20.5 一次函数与二元一次方程（题型专练）（基础达标3大题型+能力提升+拓展培优）数学新教材冀教版八年级下册

20.5 一次函数与二元一次方程的关系 题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．若直线与的交点坐标为，则是下列哪个方程组的解 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与的交点坐标为， ∴是方程组的解，对应选项A． 2．如图，已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入，得：， 解得， ∴； ∴关于的二元一次方程组的解是． 3．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 题型二 图像法解二元一次方程组 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 5．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 6．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 题型三 求直线围成的面积 7．如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】求出点A、O、C的坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 3．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：根据题意，将代入，得， 解得， ∴点C的坐标是； 将点代入，得， 解得， ∴一次函数关系式为． ∵当时，；当时，， ∴，； 如图，当点D在直线上方时，设点， 则， 解得， ∴； 如图，当点D在直线下方时，设点， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标是或． 故选：D． 1．如图，一次函数和的图象交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知，一次函数和的图象交于点， ∴关于，的方程组的解是． 故选C． 2．若一次函数与的图像相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入， 得 解得， 所以点坐标为， 所以关于，的二元一次方程组的解是． 故选：B． 3．在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，， ∴， 关于x、y的方程组的解为． 故选：C． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， 所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确； ②由函数图象可知，一次函数一次函数与 的图象交点坐标为， 所以方程组的解为，故②正确； ③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为，故③正确； ④由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④正确； 故选：D． 5．如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程组的解就是直线与的交点坐标，即P（-1，1）， ∴方程组的解是． 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意； ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意； 将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线 ∴直线与x轴交于点， ∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意． 故选：D． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 【答案】B 【详解】解：A：由图象得，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B：由图象得：时， ∴关于的不等式的解集是，故B符合题意； C：由图象得：当时，， ∴关于的方程的解是，故C是不符合题意； D：由图象得：关于，的方程组的解为，故D不符合题意； 故选：B． 8．如图，若直线y=kx+b与x轴交于点A（－4，0），与y轴正半轴交于B，且△OAB的面积为4，则该直线的解析式为（   ） A．y=x+2 B．y=2x+2 C．y=4x+4 D．y=x+4 【答案】A 【详解】∵A（-4，0）， ∴OA=4， ∵△OAB的面积为4 ∵12×4×OB=4，解得OB=2， ∴B（0，2）， 把A（-4，0），B（0，2）代入y=kx+b， ， 解得， ∴直线解析式为y=12x+2． 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数关系式：设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），要有两组对应量确定解析式，即得到k，b的二元一次方程组． 9．已知直线y=2x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（   ） A．＜k＜1 B．＜k＜1 C．k＞ D．k＞ 【答案】A 【分析】由直线y=2x-1与y=x-k可列方程组求交点坐标，再通过交点在第四象限可求k的取值范围． 【详解】解：设交点坐标为（x，y） 根据题意可得 解得   ∴交点坐标 ∵交点在第四象限， ∴ ∴ 故选：A． 10．函数和的图象相交于点，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数经过点， ， 解得：， ， ∴方程组的解是． 故选：A． 11．已知一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是__________． 【答案】x=-4 【详解】∵一次函数y=x+2与一次函数y=mx+n的图象交于点P（a，-2）， ∴ ， 解得 ， ∴ ． ∵两个一次函数的图象的交点的横坐标为x+2=mx+n的解， ∴关于x的方程x+2=mx+n的解是 ， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________． 【答案】 【详解】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1） ∴关于x，y的方程组的解是 故答案为． 13．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2）和点（1，﹣1）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求此一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【答案】(1) y＝﹣3x+2；(2) 【详解】解：（1）把（0，2）和（1，﹣1）代入y＝kx+b得， 解得 ， 所以一次函数解析式为y＝﹣3x+2； （2）当y＝0时，﹣3x+2＝0，解得x＝，则一次函数与x轴的交点坐标为（ ，0）， 所以一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积＝×2×＝． 故答案为(1) y＝﹣3x+2；(2) 14．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动 (1)求直线AB的解析式． (2)求△OAC的面积． (3)当△OMC的面积是△OAC面积的时，求出这时点M的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或（1，5） 【详解】（1）解：设直线AB的解析式为， 把点A（4，2），B（6，0）代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为； （2）解：当x=0时，y=6， ∴点C（0，6），即OC=6， ∴； （3）解：设直线OA的解析式为y=ax（a≠0）， 把点A（4，2）代入得：4a=2， 解得：， ∴直线OA的解析式为， 设点M的横坐标为m， ∵△OMC的面积是△OAC面积的， ∴，解得：m=1， 当点M在OA上时，， 此时点M的坐标为； 当点M在AC上时，， 此时点M的坐标为（1，5）； 综上所述，点M的坐标为或（1，5）． 15．如图，直线l1的解析式为y＝x，直线l2经过点（1，1），（2，﹣1），且l1，l2交于点A，l2交x轴于点B． （1）求直线l2的解析表达式； （2）写出B点的坐标为　 　； （3）求出交点A的坐标； （4）直接写出直线l2在x轴上方时，自变量x的取值范围．    【答案】（1）y=﹣2x+3；（2）（，0）；（3）；（4）x＜ 【详解】（1）设直线2的解析式为（）， 由题意得，， 解得：， ∴直线2的解析式为； （2）当时，， ∴（，0）， 故答案为：（，0）； （3）由题意得：， 解得：， ∴点A的坐标是：（，）； （4）由图象知x＜时，直线2在x轴上方． 1．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线 直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为； ； ；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线 直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 2．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：联立 将代入，得 解得，则 一次函数的“不动点”为． （2）解：“不动点”在上 解得 又点在上，且 解得 ． （3）解：直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， 直线解析式为 令，则，得 令，则，得 设，且 两边同时乘2，得 即 解得或 不与原点重合 舍去 答：满足条件的点坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.5一次函数与二元一次方程的关系（答案版） 题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．A 2．A 3．C 题型二 图像法解二元一次方程组 4． C 5．A 6．B 题型三 求直线围成的面积 7．C 8．B 9．D 1．C 2．B 3．C 4．D 5．D 6．D 7．B 8．A 9．A 10.A 11.x=-4 12. 13.（1）把（0，2）和（1，﹣1）代入y＝kx+b得， 解得 ， 所以一次函数解析式为y＝﹣3x+2； （2）当y＝0时，﹣3x+2＝0，解得x＝，则一次函数与x轴的交点坐标为（ ，0）， 所以一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积＝×2×＝． 故答案为(1) y＝﹣3x+2；(2) 14.（1）解：设直线AB的解析式为， 把点A（4，2），B（6，0）代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为； （2）解：当x=0时，y=6， ∴点C（0，6），即OC=6， ∴； （3）解：设直线OA的解析式为y=ax（a≠0）， 把点A（4，2）代入得：4a=2， 解得：， ∴直线OA的解析式为， 设点M的横坐标为m， ∵△OMC的面积是△OAC面积的， ∴，解得：m=1， 当点M在OA上时，， 此时点M的坐标为； 当点M在AC上时，， 此时点M的坐标为（1，5）； 综上所述，点M的坐标为或（1，5）． 15.（1）设直线2的解析式为（）， 由题意得，， 解得：， ∴直线2的解析式为； （2）当时，， ∴（，0）， 故答案为：（，0）； （3）由题意得：， 解得：， ∴点A的坐标是：（，）； （4）由图象知x＜时，直线2在x轴上方． 1.C 2.（1）解：联立 将代入，得 解得，则 一次函数的“不动点”为． （2）解：“不动点”在上 解得 又点在上，且 解得 ． （3）解：直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， 直线解析式为 令，则，得 令，则，得 设，且 两边同时乘2，得 即 解得或 不与原点重合 舍去 答：满足条件的点坐标为． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.5 一次函数与二元一次方程的关系 题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．若直线与的交点坐标为，则是下列哪个方程组的解 A． B． C． D． 2．如图，已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 题型二 图像法解二元一次方程组 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 6．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 题型三 求直线围成的面积 7．如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 1．如图，一次函数和的图象交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．若一次函数与的图像相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 8．如图，若直线与x轴交于点A（－4，0），与y轴正半轴交于B，且△OAB的面积为4，则该直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 9．已知直线与的交点在第四象限，则k的取值范围是（   ） A．＜k＜1 B．＜k＜1 C．k＞ D．k＞ 10．函数和的图象相交于点，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 11．已知一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是__________． 12．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________． 13．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2）和点（1，﹣1）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求此一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 14．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动 (1)求直线AB的解析式． (2)求△OAC的面积． (3)当△OMC的面积是△OAC面积的时，求出这时点M的坐标． 15．如图，直线l1的解析式为y＝x，直线l2经过点（1，1），（2，﹣1），且l1，l2交于点A，l2交x轴于点B． （1）求直线l2的解析表达式； （2）写出B点的坐标为　 　； （3）求出交点A的坐标； （4）直接写出直线l2在x轴上方时，自变量x的取值范围． 1．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线 直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为； ； ；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $