专题6.1 平面向量的概念导学案-2025-2026学年高一数学同步知识填空与考点专练（人教A版必修第二册）

该高中数学导学案聚焦平面向量的概念，涵盖向量的定义、表示方法、模、零向量、单位向量及共线向量等核心知识点。通过知识填空引导学生回顾基础，衔接数量与向量的区别，为后续向量运算学习搭建认知支架。 资料以物理情境（如弹力、速度）引入问题，结合经典例题、变式训练及达标检测分层设计。通过辨析向量与数量的差异、共线向量的判断等，培养学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维推理辨析，提升数学语言表达能力，助力自主探究与知识内化。

专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 专题6.1平面向量的概念 一、知识填空 1.向量的概念 (1)向量：既有 又有」 的量叫做向量， (2)数量：只有 没有 的量称为数量. 2.向量的表示： (1)有向线段：具有」 的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：一、方向、长度. (2)向量的表示方法： 字母表示：如a,b,c,等 几何表示：以A为始点，B为终点作 如果用一条 表示向量，通常我们就说向量AB 3.向量的有关概念 (1)向量的模：向量的 叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度） (2)零向量：长度为 的向量叫零向量.记作一，它的方向是 (3)单位向量：长度等于 的向量 (4)共线向量（平行向量）：方向 的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量） 规定：0与任一向量 二、考点专练 目目 考点01 平面向量的概念与表示 【经典例题】 1.下列量中是向量的为() A.课桌的高度 B.一段路程的公里数 C.上课时老师敲击黑板的频率 D.小汽车受到路面的弹力 B(终点) 2.对下面图形的表示恰当的是(). A(起点) A.AB B.AB C.AB D.@ 1/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 3.关于平面向量，下列说法正确的是() A.向量可以比较大小 B.向量的模可以比较大小 C.速度是向量，位移是数量 D.零向量是没有方向的 4.已知下列各量：①力：②功：③速度：④质量：⑤位移.其中是数量的有 ,是向量的有 【变式训练】 1.下列物理量：①质量；②速度：③力；④加速度：⑤位移；⑥密度；⑦功.其中是向量的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列关于向量的说法正确的是() A.物理学中的摩擦力、重力都是向量 B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量D.身高是一个向量 3.下列说法正确的个数是() (1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量：(2)零向量没有方向： (3)向量的模一定是正数；(4)非零向量的单位向量是唯一的. A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图所示，B,C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出 个向 量：ABCD 5.(多选)下列说法正确的是() A.加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 2/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 6.(多选)下列说法正确的是() A.向量CD向量DC长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.零向量都相等 D.向量可以比较大小 【巩固练习】 1.下列量中是向量的为() A.功 B.距离 C.拉力 D.质量 2.下列量中是向量的为() A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离 3.对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是() A.①②④是数量，③⑤⑥是向量 B.①④⑤是数量，②③⑥是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 4.下列说法中正确的是() A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 5.如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出个共线非零向 量. B 6.(多选)下列说法错误的是() A.零向量没有方向 B.零向量与零向量共线 C.若a=b,b=c,则a=c D.温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 目目 考点02 向量的几何表示与向量的模 【经典例题】 1.如果一架飞机向西飞行150m,再向南飞行350km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则(). A.5> B.s=a c.s<同 D.s与日不能比较大小 3/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 2.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1,则西+丽+CD〈)F《 A.1 B.2 C.3 D.23 3.下列说法中正确的是() A.若AB=DC,则A,B,C,D四点构成一个平行四边形 B.零向量与单位向量的模相等 C.若a和6都是单位向量，则a=b或a=-b D.零向量与任何向量都共线 4.(多选)下列叙述中错误的是() A.若a=6,则3a>2b B.若a∥b,则a与b的方向相同或相反 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.对任何载a,合是一个单位问 「北 5.在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量. (1)⊙A=2,点A在点0的正东方向： (2)0B=2V2,点B在点0的北偏东45°方向： (3)求出AB的值. 4/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 【变式训练】 1.下列说法正确的是() A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.零向量的长度为0 D.任意两个单位向量方向相同 2.已知向量a如下图所示，下列说法不正确的是()Ma→N A.向量a可以用MN表示 B.向量a的方向由M指向N C.向量a的起点是M D.向量a的终点是M 3.设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO,OB,OC是() A.共起点的向量B.模相等的向量C.共线向量 D.相等向量 4.下列命题中正确的是 A.若d=b1,则a=五 B.若a≠i,则a≠ C.若1d=1,则a与b可能共线 D.若a≠5，则a一定不与b共线 5.在如图所示的半圆中，AB为直径，点0为圆心，C为半圆上一点，且∠0CB=30°，AB=2,则AC 等于() 309 A.1 B.√2 C.√5 D.2 5/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 G 6.(多选)如图所示D 四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，则下列结论 中一定成立的是() A.A=EFB.AB与F共线C.BD与EF共线D.CD=FG 北 L→东 7.在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量. (1)川OA=3,点A在点0的正西方向： (2)引OB=3√2，点B在点0的北偏西45°方向： (3)根据(1)(2)，作出向量4B并求出AB的值. 8.如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B,然后沿北偏西一定角度的某方向行走了100W13m 09 30 200 后到达点C,最后向东走了200m后到达点D,发现点D在点B的正北方. -100 -500-40-300-200-100100200 (1)作出AB,BC,CD,DA; (2)求DA的模. 6/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 【巩固练习】 1.下列说法中，正确的是() ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的： ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线. A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 2.下列说法正确的是() A.向量的模是一个正实数 B.零向量没有方向 C.单位向量的模等于1个单位长度 D.零向量就是实数0 3.下列说法错误的是()· A.向量CD与向量DC长度相等 B.起点相同的单位向量，终点必相同 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 4.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为 向量的起点和终点，与向量AC同向且长度为2√2的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） D 5.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A,B,点C 为小正方形的顶点，且AC=√5 B (1)画出所有满足条件的向量AC: (2)求BC的最大值与最小值. 7/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 目目 考点03 相等向量与共线向量 【经典例题】 1.下列说法正确的是() A.若ab方向相反，则a与b为相反向量 B.模相等的两个平行向量相等 C.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D.共线向量是在同一条直线上的向量 D 2.如图，在四边形ABCD中，若AB=DC,则图中相等的向量是() B A.AC与CBB.OB与ODC.AC与BDD.AO与OC 3.（多选)在下列结论中，正确的有() A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B.平行向量又称为共线向量 C.两个相等向量的模相等 D.两个相反向量的模相等 4.（多选)下列选项中，正确的是() A.若AB=DC,则A,B,C,D能构成平行四边形B.在平行四边形ABCD中，AB=DC C.若向量a,万满足同=同，则a=或ā=-乃D.若非零向量巫与AC相等，则B,C重合 8/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 5.(多选)下列说法正确的是() A.向量AB与向量B是模长相等 B.向量AB与向量BA是相等向量 C.与实数类似，对于两个向量a,b有a=b,a>b,a<b三种关系 D.向量的模是一个非负实数 6.(多选)己知A={与a方向相同的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反 的向量}，其中ā为非零向量，下列关系中正确的是() A.CCA B.AnB= C.CCB D.(4nB)2{网 【变式训练】 1.下列说法正确的是() A.向量AB与向量BA是相等向量 B.若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C.与实数类似，对于两个向量a,b有a=b,a>b,a<b三种关系 D.向量的模是一个非负实数 2.设点O是正方形ABCD的中心，则向量OA,OB,OC,DO的关系是() A.方向相同B.模相等 C.向量相等 D.起点相同 3.下列命题正确的是() A.AB=BAB.若=，则ā=方C.零向量没有方向 D.=0 9/14 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 4.下列说法正确的是() A.若a=b,则a∥b B.abl,则a>b C.若ab,且b∥c,则a∥c D.若a≠b,则a与b不共线 5.设ā，是共线的单位向量，则a+的值() A.等于2 B.等于0 C.大于2 D.等于0或等于2 6.给出下列命题： ①若1a曰b1,则a=b: ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若a=b,b=c,则a=c: ④若四边形ABCD是平行四边形，则AB=CD,BC=DA 其中正确命题的序号是 7.(多选)下列说法正确的为() A.单位向量都相等 B.零向量的长度为0 C.零向量的方向是任意的 D.单位向量的模都相等 8.(多选)关于非零向量a,b,下列命题中正确的是() A.若同=，则a=石 B.若a=-b,则a/1乃 c.若同>，则a>方 D.若a=b,i=c,则a=c 10/14专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 专题6.1平面向量的概念 一、知识填空 1.向量的概念 (1)向量：既有 又有」 的量叫做向量 (2)数量：只有 没有 的量称为数量 2.向量的表示： (1)有向线段：具有」 的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：一、方向、长度. (2)向量的表示方法： 字母表示：如a,b,c,等 几何表示：以A为始点，B为终点作 如果用一条 表示向量，通常我们就说向量AB 3.向量的有关概念 (1)向量的模：向量的 叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度） (2)零向量：长度为 的向量叫零向量.记作一，它的方向是 (3)单位向量：长度等于 的向量 (4)共线向量（平行向量）：方向 的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量） 规定：0与任一向量 自检自纠： 1.(1)大小 方向(2)大小方向2.(1)方向起点 (2)有向线段AB 有向线段AB 3.(1)大小 (2)0(3)1个单位 (4)相同或相反共线 二、考点专练 目目 考点01 平面向量的概念与表示 【经典例题】 1.下列量中是向量的为() A.课桌的高度 B.一段路程的公里数 C,上课时老师敲击黑板的频率 D.小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量.故选：D 1/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 B(终点) 2.对下面图形的表示恰当的是(). A(起点) A.AB B.AB C.AB D.4 【答案】C 【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量故选：C 3.关于平面向量，下列说法正确的是() A.向量可以比较大小 B.向量的模可以比较大小 C.速度是向量，位移是数量 D.零向量是没有方向的 【答案】B 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确： 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误：零向量方向任意，D错误故选：B 4.己知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤位移.其中是数量的有 ,是向量的有 【答案】②，④； ①，③，⑤ 【详解】根据向量的概念得：在①力；②功；③速度：④质量；⑤位移中，是数量的有②功；④质量； 是向量的是①力：③速度：⑤位移.故答案为：②，④：①，③，⑤. 【变式训练】 1.下列物理量：①质量：②速度；③力；④加速度；⑤位移：⑥密度；⑦功.其中是向量的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量：速度、力、加速度、位移是向量：所以向量共有4个 故选：A 2.下列关于向量的说法正确的是() A.物理学中的摩擦力、重力都是向量B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量D.身高是一个向量 【答案】A 【详解】对于A,摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确： 对于B,x轴，y轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误： 对于C,温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误： 对于D,身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误： 2/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 故选A. 3.下列说法正确的个数是() (1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量；(2)零向量没有方向： (3)向量的模一定是正数；(4)非零向量的单位向量是唯一的 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【详解】对于(1)，温度与功没有方向，不是向量，故(1)错误： 对于(2)，零向量的方向是任意的，故(2)错误： 对于(3)，零向量的模为0，不是正数，故(3)错误： 对于(4)，非零向量的单位向量的方向有两个，故(4)错误： 故选：A 4.如图所示，B,C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出 个向 量.ABCD ● 【答案】12 【详解】由向量的几何表示知，可以写出12个向量，它们分别是AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA, CA,DA,CB,DB,DC.故答案为：12 5.(多选)下列说法正确的是() A.加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 【答案】AC 【详解】A.由向量的定义知，加速度是向量，故正确： B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误： C.由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确： D.向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误。 故选：AC 6.(多选)下列说法正确的是() A.向量CD向量DC长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.零向量都相等 D.向量可以比较大小 【答案】ABC 【详解】选项A:向量CD与向量DC为相反向量，方向相反，长度相等，A正确：选项B:因为同方向 3/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确；选项C:零向量都相等， C正确；选项D:向量不可以比较大小，D错误.故选：ABC 【巩固练习】 1.下列量中是向量的为() A.功 B.距离 C.拉力 D.质量 【答案】C 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向，不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量故选：C 2.下列量中是向量的为() A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离 【答案】B 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向 量故选：B 3.对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是() A.①②④是数量，③⑤⑥是向量 B.①④⑤是数量，②③⑥是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量：速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D 4.下列说法中正确的是() A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D,方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【详解】对于A:根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误： 对于B:单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误： 对于C:向量的模与方向没有关系，故C正确： 对于D:向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误 故选：C 5.如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向 量. B 4/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 【答案】6 【详解】根据题意，可得所有共线非零向量有：AB,AC,BA,BC,CA,CB,共有6个故答案为：6. 6.(多选)下列说法错误的是() A.零向量没有方向 B.零向量与零向量共线 C.若a=b,b=c,则a=c D.温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 【答案】AD 【详解】对于A,根据零向量的性质可知，零向量可以是任意方向的，故A错误； 对于B,根据零向量的性质可知，零向量与任意向量共线，故B正确： 对于C,根据向量的性质可知，若a=b,b=c,则a=c,故C正确： 对于D,温度只有正负，没有方向，则温度为数量，故D错误： 故选：AD 目目 考点02 向量的几何表示与向量的模 【经典例题】 1.如果一架飞机向西飞行150kn,再向南飞行350km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则()， A.5>月 B.s=月 c.s<园 D.s与园不能比较大小 【答案】A 【详解】由题意，作图如下，则该飞机由A先飞到B,再飞到C,则AB=150L,BC=350kn,a=AC, 则飞机飞行的路程为s=500km, d=V1502+3502=50W58km,所以s>d故选：A 2.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1,则AB+F亚+CD=()F A.1 B.2 C.3 D.25 【答案】B 【详解】由题，可知F匠=BC,所以AB+丽+CD=AB+BC+C可A西=2，故选：B 3.下列说法中正确的是() A.若AB=DC,则A,B,C,D四点构成一个平行四边形 5/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 B.零向量与单位向量的模相等 C.若a和6都是单位向量，则a=b或a=-b D.零向量与任何向量都共线 【答案】D 【详解】对于选项A,A,B,C,D四点可能共线，故A不正确： 对于选项B,零向量的模为0，单位向量的模为1，不相等，故B不正确： 对于选项C,因为a和都是单位向量，所以=b,但它们的方向是任意的，故C不正确： 对于选项D,零向量与任何向量都共线，故D正确，故选D. 4.(多选)下列叙述中错误的是() A.若a=6,则3a>2b B.若a∥b,则ā与b的方向相同或相反 C.若a∥i,b∥c,则a∥c D.对任一向量a, 口是一个单位向量 【答案】ABCD 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误：由于零向量与任意向量共线， 且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C,若为零向量，则ā与c可能不是共线向量，故C错误： 对于D,当a=0时， a无意义，放D错误.故选：ABCD 5.在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量， ()OA=2,点A在点0的正东方向： (2)0丽=2√5，点B在点0的北偏东45°方向： 3)求出AB的值。 个北 【详解】(1)所求OA向量如图所示： 东 6/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 个北 (2)所求OB向量如图所示： 东 (3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以AB=2. 【变式训练】 1.下列说法正确的是() A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.零向量的长度为0 D.任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断。 故选：C. 2.已知向量a如下图所示，下列说法不正确的是()Ma→N A.向量a可以用MN表示 B.向量a的方向由M指向N C.向量a的起点是M D.向量a的终点是M 【答案】D 【详解】由图可知，向量ā可以用M表示，故A正确：向量a的方向由M指向N,故B正确： 向量a的起点是M,故C正确；向量a的终点是N,故D不正确.故选：D 3.设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO,OB,OC是() A.共起点的向量B.模相等的向量C.共线向量 D.相等向量 【答案】B 【详解】因为点O是正三角形ABC的中心，所以AO,OB,OC是模相等的向量；向量只有大小与方向 两个要素，没有起点之说：这三个向量方向不同，不是共线向量：这三个向量方向不同，不是相等向量 故选：B 4.下列命题中正确的是 A.若|d=1,则a=b B.若a≠五，则a≠ C.若d=b1,则a与b可能共线 D.若a≠，则a一定不与万共线 【答案】C 【详解】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，因此A错误： 7/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误：无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线， 故C正确，D错误故选：C 5.在如图所示的半圆中，AB为直径，点0为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，AB=2,则AC 等于() A.1 B.√2 C.√5 D.2 【答案】A 【详解】如图，连接AC,由0C=O,得∠ABC=∠OCB=-30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB=90°， 所以AC=网=1.故选：A 6.(多选)如图所示，四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是() H A.A-E币B.AB与F阻共线C.BD与EF共线D.CD=FG 【答案】ABD 【详解】由四边形ABCD,CBG,CGHD是全等的菱形，知：网=E,即A正确： 由图形可知：AB与F五的方向相反，CD与FG方向相同且长度相同即CD=FG, 故B、D正确；而BD与F不一定共线，故C不一定正确.故选：ABD 北 →东 7.在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量. (1)川OA=3,点A在点O的正西方向： (2)川OB=3√2，点B在点0的北偏西45°方向； (3)根据(1)(2)，作出向量AB并求出AB1的值. 8/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 【详解】(1)因为OA=3,点A在点O的正西方向，故向量OA如图所示. (2)因为OB=3V2,点B在点0的北偏西45°方向，故向量O死如图所示. 东 (3)向量AB如图所示，AB=3 8.如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B,然后沿北偏西一定角度的某方向行走了100√13m 300 200 后到达点C,最后向东走了200后到达点D,发现点D在点B的正北方， 100 -500-400-300-200-100100200x (I)作出AB,BC,CD,DA: (2)求DA的模。 【详解】(1)根据题意可知，点B在坐标系中的坐标为(-200,0). 因为点D在点B的正北方，点C在点D的正西方，所以BD⊥AB,CD⊥BD. 又C8=10013,cD=200,所以D8=300, 即D,C两点在坐标系中的坐标分别为(-200,300)，（-400,300). 400 》东 300 200 作出AB,BC,CD,DA如图所示. 100 B A 500400-300-200-100100200元 (2)由两点间距离公式得DA=√(0+200)+(0-300)2=100W13,则DA=100V13. 【巩固练习】 1.下列说法中，正确的是() ①长度为0的向量都是零向量：②零向量的方向都是相同的： ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线。 A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 9/22 专题6.1平面向量的概念 高中数学导学案 【答案】D 【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为 1的向量，方向不一定相同，故错误：④任意向量与零向量都共线，正确：故选：D 2.下列说法正确的是() A.向量的模是一个正实数 B.零向量没有方向 C.单位向量的模等于1个单位长度 D.零向量就是实数0 【答案】C 【详解】对于A,零向量的模等于零，故A错误； 对于B,零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C,根据单位向量的定义可C知正确： 对于D,零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误 故选：C 3.下列说法错误的是(). A.向量CD与向量DC长度相等 B.起点相同的单位向量，终点必相同 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【详解】CD和DC长度相等，方向相反，故A正确：单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一 定相同，故B错误；向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确：向量只与长度和方向有 关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确.故选：B 4.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为 向量的起点和终点，与向量AC同向且长度为2√2的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个. 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量AC同向且长度为2√2的向量有AF,EC,G班，MN,共4个. 5.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A,B,点C 10/22专题6.1 平面向量的概念 高中数学导学案 专题6.1 平面向量的概念 一、知识填空 1.向量的概念 （1）向量：既有 又有 的量叫做向量. （2）数量：只有 ，没有 的量称为数量． 2.向量的表示: （1）有向线段：具有 的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素： 、方向、长度． （2）向量的表示方法： 字母表示：如等. 几何表示：以A为始点，B为终点作 ． 如果用一条 表示向量，通常我们就说向量. 3.向量的有关概念 （1）向量的模：向量的 叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). （2）零向量：长度为 的向量叫零向量.记作 ，它的方向是 ． （3）单位向量：长度等于 的向量. （4）共线向量(平行向量):方向 的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定：与任一向量 . 自检自纠： 1.（1）大小 方向（2）大小 方向 2.（1）方向 起点 （2）有向线段 有向线段 3.（1）大小 （2）0 （3）1个单位 （4）相同或相反 共线 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量的概念与表示 【经典例题】 1．下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量.故选：D． 2．对下面图形的表示恰当的是（    ）．   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.故选：C. 3．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；零向量方向任意，D错误.故选：B 4．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤位移.其中是数量的有_________，是向量的有_________. 【答案】 ②，④； ①，③，⑤. 【详解】根据向量的概念得：在①力；②功；③速度；④质量；⑤位移中，是数量的有②功；④质量； 是向量的是①力；③速度；⑤位移.故答案为：②，④；①，③，⑤. 【变式训练】 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量；速度、力、加速度、位移是向量；所以向量共有个. 故选：A 2．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 3．下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误； 对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误； 对于（3），零向量的模为0，不是正数，故（3）错误； 对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误； 故选：A． 4．如图所示，，是线段的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量． 【答案】12 【详解】由向量的几何表示知，可以写出个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，．故答案为：. 5．（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】AC 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC． 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【答案】ABC 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 【巩固练习】 1．下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量.故选：C. 2．下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B 3．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量；速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 4．下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 5．如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出______个共线非零向量．   【答案】6 【详解】根据题意，可得所有共线非零向量有：，共有个.故答案为：. 6．（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量与零向量共线 C．若，，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 【答案】AD 【详解】对于A，根据零向量的性质可知，零向量可以是任意方向的，故A错误； 对于B，根据零向量的性质可知，零向量与任意向量共线，故B正确； 对于C，根据向量的性质可知，若，则，故C正确； 对于D，温度只有正负，没有方向，则温度为数量，故D错误； 故选：AD. 【经典例题】地 城 考点02 向量的几何表示与向量的模 1．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【详解】由题意，作图如下，则该飞机由先飞到，再飞到，则，，，则飞机飞行的路程为，，所以.故选：A. 2．如图所示，在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】由题,可知,所以,故选:B 3．下列说法中正确的是（    ） A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形 B．零向量与单位向量的模相等 C．若 和 都是单位向量，则或 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【详解】对于选项A，A，B，C，D四点可能共线，故A不正确； 对于选项B，零向量的模为0，单位向量的模为1，不相等，故B不正确； 对于选项C，因为和都是单位向量，所以，但它们的方向是任意的，故C不正确； 对于选项D，零向量与任何向量都共线，故D正确，故选:D. 4．（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量 【答案】ABCD 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，当时，无意义，故D错误．故选：ABCD 5．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 【变式训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 2．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 【答案】D 【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确； 向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.故选：D 3．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【详解】因为点是正三角形的中心，所以，，是模相等的向量；向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；这三个向量方向不同，不是共线向量；这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B 4．下列命题中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线 【答案】C 【详解】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误； 两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选：C 5．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】如图，连接AC，由，得.因为为半圆上的点，所以， 所以．故选：A. 6．（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A．＝ B．与共线 C．与共线 D．＝ 【答案】ABD 【详解】由四边形，，是全等的菱形，知：，即A正确； 由图形可知：与的方向相反，与方向相同且长度相同即＝， 故B、D正确；而与不一定共线，故C不一定正确.故选：ABD. 7．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 8．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【详解】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方，所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得，则． 【巩固练习】 1．下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D 2．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 3．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确；单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误；向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确．故选：B 4．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 5．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 【经典例题】地 城 考点03 相等向量与共线向量 1．下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误；选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误；选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具，所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确；选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误.故选：C 2．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分. 对于A：与不平行，不可能相等，故A错误； 对于B：与大小相同，方向相反，故B错误； 对于C：与不平行，不可能相等，故C错误； 对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量． 故选：D 3．（多选）在下列结论中，正确的有（    ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．平行向量又称为共线向量 C．两个相等向量的模相等 D．两个相反向量的模相等 【答案】BCD 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；     B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确； C. 相等向量方向相同，模相等，正确；     D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选： 4．（多选）下列选项中，正确的是（） A．若，则能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则，重合 【答案】BD 【详解】若，四点可能共线，故选项A错误；在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B正确；由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误；若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确.故选：BD 5．（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量是模长相等 B．向量与向量是相等向量 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】AD 【详解】对于AB，向量与向量是相反向量，模长相等，不是相等向量，故A正确，B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，故C错误； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，故D正确.故选：AD. 6．（多选）已知{与方向相同的向量}，{与长度相等的向量}，{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意，所以A选项错误，又，故，C选项正确；因为，故B选项正确，D选项正确；故选：BCD. 【变式训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 2．设点是正方形的中心，则向量的关系是（    ） A．方向相同 B．模相等 C．向量相等 D．起点相同 【答案】B 【详解】如图，因为是正方形的中心，则，而方向不相同，不共线，起点不相同.故选：B 3．下列命题正确的是（ ） A． B．若，则 C．零向量没有方向 D． 【答案】D 详解】对于A：，故A错误；对于B：取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误；对于C：零向量有方向，其方向任意，故C错误；对于D：模为0，故D正确.故选：D． 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 【答案】A 【详解】由向量相等的定义知选项A正确；向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误；当时，与不一定平行，选项C不正确；可以是但与的模不相等，选项D不正确.故选：A. 5．设，是共线的单位向量，则的值（   ） A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 【答案】D 【详解】与是共线的单位向量，∴，当两个向量同向时，，则； 当两个向量反向时，，则．故选：D． 6．给出下列命题： ①若，则； ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若，，则； ④若四边形是平行四边形，则，． 其中正确命题的序号是_____________． 【答案】②③ 【详解】①错误.向量由模长和方向共同确定，只有模长相等，不能得出向量相等；②正确.相等向量是指长度和方向都相同的向量，若起点相同，则终点必然相同；③正确.由相等向量的定义可知； ④错误. 若四边形是平行四边形，则，．故答案为：②③ 7．(多选)下列说法正确的为（    ） A．单位向量都相等 B．零向量的长度为0 C．零向量的方向是任意的 D．单位向量的模都相等 【答案】BCD 【详解】单位向量方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；零向量的长度为0，故B正确； 零向量的方向是任意的，故C正确；单位向量的模都等于1，故D正确.故选：BCD. 8．(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确，故选：BD 【巩固练习】 1．下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 2．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 【答案】D 【详解】向量与互为相反向量，所以向量与的模相等，故A选项正确；如果两个相等向量的起点相同，则它们终点必相同，故B选项正确；根据向量模的定义，只有零向量的模等于0，故C选项正确；零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D选项不正确；故选：D. 3．下列各选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：模相等，但方向有可能不相同，不能保证向量相等，故A错误；对于B：向量不能比较大小，故B错误；对于C： 因为向量的模为零时，该向量必为零向量，即，故C正确； 对于D：向量不能等于数字0，故D错误.故选：C 4．给出下列命题：①若，则或；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是___________． 【答案】③ 【详解】①错误．由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．的模为零． ③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上． 故答案为：③ 5．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等 D．单位向量都相等 【答案】ABC 【详解】对于A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，故A正确．对于B， ，，都是非零向量，，与的方向相同或相反，即或．故B正确．对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．故C正确．对于D，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同．故D错误．故选：ABC． 6．(多选)已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（   ） A．与的模相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】AD 【详解】由，为两个单位向量，，故A正确；如果与平行，则当与同向时，； 则当与反向时，；即如果与平行，那么或，故B错误，D正确；，为两个单位向量，仅模长相等，但不一定共线，故C错误．故选：AD． 7．(多选)下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误；对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确；对于C：零向量与任一向量平行，故C正确；对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误.故选：AD. 8．（多选）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC． 三、达标检测 《平面向量的概念》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列结论正确的是 A．单位向量的方向相同或相反 B．对任意向量,总是成立的 C． D．若,则一定有直线 【答案】C 【详解】单位向量的长度为1,方向任意,故A错;零向量的模为零,故B错;与方向相反,但模相等,故C正确;直线与可能重合,故D错,故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的概念分析,属于基础题型. 2．下列物理量：①力；②路程；③密度；④功.其中不是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的定义即可选出答案. 【详解】向量是既有大小又有方向的量，由于力既有大小又由方向，所以是力向量；而路程、密度、功只有大小而无方向，因此不是向量．故选：C． 3．在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可知，与不共线，A错；因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对；因为与不平行，所以与不相等，C错；因为，D错． 故选：B. 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则、的长度相等且方向相同或相反 B．若向量，满足，且同向，则＞ C．若，则与可能是共线向量 D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线 【答案】C 【详解】对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误； 对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；对于D项，与平行，可能AB∥CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．故选：C. 5．以下选项中，一定是单位向量的有 ①；②；③；④. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】，， ，. 因此，和都是单位向量，故选：B. 6．下列命题中正确的是（    ） A．若，则在上的投影为 B．若，则 C．若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件 D．若，则与的夹角为锐角；若，则与的夹角为钝角 【答案】C 【详解】因为，所以的夹角为0或者，则在上的投影为，故A不正确；设，则有，但，故B不正确； 且，又是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且，所以，故C正确；时，的夹角可能为0，故D不正确.故选：C 7．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；选项B：，不一定有，故B错误；选项C：直线与可能共线，故C错误；选项D：若向量，共线，则与可能平行，此时A，B，C，D四点不共线，故D正确．故选：D. 8．给出下列命题：①在中，；②若A,B,C,D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若且，则；④若，且.其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】①根据向量求和的多边形法则可知，，该命题正确；②因为A,B,C,D是不共线的四点，由可知，，所以四边形为平行四边形，若四边形为平行四边形，，由向量相等的定义可知，，故该命题正确；③若且，则，不一定有，该命题错误；④若，向量与的模相等，但不一定共线，故该命题错误；综上，正确的命题有2个．故选：C． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．(多选)下列说法中，正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向不确定 D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同 【答案】ACD 【详解】向量的起点、终点分别为向量的终点、起点，它们的长度相等，A正确；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B不正确；零向量的方向是任意的，“零向量的方向不确定”是正确的，C正确；由相等向量的定义知D正确.故选：ACD 10．下列能使成立的是（    ） A． B． C．与方向相反 D．或 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B，若，则与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若与方向相反，则有；对于D，零向量与任意向量平行，所以若或，则.故选： 11．下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 【答案】BCD 【详解】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确；对于B，若，则与不一定共线，故B错误；对于C，若，则不一定共线；故C错误；对于D ，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误；故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．有下列说法：①向量和向量长度相等；②向量＝0；③向量大于向量； ④单位向量都相等.其中，正确的说法是________(填序号). 【答案】① 【详解】对于①，根据相反向量的概念，，故①正确； 对于②，是一个向量，而0是一个数量，故②错误； 对于③，向量不能比较大小，故③错误； 对于④，单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④正确. 故答案为：① 13．如图所示，在中，分别为的中点．图中与相等的向量为_____________． 【答案】 【详解】由几何性质，平行且相等，平行且相等，所以．故答案为． 14．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则或； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则ABCD为平行四边形；④的充要条件是且；⑤已知，为实数，若，则与共线．其中真命题的序号是________． 【答案】③ 【详解】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，，但方向不确定，所以的方向不一定相等或相反．③是正确的，因为，所以且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件．⑤是错误的，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线．故答案为：③ 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.1 平面向量的概念 高中数学导学案 专题6.1 平面向量的概念 一、知识填空 1.向量的概念 （1）向量：既有 又有 的量叫做向量. （2）数量：只有 ，没有 的量称为数量． 2.向量的表示: （1）有向线段：具有 的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素： 、方向、长度． （2）向量的表示方法： 字母表示：如等. 几何表示：以A为始点，B为终点作 ． 如果用一条 表示向量，通常我们就说向量. 3.向量的有关概念 （1）向量的模：向量的 叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). （2）零向量：长度为 的向量叫零向量.记作 ，它的方向是 ． （3）单位向量：长度等于 的向量. （4）共线向量(平行向量):方向 的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定：与任一向量 . 自检自纠： 1．(1)和 (2) 2．(1) (2) 和 3.方向相同 4.(1) (2)．5.(1)起点 终点 (2)三角形 平行四边形 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量的概念与表示 【经典例题】 1．下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 2．对下面图形的表示恰当的是（    ）．   A． B． C． D． 3．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 4．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤位移.其中是数量的有_________，是向量的有_________. 【变式训练】 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 3．下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图所示，，是线段的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量． 5．（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【巩固练习】 1．下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 2．下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 3．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 4．下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 5．如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出______个共线非零向量．   6．（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量与零向量共线 C．若，，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 【经典例题】地 城 考点02 向量的几何表示与向量的模 1．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 2．如图所示，在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形 B．零向量与单位向量的模相等 C．若 和 都是单位向量，则或 D．零向量与任何向量都共线 4．（多选）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量 5．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【变式训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 2．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 3．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 4．下列命题中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线 5．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 6．（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A．＝ B．与共线 C．与共线 D．＝ 7．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 8．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【巩固练习】 1．下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 2．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 3．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 4．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 5．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【经典例题】地 城 考点03 相等向量与共线向量 1．下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（多选）在下列结论中，正确的有（    ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．平行向量又称为共线向量 C．两个相等向量的模相等 D．两个相反向量的模相等 4．（多选）下列选项中，正确的是（） A．若，则能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则，重合 5．（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量是模长相等 B．向量与向量是相等向量 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 6．（多选）已知{与方向相同的向量}，{与长度相等的向量}，{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 2．设点是正方形的中心，则向量的关系是（    ） A．方向相同 B．模相等 C．向量相等 D．起点相同 3．下列命题正确的是（ ） A． B．若，则 C．零向量没有方向 D． 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 5．设，是共线的单位向量，则的值（   ） A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 6．给出下列命题： ①若，则； ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若，，则； ④若四边形是平行四边形，则，． 其中正确命题的序号是_____________． 7．(多选)下列说法正确的为（    ） A．单位向量都相等 B．零向量的长度为0 C．零向量的方向是任意的 D．单位向量的模都相等 8．(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【巩固练习】 1．下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 2．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 3．下列各选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．给出下列命题：①若，则或；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是___________． 5．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等 D．单位向量都相等 6．(多选)已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（   ） A．与的模相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 7．(多选)下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 8．（多选）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 三、达标检测 《平面向量的概念》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列结论正确的是 A．单位向量的方向相同或相反 B．对任意向量,总是成立的 C． D．若,则一定有直线 2．下列物理量：①力；②路程；③密度；④功.其中不是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则、的长度相等且方向相同或相反 B．若向量，满足，且同向，则＞ C．若，则与可能是共线向量 D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线 5．以下选项中，一定是单位向量的有 ①；②；③；④. A．个 B．个 C．个 D．个 6．下列命题中正确的是（    ） A．若，则在上的投影为 B．若，则 C．若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件 D．若，则与的夹角为锐角；若，则与的夹角为钝角 7．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 8．给出下列命题：①在中，；②若A,B,C,D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若且，则；④若，且.其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．(多选)下列说法中，正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向不确定 D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同 10．下列能使成立的是（    ） A． B． C．与方向相反 D．或 11．下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．有下列说法：①向量和向量长度相等；②向量＝0；③向量大于向量； ④单位向量都相等.其中，正确的说法是________(填序号). 13．如图所示，在中，分别为的中点．图中与相等的向量为_____________． 14．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则或； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则ABCD为平行四边形；④的充要条件是且；⑤已知，为实数，若，则与共线．其中真命题的序号是________． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $