空间向量与立体几何专题训练-2026届高三数学二轮复习

2026届高考数学二轮专题：空间向量与立体几何 一、选择题 1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（　　） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 4．在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（　　） A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 8．已知正四面体的顶点，，均在球的表面上，球心在平面内，棱与球面交于点.若平面，平面，平面，平面，（）且与（）之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，若的周长为，则球的半径为（　　） A．2 B．1 C． D． 二、多项选择题 9．如图，正四棱台中，下列说法正确的是（　　） A．和异面 B．和共面 C．平面平面 D．平面与平面相交 10．如图，点在棱长为1的正方体的面对角线上运动点异于点），则下列结论正确的是（　　） A．异面直线与所成角为60° B． C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 11．下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若空间向量，，，满足，，则 C．若构成空间的一个基底，则，，必共面 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 三、填空题 12．已知平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若，则　 　. 13．已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则　 　． 14．在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为　 　． 四、解答题 15．在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．如图，四棱锥中，底面ABCD，，平面，. （1）证明：； （2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：点B到平面PAC的距离为1； 条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30°. 17．如图，在三棱锥中，，．是线段上的点． （1）求证：平面平面ABC； （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面且，分别是线段的中点． （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 19．在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. （1）若时，求证：； （2）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （3）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A,B,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,C 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】（1）证明：如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， 因为， 所以. （2）解：由题可知，. 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨取，则，故. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 16．【答案】（1）证明：因为底面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为，，平面PAB， 所以平面， 因为PB⊂平面，所以， 因为平面，平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC=BC， 所以， 所以. （2）解：由（1）可知，PA，AB，AD两两垂直，以A为原点， AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示坐标系如图所示： 若选条件①： 过点B作BM⊥AC，交AC于点M， 因为PA⊥底面ABCD，BM⊂平面ABC， 所以PA⊥ BM， 因为AC∩PA=A， 所以BM⊥平面PAC， 又点B到平面PAC的距离为1，所以BM=1， 在Rt△ABC中，AC=2，所以. 因此，，， 又，， 所以，. 设是平面PBC的法向量，则，， 即，取，则，， 所以是平面PBC的一个法向量. 因为BM⊥平面PAC，所以是平面PAC的一个法向量. 设平面ACP与平面BCP的夹角为，则 ， 所以平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为. 若选条件②： 由条件①得到， 是平面的PAB的一个法向量， 所以，得.以下同条件①. 综上，可得平面与平面的夹角的余弦值为. 17．【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为，所以， 由，得，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）解：因为平面，， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 当点为的中点时，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以， 则当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）解：设， 因为，其中， 所以，可得， 则点， 因为平面，则点， 所以， 则 当且仅当时，即当时，等号成立， 则当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 由（2）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 所以， 则当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面夹角的余弦值为.​​​​​​ 18．【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为， 所以， 则四边形是平行四边形， 所以对角线与相交于点， 则是的中点， 所以是的中位线， 则， 又因为平面平面， 所以平面. （2）解：以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设， 则点， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 由， 令，得平面的一个法向量为． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 解得（负值舍去）， 则． （3）解：由（2）得，点， 则， 所以，点到平面的距离为． 19．【答案】（1）证明：在底面菱形中，连接，记，取的中点为，连接， 在菱形中，，在直四棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，所以，， 可得， 则， 所以，则， 由，则，即， 因为，所以，则； （2）解：由题意作图如下： 由图可知平面的一个法向量， 由，则的中点的坐标为， 即，由，则（）， 由（1）可知，由，则 则， 由平面，则，解得， 所以，则， 当时，等号成立，所以的最小值为； （3）解：由题意可作图如下： 由（1）可得，由（），则， 设的中点为，则， 在菱形中，且为中点，则， 在三棱锥中，底面的外接圆圆心为的中点， 易知球心为线段的中垂线与直线的交点，则设 由，则， 易知，可得，解得， 由，，则，即， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $