精品解析：宁夏银川市永宁中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题

宁夏银川市永宁中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题：李立侠 校对：苏虎强 一、快乐四选一（每小题5分，8小题共40分） 1. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的公比为，则（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列中，，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，3小题共18分） 9. 点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线为 B. 直线与相切 C. 的焦点为 D. 焦点到准线距离为 10. 设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心为 B. 半径为 C. 一般方程为 D. 点到直线距离为 11. 关于数列的命题是假命题的是（ ） A. 常数列一定是等比数列 B. 1和4的等比中项是2 C. 等差数列中，若，则 D. 等比数列中，，则 三、填空题（每小题5分，3小题共15分） 12. 数列中为的前n项和，若，则_______. 13. 函数的导函数为__________． 14. 已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 四、解答证明题（13+15+15+17+17=77分） 15. （1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 16. 已知等差数列中，． （1）求的通项公式； （2）求证． 17. 椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，且过点． （1）求的方程； （2）设过点，倾斜角为的直线交于两点，求线段的长度． 18. 已知公比大于1的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为BC的中点，且． （1）求； （2）求锐二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏银川市永宁中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题：李立侠 校对：苏虎强 一、快乐四选一（每小题5分，8小题共40分） 1. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用两直线平行，列出关系式，即可求解. 【详解】由直线与直线平行， 可得且，解得. 2. 直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】选项，若直线，直线的方向向量平行于平面，而平面的法向量，因此，故正确. 选项，若直线方向向量，则直线，不是，故错误. 选项，若平面，则两个平面的法向量，故错误. 选项，若直线，则直线的方向向量与平面的法向量平行，不是垂直，故错误. 故选：. 3. 已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，，即，， 所以其渐近线方程为. 5. 等比数列的公比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用等比数列通项公式可得： . 6. 等差数列中，，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由，则， 在等差数列中，. 7. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为，即. 8. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 二、多选题（每小题6分，3小题共18分） 9. 点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线为 B. 直线与相切 C. 的焦点为 D. 焦点到准线距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题目条件解出抛物线方程后逐一分析选项. 【详解】将点代入抛物线方程，得： ， 解得，因此抛物线的方程为， 根据抛物线的性质：焦点为，准线为，焦点到准线的距离为， A选项：抛物线的准线为，不是，A错误； B选项：求直线方程：，斜率，直线方程为， 联立抛物线方程，消去得， ，直线与抛物线只有一个交点，因此直线与相切，B正确； C选项：抛物线的焦点为，C正确； D选项：焦点到准线的距离为，D正确. 10. 设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心为 B. 半径为 C. 一般方程为 D. 点到直线距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】分析可知圆心在线段的中垂线上，将线段的中垂线方程与直线方程联立，可求出圆心的坐标，可判断A选项；利用两点间的距离公式求出圆的半径为，可判断B选项；写出圆的标准方程，并化为一般方程，可判断C选项；求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 11. 关于数列的命题是假命题的是（ ） A. 常数列一定是等比数列 B. 1和4的等比中项是2 C. 等差数列中，若，则 D. 等比数列中，，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，若常数列每项都为0，则其不是等比数列，故A是假命题； 对B，1和4的等比中项是，故B错误； 对C，等差数列中，，则，解得，则，故C为真命题； 对D，等比数列中，成等比数列， 因为，则，则，则， ，则，故D为假命题. 三、填空题（每小题5分，3小题共15分） 12. 数列中为的前n项和，若，则_______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得． 考点：等比数列的概念及等比数列求和． 13. 函数的导函数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 由题意得：. 14. 已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 四、解答证明题（13+15+15+17+17=77分） 15. （1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义结合即可计算求解； （2）由椭圆的离心率公式及过定点即可求出标准方程. 【详解】（1）， 根据双曲线的定义可知点的轨迹为双曲线的右支， 焦点为，故，实轴长，所以， 故点的轨迹方程为； （2）因为椭圆方程为. ,， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 16. 已知等差数列中，． （1）求的通项公式； （2）求证． 【答案】（1） （2）证明: 【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本量建立方程组求解通项公式即可； （2）由裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 略. 17. 椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，且过点． （1）求的方程； （2）设过点，倾斜角为的直线交于两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可； （2）先求出直线方程，联立直线与椭圆方程消元化简，然后利用弦长公式求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的方程为：， 且椭圆过点， 所以，解得：， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意如图所示： 由过点的直线的倾斜角为，则直线斜率为， 所以直线方程为：即， 联立，消去整理得：， 由， 所以设，则， 所以. 18. 已知公比大于1的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. 【小问2详解】 由，得， 所以， 两式相减得， 则. 19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为BC的中点，且． （1）求； （2）求锐二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用求得. （2）利用空间向量法求得锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 平面，平面，所以， 四边形为矩形，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， ，则， 解得，故. 【小问2详解】 设平面的法向量为，则，， 由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设锐二面角的平面角为， 则， 所以锐二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $