为米，请用科学记数法表示该尺寸为________ （单位：米）． 15. 在中，已知，的垂直平分线分别交，于点D、E，连接，若的周长为24，则的周长为_______． 16. 如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）因式分解：； （2）计算：． 18. 先化简，再求值： （1）化简：； （2）从给定的范围内选择一个整数代入（1）的化简结果中，并计算其值． 19. 如图，在△ABC中，，． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD，求的度数． 20. 如图，在中，D是边上一点，过点D作交于点F，E是边上一点，并且．过点E作交于点G． （1）求证：； （2）若，求证：． 21. 为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与美育展示相结合的区域，准备购买A、B两种不同功能的工具．通过市场调研得知：A种工具每组的价格比B种工具每组的价格少30元，且用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍． （1）求A、B两种工具每组的价格分别是多少元？ （2）该学校计划用不超过2100元购买A、B两种工具共20组，其中：要求B种工具的数量不少于A种工具数量的一半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买B种工具多少组？ 22. （1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 23. 某景区内有一片夹角为（）的游览区域，点P是区域内的核心观景台，观景台到夹角顶点O的距离．景区计划基于此设计导览路线，相关规划如下： 材料1：为优化观景体验，先在射线上设置临时停靠点P，点P在上，并规划从P点出发，关于游览步道对称的备选观景点，连接（如图①）． 材料2：为丰富路线选择，过核心观景台P分别作关于步道的对称点，连接（如图②）． 材料3：为设计最短游览路线，需在步道上各选一个休憩点M、N，使游客从观景台P出发，经M、N后返回P的路线（即）周长最小（如图③）． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）结合材料1，求备选观景点与临时停靠点的距离的长度； （2）结合材料2，求对称点之间的距离； （3）结合材料3，先补全图③，再求出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $