专题06平均数、中位数与众数《知识解读+题型专练》2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题06 平均数、中位数与众数 《知识解读+题型专练》 【题型1 求平均数】 3 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 4 【题型3 利用平均数做决策】 4 【题型4 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 5 【题型5 求加权平均数】 6 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 7 【题型7 运用加权平均数做决策】 8 【题型8 求中位数】 10 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 10 【题型10 运用中位数做决策】 11 【题型11 求众数】 12 【题型12 利用众数求未知数据的值】 12 【题型13 运用众数做决策】 13 【解答题5题】 14 3.1 平均数 核心知识点 一、基础知识点 1. 算术平均数 定义：一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 意义：反映一组数据的整体平均水平，易受极端值（偏大或偏小数据）影响。 2. 加权平均数 定义： 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 权的意义：表示数据的重要程度、出现次数、所占比重，权越大，对应数据对平均数的影响越大。 二、3.1平均数 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型1 求平均数 直接套用算术平均数公式：数据总和÷数据个数，计算前先核对数据个数，避免漏数、多数，保证求和准确。 题型2 已知平均数求未知数据的值 设未知数据为，代入算术平均数公式列一元一次方程，解方程后检验结果是否符合数据实际意义。 题型3 利用平均数做决策 对比多组数据的平均数大小，平均数越大代表整体平均水平越高；数据无极端偏大/偏小值时，用平均数判断更具说服力。 题型4 利用已知的平均数求相关数据的平均数 核心规律：原数据平均数为，①数据整体加/减常数，新平均数为；②数据整体乘常数，新平均数为。 题型5 求加权平均数 找准每组数据对应的权（重要程度、次数、比重），代入加权平均数公式计算。 题型6 利用加权平均数求未知数据的值 设未知数，结合数据与对应权重，代入加权平均数公式列方程，精准计算权的总和，求解后验证结果合理性。 题型7 运用加权平均数做决策 针对不同权重的综合评价场景（如成绩核算、考核评分），通过加权平均数对比优劣，权重大的指标对结果影响更显著。 3.2 中位数与众数 核心知识点 一、基础知识点 1. 中位数 定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列： ① 如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数； ② 如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数就是这组数据的中位数。 意义：反映数据的中间水平，不受极端值影响，适合数据分布不均、有极端值的场景。 2. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 特点：① 一组数据可能有一个众数；② 可能有多个众数（多个数据出现次数并列最多）；③ 也可能没有众数（所有数据出现次数相同）。 意义：反映数据中最常见、最集中的数值，适合统计销量、尺码、喜好等频次类数据。 二、3.2中位数与众数 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型8 求中位数 第一步：将数据**从小到大严格排序**；第二步：判断数据个数为奇数/偶数；第三步：奇数取中间数，偶数取中间两数的平均数。 题型9 利用中位数求未知数据的值 先对数据排序，根据中位数定义锁定未知数位置，结合数据个数的奇偶性，列方程求解未知数据。 题型10 运用中位数做决策 数据存在极端值、分布不均时，中位数不受极端值干扰，能客观反映数据中间水平，适合薪资、房价等场景判断。 题型11 求众数 统计每个数据出现的频次，出现次数最多的数据即为众数；多组数据频次并列最多则为多个众数，频次相同则无众数。 题型12 利用众数求未知数据的值 紧扣众数“出现次数最多”的核心定义，确定未知数取值，保证该数据在整组中出现频次最高。 题型13 运用众数做决策 关注数据普遍情况、出现频次时选用，如商品进货选众数尺码、统计热门偏好，贴合大众需求做决策。 三、平均数、中位数、众数对比与易错提醒 核心对比：平均数反映平均水平（易受极端值影响）、中位数反映中间水平（不受极端值影响）、众数反映集中水平（频次最高）。 易错点：1. 求中位数时忘记排序，直接取中间数导致错误；2. 众数是数据本身，不是出现次数；3. 加权平均数易混淆数据与权的位置；4. 多个众数或无众数的情况易漏判。 【题型1 求平均数】 【典例1】．随着人工智能的发展，智能机器人的应用越来越广泛．某工厂使用、两种型号机器人对零件进行质量检测，型机器人每检测一个零件需要3分钟，型号机器人每检测一个零件需要5分钟．某日，工厂随机抽取了型机器人检测的4个零件和型机器人检测的6个零件进行复检，则被抽检零件的平均检测时间为（   ） A．3.8分钟 B．4.2分钟 C．5分钟 D．5.25分钟 【跟踪训练1】．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（   ） A．7 B．7.57 C．8 D．9 【跟踪训练2】．学校七年级（10）班“书香小组”有8名同学，10月份的图书借阅目标为每人8本（以8本为标准，超过的本数记为正数，不足的本数记为负数）．组长统计每人的借阅情况如下：，，，，，，，．该小组10月份实际平均每人借阅图书___________本． 【跟踪训练3】．甲、乙、丙、丁四人参加某次电脑技能比赛．甲、乙两人的平均成绩为分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低分，比丁的成绩高分，那么他们四人的平均成绩为（   ）分． A． B． C． D． 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 【典例2】．若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【跟踪训练1】．小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【跟踪训练2】．有三个数，甲数和乙数的平均数是81，甲数和丙数的平均数是85，乙数和丙数的平均数是86．甲、乙、丙这三个数各是______． 【跟踪训练3】．已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则的值为________． 【题型3 利用平均数做决策】 【典例3】．今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（    ） A．小红的分数比小星的分数低 B．小红的分数比小星的分数高 C．小红的分数与小星的分数相同 D．小红的分数可能比小星的分数高 【跟踪训练1】．数学期末考试，奇思所在班级的平均分是92分，妙想所在班级的平均分是89分，这次奇思数学成绩与妙想相比，（    ） A．奇思分数高 B．妙想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【跟踪训练2】．重庆、武汉等长江沿岸城市在夏季常常如火炉般闷热，特别是7月下旬和8月上中旬，副热带高压会使这些地区闷热难耐．下表是武汉和重庆在2024年8月1日至8月7日每天的最高温度，请根据表中数据判断这七天更热的城市是_______． 8月1日 8月2日 8月3日 8月4日 8月5日 8月6日 8月7日 武汉 重庆 【跟踪训练3】．如图是一，二两组同学将本组最近5次数学平均成绩，分别绘制成的折线统计图．由统计图可知： （1）二组成绩中，平均成绩最大是第______次； （2）在这五次成绩中，______组进步更大．（选填“一”或“二”） 【题型4 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 【典例4】．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 【跟踪训练2】．如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 【跟踪训练3】．是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 求加权平均数】 【典例5】．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容80分、演讲能力90分，若按照演讲内容占，演讲能力占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为（    ） A．86 B．85 C．87 D．84 【跟踪训练1】．某校学期末进行优秀学生评定，王花的“德”“智”“体”“美”得分分别是分、分、分、分，若按的比来计算加权平均分，则王花的得分是（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 【跟踪训练2】．某商品共件，第一天以元／件卖出件，第二天以元／件卖出件，第三天以元／件卖出件，则这种商品的平均售价为_____________元／件 【跟踪训练3】．学校需招聘一名教师，从专业知识、语言表达、组织协调三个方面对甲、乙两名应聘者进行了三项素质测试，他们各项测试成绩如表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 专业知识 75 93 语言表达 81 79 组织协调 84 72 (1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80分，请计算乙的平均成绩，如果按三项测试成绩的平均成绩较高的确定录用人选，那么谁将被录用？ (2)根据工作需要，学校将专业知识、语言表达、组织协调得分依次按的比例确定各人的最终测试成绩，再按得分较高的录用，那么谁将被录用？ 【答案】(1)乙的平均成绩是分，应聘者乙将被录用； (2)应聘者甲将被录用 【分析】本题考查了算术平均数和加权平均数． （1）先根据题意求出乙的平均成绩，再进行比较即可； （2）按加权平均数求出甲、乙的测试成绩，再进行比较即可． 【详解】（1）解：乙的平均成绩是（分）， ∵， ∴应聘者乙将被录用； （2）解：根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的最终测试成绩为：（分）， 乙的最终测试成绩为：（分）， ∵， ∴应聘者甲将被录用． 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 【典例6】．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【跟踪训练1】．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【跟踪训练2】．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【跟踪训练3】．德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为（满分10分），并绘制甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下： 甲、乙两名学生的作品得分情况统计表： 造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分 甲作品 8 8.4 9.3 8.5 乙作品 7.8 6.6 8 根据以上信息，回答下列问题． (1)求的值； (2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由． 【题型7 运用加权平均数做决策】 【典例7】．我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（   ） A．74分 B．84分 C．80.5分 D．82分 【跟踪训练1】．学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪训练2】．某校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表.若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（    ） 选手 甲 乙 丙 丁 平均数 92 92 92 92 方差 0.015 0.035 0.023 0.027 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪训练3】．某校把学生的笔答测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，高于90分为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（   ） 笔答测试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙 90 88 90 A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙 【题型8 求中位数】 【典例8】．在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（    ） A．77 B．78 C．79 D．80 【跟踪训练1】．有一组数据4，4，6，8，8，则6是这组数据的（    ） A．平均数但不是中位数 B．中位数但不是平均数 C．平均数和中位数 D．以上都不对 【跟踪训练2】．在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．手机记录了邯郸市某周的日最低气温，如下表． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 日最低气温 则这周的日最低气温（单位：）所组成的个数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 【典例9】．一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【跟踪训练1】．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练2】．一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（　　） A．1 B．2 C．6 D．11 【跟踪训练3】．甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）： 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 6 7 ？ 9 10 如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（   ） A．6环 B．7环 C．8环 D．9环 【题型10 运用中位数做决策】 【典例10】．从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪训练1】．某校开展“颂时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前7位进入决赛．若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【跟踪训练2】．如图，表示组种子发芽率，前组种子发芽率的中位数为，第组的种子发芽率从甲、乙、丙中选一个，第组的种子发芽率从丁、戊中选一个，若这组的种子发芽率的中位数仍为，则第组、第组选择的可以是（   ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁 【跟踪训练3】．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（    ） A．丙、丁 B．乙、戊 C．甲、丁 D．无法确定 【题型11 求众数】 【典例11】．某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（　　） A．5，5 B．6，5 C．6，5和6 D．6，5和7 【跟踪训练1】．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 如果每个评委打分都高，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【跟踪训练2】．为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学八年级（1）班的美术老师特地给学生们上了一节手工课，教同学们编织“中国结”．为了了解同学们的编织情况，随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是（   ） A．样本为20名学生 B．平均数是4 C．中位数是4 D．众数是6 【跟踪训练3】．某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表，则这十一双运动鞋尺码的众数为（   ） 尺码 40 41 42 43 44 购买数量 2 4 2 2 1 A．41 B．42 C．43 D．44 【题型12 利用众数求未知数据的值】 【典例12】．已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【跟踪训练1】．已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【跟踪训练2】．已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，平均数是3.6，则这一组数据的中位数为（    ） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 【跟踪训练3】．已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【题型13 运用众数做决策】 【典例13】．学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【跟踪训练1】．某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从10名候选人中选择1名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【跟踪训练2】．某文创店2025年12月部分文创手办销售量如图所示，现该店准备进货，老板对员工说：“下个月要多进贵州红色文化书签”．影响老板决策的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪训练3】．某商场对上周某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 120 150 230 75 430 经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．平均数与中位数 【解答题5题】 1．某商场家电销售部统计了20名营业员在某月的销售额，数据如下：（单位：万元） 25  26  21  17  28  26  20  25  26  30 20  21  20  26  30  25  21  19  28  26 (1)请根据以上信息完成下表： 销售额/万元 17 19 20 21 25 26 28 30 频数/人数 频率 (2)求出这20名营业员销售额的平均数． 2．“消防安全，人人有责”．当火灾发生时，保持冷静，科学逃生，是保护生命健康的重要保证．某校为加强对消防安全知识的宣传，组织全校学生进行消防安全知识测试，测试结束后，随机抽取名学生的成绩，整理并绘制了成绩的频数分布表如下： 成绩x/分 频数 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出这个数据的平均数； (2)若该校有名学生参加本次测试，请估计成绩不低于分的人数． 3．为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动（竞赛满分为100分），为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了50名参赛学生的成绩，整理并绘制出如下统计表． 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 8 65 10 75 14 85 18 95 根据上述信息，解答下列问题： (1)所抽取参赛学生成绩的中位数落在_____组； (2)求所抽取的参赛学生的平均成绩； (3)估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数． 4．我国淡水资源相对缺乏，节约用水成为大家共识．为了解某小区家庭用水情况，八年级数学社团在小学段期间随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），根据调查结果绘制成的统计图表如下． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 6 B 21 C m D n E 3 根据上述信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)本次调查数据的中位数落在______组内； (3)若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于5.0吨的家庭数有多少？ 5．为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组：，，，，），并绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50、57、65、76、77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99：女生体能测试成绩在C组和组的分别为：73，74，74，74，74，78；84，88，89． 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 女生 a 74 请根据以上信息．回答下列问题： (1)补全频数分布直方图： (2)填空：_____，_____； (3)女生体能测试扇形统计图中．表示这组数据的扇形圆心角的度数是_____； (4)如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平均数、中位数与众数 《知识解读+题型专练》 【题型1 求平均数】 3 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 5 【题型3 利用平均数做决策】 7 【题型4 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 9 【题型5 求加权平均数】 11 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 12 【题型7 运用加权平均数做决策】 16 【题型8 求中位数】 18 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 20 【题型10 运用中位数做决策】 22 【题型11 求众数】 24 【题型12 利用众数求未知数据的值】 26 【题型13 运用众数做决策】 28 【解答题5题】 30 3.1 平均数 核心知识点 一、基础知识点 1. 算术平均数 定义：一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 意义：反映一组数据的整体平均水平，易受极端值（偏大或偏小数据）影响。 2. 加权平均数 定义： 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 权的意义：表示数据的重要程度、出现次数、所占比重，权越大，对应数据对平均数的影响越大。 二、3.1平均数 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型1 求平均数 直接套用算术平均数公式：数据总和÷数据个数，计算前先核对数据个数，避免漏数、多数，保证求和准确。 题型2 已知平均数求未知数据的值 设未知数据为，代入算术平均数公式列一元一次方程，解方程后检验结果是否符合数据实际意义。 题型3 利用平均数做决策 对比多组数据的平均数大小，平均数越大代表整体平均水平越高；数据无极端偏大/偏小值时，用平均数判断更具说服力。 题型4 利用已知的平均数求相关数据的平均数 核心规律：原数据平均数为，①数据整体加/减常数，新平均数为；②数据整体乘常数，新平均数为。 题型5 求加权平均数 找准每组数据对应的权（重要程度、次数、比重），代入加权平均数公式计算。 题型6 利用加权平均数求未知数据的值 设未知数，结合数据与对应权重，代入加权平均数公式列方程，精准计算权的总和，求解后验证结果合理性。 题型7 运用加权平均数做决策 针对不同权重的综合评价场景（如成绩核算、考核评分），通过加权平均数对比优劣，权重大的指标对结果影响更显著。 3.2 中位数与众数 核心知识点 一、基础知识点 1. 中位数 定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列： ① 如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数； ② 如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数就是这组数据的中位数。 意义：反映数据的中间水平，不受极端值影响，适合数据分布不均、有极端值的场景。 2. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 特点：① 一组数据可能有一个众数；② 可能有多个众数（多个数据出现次数并列最多）；③ 也可能没有众数（所有数据出现次数相同）。 意义：反映数据中最常见、最集中的数值，适合统计销量、尺码、喜好等频次类数据。 二、3.2中位数与众数 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型8 求中位数 第一步：将数据**从小到大严格排序**；第二步：判断数据个数为奇数/偶数；第三步：奇数取中间数，偶数取中间两数的平均数。 题型9 利用中位数求未知数据的值 先对数据排序，根据中位数定义锁定未知数位置，结合数据个数的奇偶性，列方程求解未知数据。 题型10 运用中位数做决策 数据存在极端值、分布不均时，中位数不受极端值干扰，能客观反映数据中间水平，适合薪资、房价等场景判断。 题型11 求众数 统计每个数据出现的频次，出现次数最多的数据即为众数；多组数据频次并列最多则为多个众数，频次相同则无众数。 题型12 利用众数求未知数据的值 紧扣众数“出现次数最多”的核心定义，确定未知数取值，保证该数据在整组中出现频次最高。 题型13 运用众数做决策 关注数据普遍情况、出现频次时选用，如商品进货选众数尺码、统计热门偏好，贴合大众需求做决策。 三、平均数、中位数、众数对比与易错提醒 核心对比：平均数反映平均水平（易受极端值影响）、中位数反映中间水平（不受极端值影响）、众数反映集中水平（频次最高）。 易错点：1. 求中位数时忘记排序，直接取中间数导致错误；2. 众数是数据本身，不是出现次数；3. 加权平均数易混淆数据与权的位置；4. 多个众数或无众数的情况易漏判。 【题型1 求平均数】 【典例1】．随着人工智能的发展，智能机器人的应用越来越广泛．某工厂使用、两种型号机器人对零件进行质量检测，型机器人每检测一个零件需要3分钟，型号机器人每检测一个零件需要5分钟．某日，工厂随机抽取了型机器人检测的4个零件和型机器人检测的6个零件进行复检，则被抽检零件的平均检测时间为（   ） A．3.8分钟 B．4.2分钟 C．5分钟 D．5.25分钟 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，需先计算两种型号机器人检测零件的总时间，再除以总零件数得到平均检测时间． 【详解】∵A型机器人4个零件总检测时间为分钟，B型机器人6个零件总检测时间为分钟， ∴检测零件的总时间为分钟，总零件数为个， ∴平均检测时间为分钟． 【跟踪训练1】．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（   ） A．7 B．7.57 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的计算，计算一周总睡眠时间除以总天数7，得到平均睡眠时间即可． 【详解】解：小王这一周的平均睡眠时间为：（小时）， 故选：B． 【跟踪训练2】．学校七年级（10）班“书香小组”有8名同学，10月份的图书借阅目标为每人8本（以8本为标准，超过的本数记为正数，不足的本数记为负数）．组长统计每人的借阅情况如下：，，，，，，，．该小组10月份实际平均每人借阅图书___________本． 【答案】8.5 【分析】本题考查了平均数的运算，熟练掌握运算方法是解题的关键． 以标准8本为基准，计算借阅情况的偏差之和，再求实际平均借阅量即可． 【详解】借阅情况数据表示每人实际借阅量与标准本的偏差，偏差数据为：，，，，，，，， 偏差之和为， 实际总借阅量为：（本）， 平均每人借阅量为：（本）． 故答案为：． 【跟踪训练3】．甲、乙、丙、丁四人参加某次电脑技能比赛．甲、乙两人的平均成绩为分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低分，比丁的成绩高分，那么他们四人的平均成绩为（   ）分． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平均数的计算及应用．涉及到根据平均数求出总数，以及通过数量关系表示出各个数，最后再计算新的平均数．解题的关键在于准确理解平均成绩与个体成绩之间的关系，通过已知的平均成绩求出个体成绩，再进行后续的计算． 根据平均数的定义，先由甲、乙的平均成绩求出总成绩，再根据与丙、丁的成绩关系求出丙和丁的成绩，最后计算四人的平均成绩． 【详解】∵甲、乙两人的平均成绩为分，∴甲、乙的总成绩为分． ∵平均成绩比丙的成绩低分，∴丙的成绩为分． ∵平均成绩比丁的成绩高分，∴丁的成绩为分． ∴四人的总成绩为(分)． ∴四人的平均成绩为(分)． 故选B． 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 【典例2】．若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【答案】3 【分析】根据平均数的定义，通过列一元一次方程求解未知数x的值． 【详解】解：∵一组数据2，3，x，5，7的平均数为4， ∴根据平均数的计算公式可得， 去分母，得 计算得 移项，得 解得， 故答案为：3． 【跟踪训练1】．小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【答案】A 【分析】本题考查平均数的应用，利用平均数公式求出三科总分，再减去已知的语文和英语分数即可得到数学成绩． 【详解】∵三科平均分为92分 ∴三科总分为（分）， ∵语文是88分，英语是95分 ∴数学成绩（分）． 【跟踪训练2】．有三个数，甲数和乙数的平均数是81，甲数和丙数的平均数是85，乙数和丙数的平均数是86．甲、乙、丙这三个数各是______． 【答案】 80，82，90 【分析】本题考查数的和差问题，根据平均数求出每两个数的和，再通过三个和相加得到三个数总和的两倍，从而求出总和，最后分别减去每两个数的和得到每个数． 【详解】解：甲数和乙数的平均数是81，故甲数和乙数的和为； 甲数和丙数的平均数是85，故甲数和丙数的和为； 乙数和丙数的平均数是86，故乙数和丙数的和为； 将三个和相加：，这是甲、乙、丙三个数总和的两倍，故三个数总和为； 丙数为：；乙数为：；甲数为：． 故答案为：80，82，90． 【跟踪训练3】．已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：数据之和为， 平均数为， 解得． 故答案为：3． 【题型3 利用平均数做决策】 【典例3】．今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（    ） A．小红的分数比小星的分数低 B．小红的分数比小星的分数高 C．小红的分数与小星的分数相同 D．小红的分数可能比小星的分数高 【答案】D 【分析】根据平均数的意义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：∵平均数不能代表每组数据中的具体哪个数， ∴小红的分数和小星的分数并不能确定哪个分数高或低， ∴小红的分数可能比小星的分数高， 故选D． 【点睛】本题主要考查平均数的意义，掌握” 平均数不能代表每组数据中的具体哪个数，只能反映数据集中趋势“，是解题的关键． 【跟踪训练1】．数学期末考试，奇思所在班级的平均分是92分，妙想所在班级的平均分是89分，这次奇思数学成绩与妙想相比，（    ） A．奇思分数高 B．妙想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了平均数的意义．根据平均数是反映一组数据的平均水平，所以不能确定奇思和妙想成绩，从而无法确定谁高谁低． 【详解】奇思所在班级的平均分是92分，奇思的数学成绩可能低于92分，也可能高于92分，也可能正好是92分； 妙想所在班级的平均分是89分，妙想的数学成绩可能低于89分，也可能高于89分，也可能正好是89分； 所以奇思的成绩与妙想的成绩无法确定高低， 故选：D． 【跟踪训练2】．重庆、武汉等长江沿岸城市在夏季常常如火炉般闷热，特别是7月下旬和8月上中旬，副热带高压会使这些地区闷热难耐．下表是武汉和重庆在2024年8月1日至8月7日每天的最高温度，请根据表中数据判断这七天更热的城市是_______． 8月1日 8月2日 8月3日 8月4日 8月5日 8月6日 8月7日 武汉 重庆 【答案】重庆 【分析】本题考查了平均数的应用，先求出武汉和重庆这7天温度的平均数，然后比较大小即可解答． 【详解】解：武汉的平均气温为， 重庆的平均气温为， ∵， ∴这七天更热的城市是重庆， 故答案为：重庆． 【跟踪训练3】．如图是一，二两组同学将本组最近5次数学平均成绩，分别绘制成的折线统计图．由统计图可知： （1）二组成绩中，平均成绩最大是第______次； （2）在这五次成绩中，______组进步更大．（选填“一”或“二”） 【答案】 5 一 【分析】本题考查了读取图象信息的能力， （1）观察二组成绩，越在上面的平均数越大，即可作答． （2）一组的数据是从70分上升到90分，二组的数据是从70分上升到85分，即可作答． 【详解】解：（1）观察图象，得出越在上面的平均数越大， ∴二组成绩中，平均成绩最大是第5次 （2）∵观察图象，得出一组的数据是从70分上升到90分，二组的数据是从70分上升到85分， ∴ ∴在这五次成绩中，一组进步更大 故答案为：5，一． 【题型4 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 【典例4】．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 【跟踪训练1】．若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了利用已知的平均数求相关数据的平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用平均数的性质，当每个数据乘以相同常数时，新平均数为原平均数乘以该常数． 【详解】解：∵数据，，，，的平均数为2， ∴． 对于新数据，，，，， 其和为， ∴新平均数为， 故选：C． 【跟踪训练2】．如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了平均数．结合一组数据的平均数是2，得，则，即可作答． 【详解】解：∵一组数据的平均数是2， ∴， 即， 则 ， 故选：C 【跟踪训练3】．是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵是的平均数，是的平均数，是的平均数， ∴，， ∴. 故选：B. 【题型5 求加权平均数】 【典例5】．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容80分、演讲能力90分，若按照演讲内容占，演讲能力占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为（    ） A．86 B．85 C．87 D．84 【答案】A 【分析】根据加权平均数为各项目数据与权重的积的和列式计算即可． 【详解】解：∵演讲内容得分80分，占比，演讲能力得分90分，占比． ∴综合成绩分，即A选项符合题意． 【跟踪训练1】．某校学期末进行优秀学生评定，王花的“德”“智”“体”“美”得分分别是分、分、分、分，若按的比来计算加权平均分，则王花的得分是（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据加权平均数的计算公式，将各维度得分乘以对应权重后求和，再除以权重总和得到结果． 【详解】解：权重比为， 权重总和为， 王花的加权平均分为(分)． 故选：B． 【跟踪训练2】．某商品共件，第一天以元／件卖出件，第二天以元／件卖出件，第三天以元／件卖出件，则这种商品的平均售价为_____________元／件 【答案】 【详解】解：总销售额为（元），总件数为件， 平均售价为（元/件）. 【跟踪训练3】．学校需招聘一名教师，从专业知识、语言表达、组织协调三个方面对甲、乙两名应聘者进行了三项素质测试，他们各项测试成绩如表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 专业知识 75 93 语言表达 81 79 组织协调 84 72 (1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80分，请计算乙的平均成绩，如果按三项测试成绩的平均成绩较高的确定录用人选，那么谁将被录用？ (2)根据工作需要，学校将专业知识、语言表达、组织协调得分依次按的比例确定各人的最终测试成绩，再按得分较高的录用，那么谁将被录用？ 【答案】(1)乙的平均成绩是分，应聘者乙将被录用； (2)应聘者甲将被录用 【分析】本题考查了算术平均数和加权平均数． （1）先根据题意求出乙的平均成绩，再进行比较即可； （2）按加权平均数求出甲、乙的测试成绩，再进行比较即可． 【详解】（1）解：乙的平均成绩是（分）， ∵， ∴应聘者乙将被录用； （2）解：根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的最终测试成绩为：（分）， 乙的最终测试成绩为：（分）， ∵， ∴应聘者甲将被录用． 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 【典例6】．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 【跟踪训练1】．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 【跟踪训练2】．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 【跟踪训练3】．德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为（满分10分），并绘制甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下： 甲、乙两名学生的作品得分情况统计表： 造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分 甲作品 8 8.4 9.3 8.5 乙作品 7.8 6.6 8 根据以上信息，回答下列问题． (1)求的值； (2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙，见解析 【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键． （1）根据甲作品的得分以及加权平均数公式可得x的值； （2）求出m的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． （2）解：由（1）可知权重比例为3:1:2， 所以， 解得，， 所以， 所以乙学生在“造型设计”方面比较突出 【题型7 运用加权平均数做决策】 【典例7】．我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（   ） A．74分 B．84分 C．80.5分 D．82分 【答案】B 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键； 根据加权平均数定义可得． 【详解】解：∵最终成绩； ∴该选手的最终成绩是84分． 故选：B． 【跟踪训练1】．学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，根据四人在语言表达能力和舞台仪态表现的得分，以及对应的权重求出四人的总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的总成绩：， 乙的总成绩：， 丙的总成绩：， 丁的总成绩：， ∵， ∴ 甲的总成绩最高， 应推荐甲， 故选：A． 【跟踪训练2】．某校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表.若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（    ） 选手 甲 乙 丙 丁 平均数 92 92 92 92 方差 0.015 0.035 0.023 0.027 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键；根据语言表达能力占和舞台仪态表现占的权重，分别计算甲、乙、丙、丁四位候选人的总成绩，并比较大小，选出最高分，然后问题可求解． 【详解】解：∵总成绩=语言表达能力舞台仪态表现， ∴甲的总成绩：， 乙的总成绩：， 丙的总成绩：， 丁的总成绩：， ∵， ∴甲的总成绩最高，应推荐甲； 故选A． 【跟踪训练3】．某校把学生的笔答测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，高于90分为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（   ） 笔答测试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙 90 88 90 A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法．通过计算加权平均数得到每个人的总评成绩，再判断是否大于90分以确定优秀. 【详解】解：甲的总评成绩， 乙的总评成绩， 丙的总评成绩， 因此甲和乙的总评成绩优秀． 故选：C． 【题型8 求中位数】 【典例8】．在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（    ） A．77 B．78 C．79 D．80 【答案】C 【分析】先将数据从小到大排序，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数即可得到中位数． 【详解】解：∵数据总个数为7，是奇数个， 将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80， ∴中位数为排序后位于中间的第4个数， ∵第4个数是79， ∴这组数据的中位数是79． 【跟踪训练1】．有一组数据4，4，6，8，8，则6是这组数据的（    ） A．平均数但不是中位数 B．中位数但不是平均数 C．平均数和中位数 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题需通过计算这组数据的平均数和中位数，判断6与两者的关系． 【详解】解：∵这组数据的总和为， ∴平均数． ∵将数据按从小到大顺序排列为4，4，6，8，8，数据个数为5（奇数）， ∴中位数为中间位置的数6． ∴6是这组数据的平均数和中位数． 【跟踪训练2】．在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位数的实际应用，先将一组数据从小到大排序后，求解中位数，根据约半数的数据不超过中位数，因此只需计算该组数据的中位数即可． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排序为：37，45，45，47，58，58，59，63，72，83， 又∵数据共有10个，为偶数个，中位数为中间两个数的平均数， ∴中位数为． ∴大约有半数的机动车的时速不会超过． 故选：C． 【跟踪训练3】．手机记录了邯郸市某周的日最低气温，如下表． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 日最低气温 则这周的日最低气温（单位：）所组成的个数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位数的定义，先将数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数即可，掌握中位数的定义是解题关键． 【详解】解：将这周的日最低气温数据从小到大排列为，，，，，，， ∵数据共有个（奇数个），中位数为第个数据， ∴这组数据的中位数是， 故选：． 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 【典例9】．一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义； 根据奇数个数据的中位数概念，确定的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数定义为：将数据从小到大排列后，奇数个数据的中位数是中间位置的数， ∵这组数据共5个，中位数是5， ∴将数据从小到大排列后，第3个数必须为5， ∴需满足， ∵选项中仅符合条件， 故选：D． 【跟踪训练1】．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义．需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确定a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． ∵这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6． 将已知数据从小到大排列：2，4，6，8． 要使排序后第3个数为6，则． 观察选项，只有D选项的6满足的条件． 故选：D 【跟踪训练2】．一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（　　） A．1 B．2 C．6 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了中位数和平均数，熟练掌握中位数定义，是解题的关键．数据中有两个3，无论x为何值，排序后中位数恒为3，因此只需令平均数等于3，解方程即可． 【详解】解：∵数据中有两个3， ∴无论x为何值，排序后中位数恒为3， ∵平均数与中位数相同， ∴平均数为3， ∴， 解得：. 故选：A． 【跟踪训练3】．甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）： 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 6 7 ？ 9 10 如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（   ） A．6环 B．7环 C．8环 D．9环 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的计算．先计算出甲的中位数，设乙第四次的成绩为x环，根据中位数的计算方法即可求出x的值．将一组数据按照从大到小（或从小到大）的顺序排列．若这一组数有奇数个数，则中位数就是最中间的这个数；若这一组数有偶数个数，则中位数为最中间两个数的平均数． 【详解】解：由表格知，甲的中位数为环， 因此乙的中位数也为8环． 设乙第四次的成绩为x环， 则乙的成绩由小到大排列为5，6，7，x，9，10，或5，6，7，9，x，10， ∴， 或， 解得，． 故选：D． 【题型10 运用中位数做决策】 【典例10】．从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的实际应用，需结合入选规则，分析各统计量的意义来确定所需统计量． 【详解】∵13名队员身高各不相同，将身高从高到低排序后，第7个数据是这组数据的中位数，要挑选7名个头高的队员参赛． ∴小明将自己的身高与中位数比较，若身高≥中位数则能入选，反之则不能， ∴只需知道这组数据的中位数即可， 故选：B． 【跟踪训练1】．某校开展“颂时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前7位进入决赛．若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的选择，需结合各统计量的意义，分析判断小明进入决赛需要参考的统计量． 