6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(1)-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 (1) 第六章 计数原理 1 导入新知 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？ 本节课，我们会分析一些简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 思考1： 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号， 总共能够编出多少种不同的号码？ 26＋10＝36 新知探究 完成一件什么事 怎么完成这件事 有什么要求 给一个座位编号 用一个英文字母或一个阿拉伯数字 方案1： 方案2： 用英文字母编号 用阿拉伯数字编号 26 10 新知讲授 　　完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法． 分类加法计数原理： 注意：两类不同方案中的方法互不相同. 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： 如果该同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 例题分析 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 完成一件什么事 有什么要求 选一个专业 两所大学中的一所大学里选一个专业 怎么完成这件事 方案1： 方案2： 在A大学专业里选 在B大学专业里选 5 4 N=5＋4＝9 变式 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： 如果该同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 巩固训练 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 数学 信息技术学 物理学 法学 工程学 N=5＋4－1＝8 N=5＋4＝9 ？ 注意：两类不同方案中的方法互不相同. 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，汽车或轮船．一天中，火车有3班，汽车有2班，轮船有1班．那么一天中，乘这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 巩固训练 完成一件什么事 有什么要求 从甲地到乙地 从三类交通工具里选一个乘 怎么完成这件事 方案1： 方案2： 方案3： 在火车班次里选 在汽车班次里选 3 2 N=3＋2+1＝6 轮船 在轮船班次里选 1 新知讲授 　　完成一件事有n类不同方案， 在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法， 在第 2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第 n类方案中有 mn 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法． 分类加法计数原理的推广： 注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事. 思考2： 用前6个大写的英文字母和1~9这9个数字，以A1, A2, … , 的方式 给教室里的座位编号，总共能够编出多少个不同的号码？ N=6×9＝54 新知探究 完成一件什么事 怎么完成这件事 有什么要求 给一个座位编号 用一个英文字母和一个阿拉伯数字 第1步： 第2步： 用英文字母编号 用阿拉伯数字编号 6 9 思考2： 用前6个大写的英文字母和1~9这9个数字，以A1, A2, … , 的方式 给教室里的座位编号，总共能够编出多少个不同的号码？ 新知探究 树状图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5A6 A7 A8 A9 6个字母每一个都可以对应9种数字 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 9种 ...... N=6×9＝54 新知讲授 一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法. 分步乘法计数原理： 注意： 1. 无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数. 2. 两个步骤相互依存, 只有两个步骤都完成了, 这件事才算完成. 例2 某班有男生30名，女生24名. 从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 例题分析 选两名班级代表 1名男生和 1名女生 完成一件什么事 有什么要求 怎么完成这件事 第1步： 第2步： 从男生中选1名 从女生中选1名 30 24 N=30×24＝720 变式 某班有男生30名，女生24名. 从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，若该班有10名任课老师，再要从中选派1名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？ 巩固训练 选两名班级代表 和一名带队老师 1名男生和 1名女生和 1名老师 完成一件什么事 有什么要求 怎么完成这件事 第1步： 第2步： 第3步： 从男生中选1名 从女生中选1名 30 24 N=30×24×10＝720 从老师中选1名 10 2. 从甲地到丁地，需要先从甲地乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地，最后从乙地乘轮船到丁地．其中火车有3班，汽车有2班．轮船有1班. 那么从甲地到丁地共有多少种不同的走法？ 巩固训练 火车1 甲 乙 丙 丁 火车2 火车3 汽车1 汽车2 轮船 从甲地到丁地 选1班火车和1班汽车和1班轮船 完成一件什么事 有什么要求 怎么完成这件事 第1步： 第2步： 第3步： 在火车班次里选 在汽车班次里选 3 2 N=3×2×1＝6 在轮船班次里选 1 新知讲授 　　 完成一件事需要有n个步骤， 做第 1 步有 m1 种不同的方法， 做第 2步有 m2 种不同的方法， …… 做第 n步有 mn 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法． 分步乘法计数原理的推广： 注意：各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事，只须一种方法就可完成这件事. 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）. 相加 相乘 类类独立 步步相依 不重不漏 缺一不可 分类、 分步、 分类计数原理与分步计数原理的区别与联系: 知识总结 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书，第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书, 有多少种不同的取法? (2)从书架的第1层、 第2层、 第3层各取1本书, 有多少种不同取法? 例题分析 分析：分别是在完成一件什么事？怎么完成？是方法的分类还是过程的分步？ (1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（分类加法） (2)要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.（分步乘法） 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书，第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1层、 第2层、 第3层各取1本书,有多少种不同取法? 例题分析 解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类方案，从第1层中任取一本计算机书，有4种方法; 第2类方案，从第2层中任取一本文艺书，有3种方法; 第3类方案，从第3层中任取一本体育书，有2种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法种数是N = 4+3+2= 9. 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书，第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1层、 第2层、 第3层各取1本书,有多少种不同取法? 例题分析 解：(2)从书架的第1 , 2 , 3层各取1本书, 可以分成三个步骤完成： 第1步: 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法； 第2步:从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法； 第3步:从第3层中任取一本体育书, 有 2 种方法； 根据分步乘法计数原理, 不同取法种数是N=4×3×2=24. 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书，第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. 变式：(3)从书架中取2本不同种类的书，有多少种不同取法? 例题分析 解：(3)需先分类再分步. 根据两个基本原理，不同的取法总数是： N=4×3+4×2+3×2=26. 完成一件事情 从一、二层各取一本 从一、三层各取一本 从二、三层各取一本 1步：取计算机书 2步：取文艺书 4×3=12 2步：取文艺书 2步：取体育书 1步：取计算机书 1步：取体育书 4×2=8 2×3=6 课堂练习 1. 填空题 (1) 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________； (2) 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________. 课本P5 9 6 课堂练习 课本P6 3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书. (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法? 4. 有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. (1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种 不同的选法? (2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种 不同的选法? 解：(1) 5+6=11种；(2) 5×6=30种. 解：(1) 3+5+4=12种；(2) 3×5×4=60种. 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 公式 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事，只须一种方法就可完成这件事. 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）. 相加 相乘 类类独立 步步相依 不重不漏 缺一不可 分类、 分步、 分类计数原理与分步计数原理的区别与联系: 课堂小结 N＝m1＋m2＋…＋mn N＝m1×m2×…×mn 下节课见！ $