【详解】解：∵共有14位同学的成绩，取前7名进入决赛 ∴将14个成绩按从高到低排序后，中位数是第7名和第8名成绩的平均数 ∴若小明的成绩高于中位数，则他的成绩至少排在第8名之前，能进入决赛；若等于中位数，也可能并列第7名进入决赛；若低于中位数，则排在第8名及之后，无法进入决赛 ∴小明需要知道这14位同学成绩的中位数， 故选：C． 【跟踪训练2】．如图，表示组种子发芽率，前组种子发芽率的中位数为，第组的种子发芽率从甲、乙、丙中选一个，第组的种子发芽率从丁、戊中选一个，若这组的种子发芽率的中位数仍为，则第组、第组选择的可以是（   ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的概念与应用，理解加入两组数据后中位数保持不变的条件是解题的关键． 由题意可知，要使选定的组种子发芽率的中位数仍为，新加入的两组数据中必须包含一个发芽率高于的组和一个发芽率低于的组，结合选项即可得出正确答案． 【详解】解：依题意分析， A、甲和丁的发芽率均高于，会使整体中位数大于，故该选项不符合题意； B、乙、戊的发芽率均低于，会使整体中位数小于，故该选项不符合题意； C、丙、戊的发芽率均低于，会使整体中位数小于，故该选项不符合题意； D、乙、丁发芽率一个低于，一个高于，可保证中位数仍为，故该选项不符合题意． 故选：D． 【跟踪训练3】．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（    ） A．丙、丁 B．乙、戊 C．甲、丁 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁；乙、戊； 故选：A． 【题型11 求众数】 【典例11】．某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（　　） A．5，5 B．6，5 C．6，5和6 D．6，5和7 【答案】D 【分析】本题考查平均数中位数和众数的定义，先根据平均数求出x的值，再将数据从小到大排序，根据定义求出中位数和众数即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数为6，共有7个数据， ∴这组数据的总和为 ， ∴， 将这组数据从小到大排列为：4，5，5，6，7，7，8， ∵7个数据的中位数是排序后第4个数据，∴中位数为6， ∵5和7都出现2次，出现次数最多，∴众数为5和7， 故选：D． 【跟踪训练1】．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 如果每个评委打分都高，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】D 【分析】本题考查统计量的性质，需掌握各统计量的变化规律，重点理解方差反映数据波动程度的特性． 【详解】解：∵每个评委打分都增加 ∴这组数据的平均数、众数、中位数均会增加 又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，每个数据加相同的数，数据的波动幅度不变 ∴方差不会发生变化 故选：D. 【跟踪训练2】．为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学八年级（1）班的美术老师特地给学生们上了一节手工课，教同学们编织“中国结”．为了了解同学们的编织情况，随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是（   ） A．样本为20名学生 B．平均数是4 C．中位数是4 D．众数是6 【答案】C 【分析】根据样本（总体中抽取的一部分个体的某一数量指标的集合）、平均数（一组数据中所有数据之和再除以数据的个数）、中位数（一组数据的中位数要先把这组数据按照从小到大排序，找到中间的一个数或中间两个数的平均数即为这组数据的中位数）、众数（一组数据中出现次数最多的数据），对各选项逐一分析判断即可． 【详解】A、样本是指从总体中抽取的部分个体的观测值，该样本为20名学生的编织数量，故选项错误． B、平均数为，故选项错误． C、将20个数据从小到大排列后，第10、11个数据均为4，中位数为，故选项正确． D、编织数量为3个的人数最多（6人），众数是3，故选项错误． 【跟踪训练3】．某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表，则这十一双运动鞋尺码的众数为（   ） 尺码 40 41 42 43 44 购买数量 2 4 2 2 1 A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题考查众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据值．从表格中找出对应购买数量最多的尺码，该尺码即为众数． 【详解】解：∵观察表格可知，尺码对应的购买数量为4，是所有尺码中数量最多的， ∴这十一双运动鞋尺码的众数为； 故选：A． 【题型12 利用众数求未知数据的值】 【典例12】．已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，解题的关键是理解众数的概念． 众数是指一组数据中出现次数最多的数，且题目明确众数为，因此在本题的条件下，是唯一出现次数最多的数，据此分析的值． 【详解】解：∵ 众数是， ∴ 的出现次数必须最多， 当前数据中出现次，出现次，其他数出现次数均少于， 若，则出现次，其他数出现次数均少于，满足众数为； 若，则出现次，众数为，不符合题意； 若，则数据中的众数为6，8，10，不符合题意；若，则数据中的众数为6，8，12，不符合题意． ∴ ． 故选：B． 【跟踪训练1】．已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查众数的概念和数据的排列顺序，注意唯一众数的条件，理解题意是解题的关键． 数据从大到小排列，为正整数且；再根据众数是且唯一，排除的情况，得到． 【详解】解：∵数据从大到小排列为5，4，4，3，，且为正整数， ∴，即可能为1，2，3. ∵唯一的众数是，且出现两次， ∴若，则出现两次，众数为和，不唯一； 若，则其他数均出现一次，是唯一众数． ∴． 故选：D． 【跟踪训练2】．已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，平均数是3.6，则这一组数据的中位数为（    ） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 【答案】A 【分析】根据唯一众数1和平均数3.6，确定数据中的数值，再求中位数． 本题考查了众数、中位数和平均数，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，且平均数为3.6， ∴ 总和为， ∴，即， ∵ a，b，c为正整数，且众数为1， ∴ 1出现次数最多，且唯一， ∴ a，b，c中必有两个1和一个3（若为两个2和一个1，则众数为2，矛盾）， ∴ 数据为1，1，3，5，8， 排序后为1，1，3，5，8， ∴ 中位数为3． 故选：A． 【跟踪训练3】．已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据众数和中位数的定义，确定数据中的各个数值，再计算平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组正整数，5，，，8有唯一众数1， ∴1出现次数至少两次， ∵中位数是3， ∴排序后第三个数为3， ∴将数据从小到大排列为1，1，3，5，8， ∴总和为，平均数为， 故选：B． 【题型13 运用众数做决策】 【典例13】．学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数据， 由表格可知，喜欢红色校服的学生人数为，远多于喜欢白色（人）和蓝色（人）的人数， 又∵学校最终决定选择红色校服， ∴其参考的统计量是众数． 【跟踪训练1】．某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从10名候选人中选择1名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】在投票中，获胜者应为得票最多者，即众数． 本题考查了众数的概念，熟练掌握众数是解题的关键． 【详解】解：∵ 投票结果中，获胜者由得票数最多决定， ∴ 需使用众数作为统计量． 故选：C． 【跟踪训练2】．某文创店2025年12月部分文创手办销售量如图所示，现该店准备进货，老板对员工说：“下个月要多进贵州红色文化书签”．影响老板决策的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了数据与统计，理解题意是解题的关键． 根据统计图的信息解题即可． 【详解】解：由统计图可知，贵州红色文化书签的销量最大， ∴影响老板决策的统计量是众数． 故选：C ． 【跟踪训练3】．某商场对上周某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 120 150 230 75 430 经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．平均数与中位数 【答案】C 【分析】本题考查众数的应用，掌握知识点是解题的关键． 经理多进红色运动服是因为红色销售数量最高，这对应众数的定义，即数据中出现次数最多的值． 【详解】解：∵ 红色运动服的销售数量为430件，远高于其他颜色， ∴ 众数为红色，因此经理的决定基于众数． 故选C． 【解答题5题】 1．某商场家电销售部统计了20名营业员在某月的销售额，数据如下：（单位：万元） 25  26  21  17  28  26  20  25  26  30 20  21  20  26  30  25  21  19  28  26 (1)请根据以上信息完成下表： 销售额/万元 17 19 20 21 25 26 28 30 频数/人数 频率 (2)求出这20名营业员销售额的平均数． 【答案】(1)见解析 (2)这20名营业员销售额的平均数为万元． 【分析】（）根据完成填表； （）根据平均数（一组数据中所有数据之和再除以数据的个数）计算即可． 【详解】（1）解：完成表格如下： 销售额/万元 17 19 20 21 25 26 28 30 频数/人数 1 1 3 3 3 5 2 2 频率 （2）解：（万元）， 答：这20名营业员销售额的平均数为万元． 2．“消防安全，人人有责”．当火灾发生时，保持冷静，科学逃生，是保护生命健康的重要保证．某校为加强对消防安全知识的宣传，组织全校学生进行消防安全知识测试，测试结束后，随机抽取名学生的成绩，整理并绘制了成绩的频数分布表如下： 成绩x/分 频数 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出这个数据的平均数； (2)若该校有名学生参加本次测试，请估计成绩不低于分的人数． 【答案】(1)（分） (2)成绩不低于分的约有人 【分析】（1）根据加权平均数的求法求解即可； （2）用总人数乘样本中成绩不低于80分的人数所占比例即可． 【详解】解：（1）这次测试中个数据的平均数为（分）． （2）（人）． 答：成绩不低于分的约有人． 3．为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动（竞赛满分为100分），为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了50名参赛学生的成绩，整理并绘制出如下统计表． 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 8 65 10 75 14 85 18 95 根据上述信息，解答下列问题： (1)所抽取参赛学生成绩的中位数落在_____组； (2)求所抽取的参赛学生的平均成绩； (3)估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】(1)C (2)分 (3)512名 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）求出每组的总得分，然后求和后除以参与调查的学生人数即可得到答案； （3）用800乘以样本中达到80分及以上的学生人数的占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一共抽取了50名学生的成绩， ∴把这50名学生的成绩按照从低到高排列，中位数为第25名的成绩和第26名的成绩的中位数， ∵， ∴中位数落在C组； （2）解：分， ∴所抽取的参赛学生的平均成绩为分； （3）解：名， 答：估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数为512名． 4．我国淡水资源相对缺乏，节约用水成为大家共识．为了解某小区家庭用水情况，八年级数学社团在小学段期间随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），根据调查结果绘制成的统计图表如下． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 6 B 21 C m D n E 3 根据上述信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)本次调查数据的中位数落在______组内； (3)若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于5.0吨的家庭数有多少？ 【答案】(1)， (2) (3)去年月均用水量小于吨的家庭数有个 【分析】（1）用家庭总数乘以组用水量所占百分比，可求出m值，用总数减去其他家庭数量即可求出n的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用乘以月均用水量小于吨的家庭所占比例即可得答案． 【详解】（1）解：∵扇形统计图中，组用水量占， ∴， ∴． （2）解：∵组有个家庭，组有个家庭，且中位数是第个数据与第个数据的平均数， ∴中位数一定落在组内． （3）解：月均用水量小于吨的家庭为（个）， 答：去年月均用水量小于吨的家庭数有个． 5．为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组：，，，，），并绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50、57、65、76、77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99：女生体能测试成绩在C组和组的分别为：73，74，74，74，74，78；84，88，89． 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 女生 a 74 请根据以上信息．回答下列问题： (1)补全频数分布直方图： (2)填空：_____，_____； (3)女生体能测试扇形统计图中．表示这组数据的扇形圆心角的度数是_____； (4)如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) (4)542名 【分析】（1）先根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数求得的人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）根据众数和中位数的概念求解即可； （3）先求出样本中女生E组人数，从而可求出样本中女生E组人数所占比例，最后乘即可； （4）先求出男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数，再用男生和女生人数分别乘以样本中男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数所占比例，最后相加即可． 【详解】（1）解：20名男生的体能测试成绩分的人数为（名）， ∴补全直方图如下： （2）解：在男生成绩20名男生的体能测试成绩中，88出现次数最多，即男生的众数； 将女生的成绩从小到大排列，处于第10、11位的是78和84，故的中位数． 故答案为：81，88． （3）解：样本中女生A、B组总人数为名，C组人数为6名，D组人数为3名， ∴样本中女生E组人数为（名）， ∴表示这组数据的扇形圆心角的度数是． 故答案为：． （4）解：∵样本中男生成绩不低于80分的学生人数为名，女生成绩不低于80分的学生人数为名， ∴估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为（名）． 答：估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为542名． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $