专题6.4 平面向量的数乘运算导学案-2025-2026学年高一数学同步知识填空与考点专练（人教A版必修第二册）

该高中数学导学案以“平面向量的数乘运算”为核心，围绕定义、运算律、线性运算及共线定理构建学习目标，通过知识填空夯实基础，分考点（基本运算、混合运算、几何应用、四心综合）递进设计例题与训练，形成连贯的知识建构路径。 亮点在于“几何应用与综合探究”任务设计，如通过平行四边形中点、三角形重心等实例，引导学生用数学眼光观察图形，用数学思维推理向量关系，培养几何直观与推理能力。达标检测限时训练巩固知识，为教师单元复习提供清晰教学支架，促进学生深度学习。

专题6.4 平面向量的数乘运算 高中数学导学案 专题6.4 平面向量的数乘运算 一、知识填空 1.向量的数乘运算： 实数与向量的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 . 2.常用结论： (1)＝ ； (2)当时,的方向与的方向 ； 当时，的方向与的方向 ； 当时， . 3．向量数乘的运算律 设为实数，那么：(1) ；(2) ；(3) ． 特别地，，. 4．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 运算． 对于任意向量，以及任意实数，恒有 ． 5.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 ． 6.判断向量共线或三点共线的方法: (1)根据向量共线定理寻求唯一实数，使得 . (2)要判断三点共线，只需看是否存在实数，使得 (或等)即可．　 自检自纠：1.向量 2. (1) (2)相同 相反 3．(1) (2) ； (3) ．4．线性 5. 6.(1) (2) 二、考点专练 地 城 考点01 向量的数乘基本运算 【经典例题】 1．设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______． 2．已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反；②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同；④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 4．已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 5．若，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 7．（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 【变式训练】 1．若，与反向，，则_____________． 2．下列说法不正确的是（   ） A．零向量加一个零向量还是零向量 B．零向量减一个零向量还是零向量 C．零向量乘一个零向量还是零向量 D．零向量乘零还是零向量 3．下列命题正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．与向量共线的单位向量为 C．若，则存在唯一的实数，使 D． 4．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）下列说法正确的是（   ） A．相等向量的起点必定相同 B．平行向量就是共线向量 C． D．非零向量与（是非零实数）的方向相反 8．（多选）下列说法中不正确的是（    ） A．与的方向不是相同就是相反（为实数） B．若共线，则（为实数） C．若，则． D．若，则． 9．（多选）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（   ） A．且 B．存在相异实数，使 C．当时， D．已知梯形，其中 【巩固练习】 1．“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，是向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．存在一个实数，使 D．存在不全为零的实数，，使 4．（多选）下列命题是真命题的为（   ） A．对于实数与向量，与的和是向量 B．对于非零向量，向量与向量方向相反 C．对于非零向量，向量的模是向量的模的2倍 D．若与共线，则存在实数，使得． 5．（多选）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 6．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若则 【经典例题】地 城 考点02 平面向量的混合运算 1．化简：（    ） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知，为两个不共线的向量，，，则_________（用，表示） 4．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 5．已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 6．设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 1．计算：（　　） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（多选）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（   ） A． B． C．1 D． 6．若，其中，，为已知向量，则未知向量___________． 【巩固练习】 1．等于（   ） A． B． C． D． 2．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的个数是（    ） ①；②；③. A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列命题正确的有（    ） A． B． C．若，则共线 D．，则共线 【经典例题】地 城 考点03 平面向量线性运算的几何应用 1．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则________. 2．已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 3．在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（   ） A．先向正东走4米，再向正北走3米 B．先向正东走6米，再向正南走2米 C．先向正西走2米，再向正北走3米 D．先向正西走4米，再向正南走6米 7．已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【变式训练】 1．在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 3．已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（   ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 4．在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 5．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．   A． B． C． D． 2．已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）   A． B． C． D． 4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 【经典例题】地 城 考点04 向量线性运算与三角形“四心”的综合 1．若，，与不共线，则平分线上的向量______． 2．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 3．A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 6．（多选）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7． “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【变式训练】 1．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 3．在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 5．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 6．下列命题正确的是（ ） A．若四点在同一条直线上，且，则 B．在中，若点满足，则点是的外心 C．若，把右平移个单位，得到的向量的坐标为 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 7．（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【巩固练习】 1．点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 2．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 3．点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4．如图，已知，，是中线，G为重心，则__________；_________.（用向量、表示）   5．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 6．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 8．在中，I为的内心，若，则__________. 9．（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 10．（多选）下列说法中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，，分别表示，的面积，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 三、达标检测 《平面向量的加法运算》小题检测 （限时40分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在平行四边形中， ，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，设，则（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形ABCD中，点T为CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 7．中，点M满足，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知，A,B,C所对的边分别为a，b，c，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（　 ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）   A． B． C． D． 11．对于非零向量，下列说法正确的是（    ） A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同 B．的长度是的长度的，且与方向相反 C．若，则等于零 D．若，则是与同向的单位向量 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若，设，则的值为___________. 13．在中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AD、BE、CF交于点G，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的序号是______． 14．已知中，为其内任一点，满足，且，则为_______三角形. 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.4 平面向量的数乘运算 高中数学导学案 专题6.4 平面向量的数乘运算 一、知识填空 1.向量的数乘运算： 实数与向量的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 . 2.常用结论： (1)＝ ； (2)当时,的方向与的方向 ； 当时，的方向与的方向 ； 当时， . 3．向量数乘的运算律 设为实数，那么：(1) ；(2) ；(3) ． 特别地，，. 4．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 运算． 对于任意向量，以及任意实数，恒有 ． 5.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 ． 6.判断向量共线或三点共线的方法: (1)根据向量共线定理寻求唯一实数，使得 . (2)要判断三点共线，只需看是否存在实数，使得 (或等)即可．　 自检自纠：1.向量 2. (1) (2)相同 相反 3．(1) (2) ； (3) ．4．线性 5. 6.(1) (2) 二、考点专练 地 城 考点01 向量的数乘基本运算 【经典例题】 1．设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______． 【答案】 【详解】因为为实数，已知为单位向量，向量的模为，，则，解得. 故答案为：. 2．已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反；②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同；④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】由与向量的积的方向规定，易知①②正确， 对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向，当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③④也正确．故选：D 3．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 4．已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】A 【详解】因为，且与向量方向相同，所以为方向上的单位向量.故选：A 5．若，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，有；反之，取，，有，而不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 6．（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确；对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确；对于D，由可得，同为正或同为负，所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确；对于C，，故C错误．故选：ABD. 7．（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 【答案】AB 【详解】由数乘向量运算律，得A，B均正确；对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误；对于D，若，由，未必一定有，错误．故选：AB． 【变式训练】 1．若，与反向，，则_____________． 【答案】 【详解】由于， ，且与反向，故，故答案为： 2．下列说法不正确的是（   ） A．零向量加一个零向量还是零向量 B．零向量减一个零向量还是零向量 C．零向量乘一个零向量还是零向量 D．零向量乘零还是零向量 【答案】C 【详解】由向量的运算性质，零向量乘一个零向量是数量零，而两个零向量的加减、数乘（乘以0）均为零向量.故选：C 3．下列命题正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．与向量共线的单位向量为 C．若，则存在唯一的实数，使 D． 【答案】D 【详解】对于A，若，则与不一定共线，故A错误；对于B，与向量共线的单位向量为，故B错误；对于C，若，，则不存在唯一的实数，使，故C错误；对于D，，D正确.故选：D 4．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确.故选：B. 5．设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同，所以由推不出；反之，由数乘定义可知，若，则.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：B 6．已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】向量为非零向量，则“”成立即得向量同向共线；“存在非零实数m，n，使得”成立即得向量共线；向量同向共线可以得出共线，但是共线不一定是同向共线，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（多选）下列说法正确的是（   ） A．相等向量的起点必定相同 B．平行向量就是共线向量 C． D．非零向量与（是非零实数）的方向相反 【答案】BC 【详解】对于A，相等的向量是方向相同，长度相等的向量，起点不一定相同，故A错误，对于B,平行向量就是共线向量，B正确，对于C, ,故C正确，对于D, 当时，，此时非零向量与（是非零实数）的方向相同，故D错误，故选：BC 8．（多选）下列说法中不正确的是（    ） A．与的方向不是相同就是相反（为实数） B．若共线，则（为实数） C．若，则． D．若，则． 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，，此时其方向是任意，故A错误；对于B，当时，不存在，故B错误；对于C，由题意可作图如下：显然，但的夹角为，故C错误；对于D，根据向量数乘的相关概念，故D正确.故选：ABC. 9．（多选）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（   ） A．且 B．存在相异实数，使 C．当时， D．已知梯形，其中 【答案】AB 【详解】A．联立和消去向量可得出，且共线； B．都是非零向量，且都不为共线； C．当时，满足，此时对任意的向量都有得不出共线； D．与不一定平行，得不出共线． 故选：AB. 【巩固练习】 1．“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为或，，所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 2．设，是向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由数乘定义可知，若，则；若，表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同，所以由推不出，综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A 3．对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．存在一个实数，使 D．存在不全为零的实数，，使 【答案】D 【详解】由，可得与方向相同或者相反，或者与中至少一个为零向量，故A、B错误； 当，时满足，但是不存在实数，使，故C错误；当时，由，可得，令，则，即，当时，由，可得（存在），故D正确．故选：D． 4．（多选）下列命题是真命题的为（   ） A．对于实数与向量，与的和是向量 B．对于非零向量，向量与向量方向相反 C．对于非零向量，向量的模是向量的模的2倍 D．若与共线，则存在实数，使得． 【答案】BC 【详解】对于A, 为实数，故A错误，对于B, 向量与向量方向相反,B正确， 对于C, 为非零向量，则向量的模是向量的模的2倍，C正确，对于D,若为零向量，而为非零向量，则此时不存在实数，满足，D错误，故选：BC 5．（多选）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误；对于B，当时，，则与方向相同，故B正确；对于C，当且，即时，，故C错误；对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误.故选：ACD 6．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若则 【答案】BCD 【详解】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；对于C，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时，才成立，故C正确；对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D正确 .故选：BCD. 【经典例题】地 城 考点02 平面向量的混合运算 1．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】．故选：C． 2．下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①③④正确，②错，因.故选：C 3．已知，为两个不共线的向量，，，则__________（用，表示） 【答案】 【详解】由题意，，，所以. 故答案为： 4．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由，得，则共线，因此，整理得，而为非零向量，所以.故选：B 5．已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即，所以.故选：B 6．设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】、、分别为、、方向上的单位向量，则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，作，，，当时，如图所示：以OA、OB为邻边作平行四边形OAEB，则该四边形为菱形，且，所以，为等边三角形，且，又因为，，由图可知，，即， 综上所述，．故选：D． 【变式训练】 1．计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C 2．下列各式计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】，故①正确；，故②错误；，故③正确；，故④正确.故选：C 3．（多选）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确； 对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD 4．已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由数乘向量可得，故C正确； 对于D，由数乘向量运算律可得，故D正确. 故选：B. 5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则有，变形可得,由数乘的定义，有.故选：D. 6．若，其中，，为已知向量，则未知向量___________． 【答案】 【详解】，，， ．故答案为： 【巩固练习】 1．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D 2．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，故选：D 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由平面向量的线性运算可得.故选：C. 4．下列各式计算正确的个数是（    ） ①；②；③. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，故①正确；②,故②正确； ③，故③不正确；故选：B 5．下列命题正确的有（    ） A． B． C．若，则共线 D．，则共线 【答案】ABC 【详解】对于A，，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，因为，所以，所以共线，故正确； 对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误. 故选：ABC. 【经典例题】地 城 考点03 平面向量线性运算的几何应用 1．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则________. 【答案】 【详解】因为，且E是CD的中点，则，且，，所以.故答案为：. 2．已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 3．在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在所在的平面内，所以，，又因为关于的对称点是，所以是中点，，所以. 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则，即，则， 因D为BC中点，则，因，则，即，则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.故选：A 5．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，， 又，，， ， ，.故选：D. 6．为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（   ） A．先向正东走4米，再向正北走3米 B．先向正东走6米，再向正南走2米 C．先向正西走2米，再向正北走3米 D．先向正西走4米，再向正南走6米 【答案】B 【详解】因为向量表示“从点向正东走3米”，所以表示“从点向正东走6米”， ，因为向量表示“从点向正北走4米”，所以向量表示“从点向正南走2米”，故从点到这株花卉的位置可以先向正东走6米，再向正南走2米.故选：B 7．已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图，设，作平行四边形，对角线与底边相交于点，则，则共线，因为，故，则，又，故，则，，即，故选：B 【变式训练】 1．在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设交于，因为，，  所以，，则,故选：A 2．在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B. 3．已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（   ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】B 【详解】因为，且E为中点，所以， 则长度是的4倍.故选：B. 4．在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故，即为的中点，所以与相交于点，又，，所以，，故.故选：B 5．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为中点，则，代入可得，从而三点共线，，即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故.故选：B 6．（多选）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，，A错误；对于B，点为的重心，则，B错误；对于C，，C正确；对于D，，即，D正确.故选：CD． 【巩固练习】 1．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，   则.故选：C. 2．已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】.故选：A. 3．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）   A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，. 故选：D 4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又， 所以.故选：A. 5．（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题可得， ， ， .故选：AC 6．设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 【答案】 【详解】因为是中点，所以，所以． 故答案为：. 【经典例题】地 城 考点04 向量线性运算与三角形“四心”的综合 1．若，，与不共线，则平分线上的向量______． 【答案】 【详解】作向量，以线段为邻边作，则，而，因此为菱形，平分，又为平分线上的向量，则，.  故答案为： 2．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【详解】由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心.由，得，则，而点在内，则，即，因此平分角，同理分别平分，从而点是的内心，故选：D 3．A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B 4．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】在，上分别取点，，使得，，则．以，为邻边作平行四边形，如图，  则四边形是菱形，且．为的平分线．  ，， 即，．，，三点共线，即在的平分线上，同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心．故选：B． 5．为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【详解】如图，设为边的中点，，，共线，即点在底边的中线上．故选：D． 6．（多选）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知:所以，根据平行线分线段成比例可知：，又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确；对于B，由于是重心，所以，而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确；对于C，因为是外心，所以，故C正确；对于D，，故D错误；故选：ABC. 7． “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【详解】A选项，因为，所以，取的中点，则，所以，故三点共线，且，同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，则，，， 所以，即，B正确； C选项，若M为的垂心，，则，如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，又，，即，，即，，即，设，，，则，，，因为，，所以，即，同理可得，即，故，，则，故， ，则， 故，， 故， 同理可得，故，C正确； D选项，若，，M为的外心，则，设的外接圆半径为，故，，故，，，所以，D错误. 故选：ABC 【变式训练】 1．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为， ，所以点在的角平分线上.同理可得：点在的角平分线上.所以点为的内心.故选：B 2．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【详解】先设的中点为，则，  又因为，而，由三点共线的充要条件知三点共线，则点的轨迹一定经过的重心.故选：C． 3．在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，如图，设，，则可化为：，且，以，为邻边作平行四边形，则，且平行四边形为菱形，所以平分，所以，又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上，则点的轨迹必经过的内心，故选：A． 4．已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【详解】因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心；由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心； 由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心.故选：C. 5．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以，因为，即，即，则点三点共线，且，所以点是的重心，又，所以点是的外心，则，即，所以，同理，则， 所以是等边三角形.故选：C. 6．下列命题正确的是（ ） A．若四点在同一条直线上，且，则 B．在中，若点满足，则点是的外心 C．若，把右平移个单位，得到的向量的坐标为 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 【答案】D 【详解】对于A，如下图所示，，此时，但与反向，，A错误；对于B，设中点为，则，，即， 点是的重心，B错误；对于C，向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量，即将向右平移个单位，所得向量坐标依然为，C错误；对于D，，点在边长为的菱形的对角线上，又菱形对角线平分一组对角，即平分角，点的轨迹经过的内心，D正确.故选：D. 7．（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点，因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确；，则，B正确；，C正确.，D不正确； 故选：BC 8．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【详解】对A选项，因为，所以，取的中点，则，所以，故，，三点共线，且，同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，则，，， 所以，即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则，设的外接圆半径为，故，，，故，，，所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，，则，如图，，，，相交于点，又，，即，，即，，即，设，，，则，，，因为，，所以，即， ，则，D正确；故选：ABD. 【巩固练习】 1．点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【详解】分别表示同方向的单位向量，故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心.故答案为:内心. 2．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【详解】因为，，则 ，若设中的的中点为，有，则.所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心．故选：A． 3．点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【详解】设的中点为点，所以，则，若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心，若四点不共线时，，且，连结，交于点，如图，，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心.故选：A 4．如图，已知，，是中线，G为重心，则__________；_________.（用向量、表示）   【答案】 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以.故答案为：； 5．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【详解】记的中点为D，则，所以，点P在直线上.A选项；若点是的垂心，则，所以，所以为等腰三角形，A正确；B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误；C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上，所以，所以为等腰三角形，C正确；D选项：若点是的内心，则为的角平分线，所以，又，即,故，D正确.故选：B 6．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，因为点O为的重心，则为的三等分点，且， 所以，故选：A. 7．已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以，因为，即，即，则点三点共线，且，所以点是的重心，又，所以点是的外心，则，即，所以，同理，则， 所以是等边三角形.故选：C 8．在中，I为的内心，若，则__________. 【答案】 【详解】根据题意，画出图形为,因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以，根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 9．（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确；对于B，若，则是的外心，故B错误；对于C，若，则，即，所以是的重心，故C正确；对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，所以与的角平分线同向，又，则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确.故选：ACD 10．（多选）下列说法中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，，分别表示，的面积，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，若，则点为三角形的重心，即，故B正确； 对于C：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D：若，，则，此时不存在使得成立，故D错误； 故选：BC． 三、达标检测 《平面向量的加法运算》小题检测 （限时40分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在平行四边形中， ，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据向量的运算法则，可得.故选：C. 2．如图，中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意.故选：D 3．在中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，，整理可得，.故选：A 4．在平行四边形ABCD中，点T为CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，，，即A正确.故选：A 5．若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，故可得与和的位置关系如图所示： 且，由向量共线定理可得，，，，可得不正确的为A，故选:A. 6．已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∴，∴．故选：B.    7．中，点M满足，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又因为，所以，因此，故选：A. 8．已知，A,B,C所对的边分别为a，b，c，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【详解】在，上分别取点使得，则，作菱形，则由所以为的平分线.因为， 所以，所以，所以三点共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，故选D.   二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（　 ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对； 对于C选项，若，则、不一定相等，C错；对于D选项，若，则、不一定相等，D错. 故选：AB. 10．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）   A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题知，点是线段的三等分点，所以，，， 对于A：且方向相同，所以，A选项正确；对于B：，所以，B选项错误；对于C：，所以，C选项错误；对于D：且方向相同，所以，D选项正确；故选：AD. 11．对于非零向量，下列说法正确的是（    ） A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同 B．的长度是的长度的，且与方向相反 C．若，则等于零 D．若，则是与同向的单位向量 【答案】ABD 【详解】解：对于A： 的长度是的长度的2倍，且与方向相同，故A正确；对于B：的长度是的长度的，且与方向相反，故B正确；对于C：若，则等于零向量，不是零，故C错误；对于D：若，则是与同向的单位向量，故D正确.故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若，设，则的值为___________. 【答案】2 【详解】因，则，，而，于是有，，所以的值为2.故答案为：2. 13．在中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AD、BE、CF交于点G，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的序号是______． 【答案】②③④ 【详解】因为分别为CA、AB的中点，所以，且，所以，故①错误；，故②正确； ，故③正确；因为三边的中线交于点，故是的重心，所以，所以，故④正确；故答案为：②③④. 14．已知中，为其内任一点，满足，且，则为_____三角形. 【答案】等边 【详解】如图，设边的中点为，则，  ∴，即，故，，三点共线.∵为边的中点，∴在中线上.同理可证，为中线的交点.又∵在中，，，即，可得.同理可得，所以.故为等边三角形.故答案为：等边 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 专题6.4平面向量的数乘运算 一、知识填空 1.向量的数乘运算： 实数元与向量a的积是一个 ,这种运算叫做向量的数乘，记作 2.常用结论： (0ld== (2)当2>0时，a的方向与a的方向 当元<0时，a的方向与a的方向」 当2=0时，a=」 3.向量数乘的运算律 设2,4为实数，那么：(1) ud=②)（+）a=;3)(a+b)= 特别地，（-)a=-(ad=(a,(a-)=a- 4.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 运算， 对于任意向量a,五，以及任意实数元4，山，恒有24±山，b)= 5.向量共线定理 向量aa≠0)与万共线的充要条件是：存在唯一一个实数入，使b= 6.判断向量a,b共线或三点A,B,C共线的方法： (1)根据向量共线定理寻求唯一实数入，使得b= (2)要判断A,B,C三点共线，只需看是否存在实数入，使得 (或BC=AB等)即可. 自检自纠：1向量a2.1)a 2)相同相反03.(1)(24)a(2)a+ua; (3)2a+2b.4.线性 24a±4，b5.a6.(1)a(a≠0)（②）AB=AC 二、 考点专练 目目 考点01 向量的数乘基本运算 【经典例题】 1.设为实数，己知e为单位向量，向量a的模为2，a=e,1=_ 1/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 2.已知入，4∈R,则在下列各命题中，正确的命题有() ①<0，a≠0时，ā与a的方向一定相反；②2>0，a≠0时，a与a的方向一定相同： ③u>0,a≠0时，a与ud的方向一定相同；④u<0,a≠0时，a与ua的方向一定相反. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知非零向量a,五满足a=46,则() A.|aHb1B.4a=1C.a与b的方向相同D.a与i的方向相反 4.己知向量a是非零向量，则a方向上的单位向量为() A月B, c.同 D.a(∈R且1≠0) 5.若，6为非零向量，则a=a5是“后=6的（) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.(多选)已知2，u∈R,且a≠0，则在以下各命题中，正确的是() A.当<0时，a的方向与a的方向一定相反B.当1=0时，a的方向具有任意性 C.Aalal D.当>0时，a的方向与ua的方向一定相同 7.(多选)下列结论中正确的有() A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-b B.对于实数，n和向量a,恒有(m-n)a=ma-a C.对于实数m和向量a,b,若ma=b,则a=b D.对于实数l,n和向量a,若a=na,则m=n 2/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 【变式训练】 1.若|a=3,b与a反向，上2，则a= 2.下列说法不正确的是() A.零向量加一个零向量还是零向量 B.零向量减一个零向量还是零向量 C.零向量乘一个零向量还是零向量 D.零向量乘零还是零向量 3.下列命题正确的是() A.若a与共线，方与c共线，则a与c共线 B.与向量a共线的单位向量为 C.若a/仍，则存在唯一的实数1，使a=2b D.0a=0 4.下列关于向量的线性运算，不正确的是() A.AB+BC+CA=0 B.AB-AC=BC C.0.AB=0 D.A(HG)=(4) 5.设a,方为非零向量，则同=2外是“a=2乃的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知向量e,e,为非零向量，则|e+e2=e|+e,是“存在非零实数，n,使得me+ne,=0的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.（多选)下列说法正确的是() A.相等向量的起点必定相同 B.平行向量就是共线向量 C.A0-BO-AB=0 D.非零向量a与-ā（入是非零实数）的方向相反 8.(多选)下列说法中不正确的是() A.ā与ā的方向不是相同就是相反（元为实数） B.若a,b共线，则6=a(1为实数) c.若5=2，则万=±2a. D.若6=±2a,则5l=2. 9.(多选)已知向量ā，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使ā，b共线的是() A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数元，u,使ā-b=0 C.当x+y=0时，a+b=0 D.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=五 【巩固练习】 1.“a=0”是“实数1=0”的（) 3/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.设a,五是向量，则“a=2万是a-2的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.对平面内两向量a,b,若/仍，则下列结论成立的是() A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为零向量 C.存在一个实数1，使b=a D.存在不全为零的实数2，L,使a+b=0 4.(多选)下列命题是真命题的为() A.对于实数入与向量ā，+d与-团的和是向量 B.对于非零向量a,向量-3ā与向量a方向相反 C.对于非零向量a,向量-6ā的模是向量3a的模的2倍 D.若与a共线，则存在实数1，使得=杭. 5.(多选)已知向量a为非零向量，2是非零实数，则下列说法错误的是(). A.a与-2a方向相反B.a与a方向相同C.上d≥aD.2a=a 6.(多选题)下列命题正确的是() A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 C幸书内有：州月骨脑的段：8发大 D.若a=b,i=c则a=c 目目 考点02 平面向量的混合运算 【经典例题】 1.化简：a+5-)3a-25--（) A. aB.a s c.ae D.as e 2 2 2 2 2.下列各式计算正确的有() ①(-7)：6a=42a;②7(a+b)-85=7a+15b;③a-2b+a+2b=2a:④4(2a+b)=8a+4b A.1个B.2个C.3个 D.4个 4/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 3.已知，e,为两个不共线的向量，a=2,+e,方=3e-2e,则a-2b= (用g,e,表示) 4.已知非零向量a,6满足a石-61a-a-25,则瓦《) a A.4 B. C.2 D.4 AB 5.已知平面上不共线的四点0，A,B,C,若OA-3OB+20C=0,则 =() AC A.2 B C. D. 6微云、五、为号向隆，专P=高高+后，则刀的袋大拉与操小数的定为() A.0 B.1 C.2 D.3 【变式训练】 1.计算：2a+26-3刘-3a-26-可=() Aa-eB.6-正ca+6+D.a+巧- 2.下列各式计算正确的有() ①(-7)6ā=-42ā；②7(a+b)-8b-=7a+15b:③a-2b+a+2b=2a;④4(2a+b)=8a+4b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(多选)下列算式中，正确的是() A.(-7)×6a=-42a B.a-2b+(2a+2b)=3a C.a+b-(a+b)=0 D.4(2a+b=8a+4b 4.己知平面上四点A,B,C,D互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是() A.AB-AC+BC=0 B.AB-(AC+CD)=BD C.0.4B=0 D..(MAB)=LAB 5/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 AB 5.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA-3BO-4OC=0,则 =() AC A C.1 D. 6若2（习C1话306-0，共中a,,5为已知向量，则未如向5- 【巩固练习】 1.4(a-b-3(ā+)-b等于() A.a-2b B.a C.a-6b D.a-8b 2.设向量a6,c满足5(a-2)-4(6+3a)-c=0,则c=() A.-a+22b B.7a+14b C.a-22b D.-7a-14i 3.(2a-b)-(a-2b)=() A.3a+36 B.a-3b C.a+b D.3a-b 4.下列各式计算正确的个数是() ①(-7)：6a=42a:②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0. A.1 B.2 C.3 D.4 5.下列命题正确的有() A.(-5)(6=-30a B.7(a+b+6b=7a+13b C.若a=m-,b=3m-m,则a,b共线D.(a-5b+(a+5而=2a,则a,b共线 目目 考点03 平面向量线性运算的几何应用 【经典例题】 1.如图，在△ABC中，AB=3AD,E是CD的中点.设CA=a,CB=b.则CE= 2.已知P为△ABC所在平面内一点，BC=2C死，则() A.正亚+B.-+cC亚西-号证D.正西+证 6/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 3.在△ABC所在的平面内，AB=2BD,D关于C的对称点是E,则AE=() A4c-2丽B.2c-丽c.c-丽D.2c-丽 4在A1c中，D为c中点，丽=，0=号亚+号亚，老而D+0,则2=《) A.号 C. D5 1 5.如图，在△ABC中，AN=}AC,M=2B,若CM=1MB+uAC,则A+u=() B D.-2 9 6.为规划社区花园，工人师傅以花园中心O为原点建立平面直角坐标系.已知向量OA表示“从点O向正东 走3米”，向量0丽表示“从点0向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为20A-1OB,则从点0 2 到这株花卉的位置可以() A.先向正东走4米，再向正北走3米B.先向正东走6米，再向正南走2米 C.先向正西走2米，再向正北走3米D.先向正西走4米，再向正南走6米 1 7.已知点0为△ABC内一点，满足OA+3OB=0C,若S4oB=1S.c,则1=() 4 A.-2 C. D.2 【变式训练】 1.在△ABC中，CD=DB,CE=EA,若AD=a,BE=b，,则AB=() c.a 7/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 2.在平行四边形ABCD中，E为边AB的中点，设AB=立，AD=b,则CE=() A.ai5 Ba-万c-万n.a+5 3.已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+DC=0,B为AB中点，则DC长度是DE长度的() A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 4.在平行四边形ABCD中，AB+AD=3AP,AD-AB=2BQ,则PQ=() A名c B.。0 c. D.号ac 5.点M是△1BC所在平面内一点，满足西+涵+C=0,若D为AC中点，则。世的值为() A. B. c. D. 6.(多选)在△ABC中，D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为△ABC的重心，则下列结论中正 确的是() A.AB-BC-C B.AG-(AB+AC)C.AF+BD+CE-0 D.GA+GB+GC-0 【巩固练习】 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，则CA+DB=() 2 A.AB B.CD C.CB D.AD 2,己知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则AB+2BO=() A.AD B.4C C.BD D.CB 3.如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在BD上，且BE=2ED,则() A.AB=24B+LAC B.AF-24B+AC C.AF-1AB+2AC D.AF-4B+AC 4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为边AB,BC上的点，且AM=MB,CN D =2NB,记AB=a,AD=b,则MN=() M 8/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 A. c. 5.(多选)如图，D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点，则() E A.AD+BE+CF=0 B.BD-CF+DF=0 C.AD-CE+CF=0 D.BD-BE-FC=0 DM 6.设M是△ABC所在平面上的一点，且丽+a+远=0，D是AC的中点，则 BM 向量线性运算与三角形“四心”的综合 目目 考点04 【经典例题】 1.若OA=a,OB=i,a与i不共线，则∠AOB平分线上的向量OM= 2.已知N,P,O在△ABC所在平面内，满足A+NB+NWC=0,且PA.PB=PB.PC=PC.PA, OA. AB CA=OB BA CB =0c BC CA =0,则点N,P,O依次是△ABC的() BA CB BC CA A.垂心，外心，内心B.重心，外心，内心C.重心，垂心，外心D.重心，垂心，内心 3.A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足AP=4B+4C (2∈[0，+o》,则点P的轨迹一 定经过△ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心y 4.若△ABC的三边为a,b,c,有aOA+bOB+cOC=0,则O是△ABC的() A.外心B.内心C.重心 D.垂心 9/14 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 5.O为平面上一动点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足OA+OB=OC≠0(2R),则O点的轨 迹必过△ABC的() A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心 6.（多选)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设 点O,G,H分别为三角形ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则() A.AF-2OM B.GA+GB+GC-0 C.O4=OB-OC D.AG-140+2 3 7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形 四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联它的具体内容是：己知M是△ABC内一点，△BMC, △AMC,△AMB的面积分别为Sa,SB,S。,且S4·MA+S。·MB+S。·MC=0.以下命题正确的有() M SA A.若S4:Sg:S。=1:1:1,则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC.M+ACMB+AB.MC=0 C.若M为△ABC的垂心，3M+4MB+5MC=0,则tan∠BAC:tam∠ABC:tan∠BCA=3:4:5 D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA:Sa:S2=V3:2:1 【变式训练】 1.已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足aPA+bPB+cPC=0,则P为三角形的(). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心y 10/14专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 专题6.4平面向量的数乘运算 一、知识填空 1.向量的数乘运算： 实数元与向量a的积是一个 ,这种运算叫做向量的数乘，记作 2.常用结论： (0ld== (2)当2>0时，a的方向与a的方向 当元<0时，a的方向与a的方向」 当2=0时，a=」 3.向量数乘的运算律 设2,4为实数，那么：(1) ud=②)（+）a=;3)(a+b)= 特别地，（-)a=-(ad=(a,(a-)=a- 4.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 运算， 对于任意向量a,五，以及任意实数元4，山，恒有24±山，b)= 5.向量共线定理 向量aa≠0)与万共线的充要条件是：存在唯一一个实数入，使b= 6.判断向量a,b共线或三点A,B,C共线的方法： (1)根据向量共线定理寻求唯一实数入，使得b= (2)要判断A,B,C三点共线，只需看是否存在实数入，使得 (或BC=AB等)即可. 自检自纠：1向量a2.1)a 2)相同相反03.(1)(24)a(2)a+ua; (3)2a+2b.4.线性 24a±4，b5.a6.(1)a(a≠0)（②）AB=AC 二、 考点专练 目目 考点01 向量的数乘基本运算 【经典例题】 1.设为实数，己知e为单位向量，向量a的模为2，a=e,1=_ 1/32 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 【答案】±2 【详解】因为2为实数，已知e为单位向量，向量a的模为2，a=e,则d=2e=小e==2,解得2=±2 故答案为：±2 2.己知入，4∈R,则在下列各命题中，正确的命题有() ①1<0，a≠0时，a与a的方向一定相反；②1>0，a≠0时，a与ā的方向一定相同： ③u>0,a≠0时，a与ua的方向一定相同：④u<0,a≠0时，a与a的方向一定相反. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】由入与向量a的积ā的方向规定，易知①②正确， 对于命题③④，当>0时，2，L同正或同负，∴.a与a或者都与a同向，或者都与d反向..a与uā 同向，当u<0时.则2与L异号，a与d中，一个与a同向，一个与a反向，.ā与à反向，故③④ 也正确.故选：D 3.已知非零向量a,b满足a=4b,则() A.ab1B.4a=bC.a与b的方向相同D.a与b的方向相反 【答案】C 【详解】非零向量a,五满足a=45,则a与五的方向相同，且|a=4b,ABD错误，C正确 故选：C 4.已知向量a是非零向量，则a方向上的单位向量为() a A.同 B a C. D.a(eR且2≠0) 【答案】A 【详解】因为 园 -1,且 与向量a方向相同，所以同为a方向上的单位向量故选：A 5.若a,6为非零向量，则a= a五是“a=万的（） 1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 群解】若b.则1，有a6:反之，取a2b2.有五aB而五b不成动 1b1 161 所以ā=a5-是石-6的必要不充分条作故选：B 1b1 6.(多选)己知1，u∈R,且a≠0，则在以下各命题中，正确的是() 2/32 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 A.当<0时，a的方向与a的方向一定相反B.当=0时，a的方向具有任意性 C.alal D.当u>0时，2a的方向与ua的方向一定相同 【答案】ABD 【详解】根据实数入与向量a的积a的方向的规定，A正确；对于B,当2=0时，2a=0,零向量的方 向具有任意性，故B正确：对于D,由u>0可得1，L同为正或同为负，所以2a和ua或者都是与a同 向，或者都是与a反向，所以a与ua是同向的，故D正确：对于C,|a=元‖a,故C错误.故选： ABD. 7.(多选)下列结论中正确的有() A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=a-b B.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na C.对于实数m和向量a,b,若ma=b,则a=b D.对于实数，n和向量a,若ma=na,则m=n 【答案】AB 【详解】由数乘向量运算律，得A,B均正确；对于C,若m=0,则ma=b=0,未必一定有a=b,错 误；对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.故选：AB. 【变式训练】 1.若|a=3,b与a反向，|b卡2，则a= 6 【路案】月 【详解】由于a3, =2,且6与反向，放a:5,放答案为： 2 2.下列说法不正确的是() A.零向量加一个零向量还是零向量 B.零向量减一个零向量还是零向量 C.零向量乘一个零向量还是零向量 D.零向量乘零还是零向量 【答案】C 【详解】由向量的运算性质，零向量乘一个零向量是数量零，而两个零向量的加减、数乘（乘以0）均为 零向量.故选：C 3.下列命题正确的是() A.若a与共线，b与c共线，则a与共线 B.与向量a共线的单位向量为同 3/32 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 C.若a仍，则存在唯一的实数2，使ā=6 D.0a=0 【答案】D 【详解】对于A,若方=0，则a与c不一定共线，故A错误；对于B,与向量a共线的单位向量为士 园 故B错误：对于C,若b=0,a≠0，则不存在唯一的实数，使a=b,故C错误：对于D,0a=0,D 正确.故选：D 4.下列关于向量的线性运算，不正确的是() A.AB+BC+CA=0 B.AB-AC=BC C.0.AB=0 D.A(ua)=(A)a 【答案】B 【详解】对于A,AB+BC+CA=AC+CA=0,A正确：对于B,AB-AC=CB,B错误：对于C,0AB=0, C正确：对于D,由数乘向量的运算律知，u回)=()a,D正确故选：B. 5.设a,方为非零向量，则同=2外是“a=2乃的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】园=2表示向量a的长度是向量方长度的2倍，但a,五的方向不一定相同，所以由园=25推 不出a=2乃：反之，由数乘定义可知，若a=2方，则同=2综上，“同=2是“a=2乃"的必要不充分条 件.故选：B 6.己知向量e1,e2为非零向量，则|e,+e2e|+e2”是“存在非零实数，n,使得e,+e2=0的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】向量e,e2为非零向量，则|e+e2e+e2”成立即得向量e,e2同向共线：“存在非零实数 ,h,使得e,+e,=0”成立即得向量e,,e,共线：向量e,，e2同向共线可以得出共线，但是共线不一 定是同向共线，则e+e,日e|+e2|”是“存在非零实数m,,使得e,+e,=0”的充分不必要条件. 故选：A. 7.(多选)下列说法正确的是() A.相等向量的起点必定相同 B.平行向量就是共线向量 C.AO-BO-AB=0 D.非零向量a与-ā（元是非零实数）的方向相反 【答案】BC 【详解】对于A,相等的向量是方向相同，长度相等的向量，起点不一定相同，故A错误，对于B,平行向 4/32 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 量就是共线向量，B正确，对于C,AO-BO-AB=AO+OB-AB=AB-AB=0,故C正确，对于D,当1<0 时，-元>0，此时非零向量a与-ā(2是非零实数)的方向相同，故D错误，故选：BC 8.(多选)下列说法中不正确的是() A.ā与a的方向不是相同就是相反(1为实数) B.若a,b共线，则b=a(入为实数) C.若=2d,则6=±2a. D.若=±2，则=2d. 【答案】ABC 【详解】对于A,当2=0时，a=0,此时其方向是任意，故A错误：对于B,当ā=0时，1不存在， 故B错误；对于C,由题意可作图如下：显然=2，但ā，b的夹角为60°，故C错误；对于D,根据 向量数乘的相关概念，故D正确.故选：ABC 60 9.(多选)已知向量ā，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使ā，五共线的是() A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数九，4，使2ā-b=0 C.当x+y=0时，a+b=0 D.己知梯形ABCD,其中AB=,CD=b 【答案】AB 【详解】A.联立2ā-36=4e和a+26=-22消去向量e可得出4a+b=0,.b=-4a,且a≠0，∴.a,b共线： B.a,万都是非零向量，且2≠u,a-b=0.元，u都不为0a=号ia,b共线： C.当x=y=0时，满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+b=0.得不出a,b共线： D.AB与CD不一定平行，∴得不出a五共线 故选：AB 【巩固练习】 1.“a=0”是“实数元=0的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 5132 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 【详解】因为a=0→1=0或a=0,元=0→2ā=0，所以“a=0”是“实数入=0”的必要不充分条件 故选：B 2.设a,i是向量，则“a=2万"是=2的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由数乘定义可知，若a=2五，则园=2：若园=2，表示向量a的长度是向量长度的2倍， 但a,6的方向不一定相同，所以由同=2推不出a=2五，综上，“a=2乃"是日=2的充分不必要条 件故选：A 3.对平面内两向量a,b,若a/仍，则下列结论成立的是() A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为零向量 C.存在一个实数1，使b=1a D.存在不全为零的实数1，L,使2a+b=0 【答案】D 【详解】由a/仍，可得a与b方向相同或者相反，或者ā与中至少一个为零向量，故A、B错误： 当a=0,6≠0时满足a/6,但是不存在实数入，使i=a,故C错误：当ā≠0时，由alW%,可得方=a, 令4=之以0，则6=-2a,即4+26=0，当a-0时，由6，可得行+05=6（布在4*0）， 故D正确.故选：D. 4.(多选)下列命题是真命题的为() A.对于实数元与向量ā，2+同与元-同的和是向量 B.对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反 C.对于非零向量d,向量-6ā的模是向量3a的模的2倍 D.若b与a共线，则存在实数1，使得=a, 【答案】BC 【详解】对于A,(元++(2-)=2入为实数，故A错误，对于B,向量-3a与向量方向相反，B正确， 对于C,a为非零向量，则向量-6a的模是向量3ā的模的2倍，C正确，对于D,若a为零向量，而6为非 零向量，则此时不存在实数入，满足=a,D错误，故选：BC 5.（多选)己知向量a为非零向量，入是非零实数，则下列说法错误的是(). A.a与-a方向相反B.a与a方向相同c.上d≥dD.ha=a 6/32 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 【答案】ACD 【详解】对于A,当<0时，a与-2a方向相同，故A错误；对于B,当2≠0时，22>0，则a与a方 向相同，故B正确：对于C,当<1且≠0，即1∈(-1,0)U(0,1)时，-d<,故C错误；对于D, 2d表示2a的模，为实数，a表示一个向量，两者不相等，故D错误故选：ACD 6.(多选题)下列命题正确的是() A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 。.高考品测经看骨0成的保行装：市双 D.若a=五，b=c则a=c 【答案】BCD 【详解】对于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误：对于B,由零向量的定义知，零向量 ab a b 的长度为0，故B正确：对于C,因为同与园都是单位向量，所以只有当可与园是相反向量，即ā与5是 b 反向共线时， =0才成立，故C正确；对于D,由向量相等的定义知结论正确，故D正确 故选：BCD 目目 考点02 平面向量的混合运算 【经典例题】 1.化简：a+25-30)-3a-2乃-c)=《) A-B.+6-正ca+6D.-6- 2 2 【答案】C 【详解162迈-3a-26-小号+3多0+或-马+5.故选：c 2.下列各式计算正确的有() ①(-7)6a=42a:②7(a+b)-85=7a+15b；③a-2b+a+2b=2a;④4(2a+b)=8a+4i A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】①③④正确，②错，因7(a+b)-85=7a+7b-8b=7a-b.故选：C 7/32 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 3.已知，e,为两个不共线的向量，a=2e,+e,i=3e-28,则a-2b= (用e,e,表示) 【答案】-4e,+5e2 【详解】由题意，a=2e1+e2,b=3e,-2,所以a-2b=(2e1+e2）-23e,-2e2-4e1+5e, 故答案为：-4e,+5e2 4.已知非零向量a,6满足1a6-16a=a-26,则〔) A B. C.2 D.4 【答案】B 【详解】由|b-b1a=ā-2b,得(a+2)b=(b1+1)a,则ab共线，因此+2)b=(b+1)川a,整 理符261a,而a5为非零向量，所以骨-片放选：B AB 5.己知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA-3OB+2OC=0,则 AC 2 A.2 B.3 C. 1 D. 3 【答案】B 【详解】由01-30B+20C-0,得301-30=201-20c,即3A=2C,所以-2故选：B AC 3 6.设a、6、e为非零向量，若p-a+石+8 ,则卫的最大值与最小值的差为() lal bl cl A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 三、三分别为a、方、c方向上的单位向量，则问 【详解1a可d a B >》 同 3，当且仅当a、b、c 方阿都相同时，等号成立，作OA三名，08=名 /当∠A0B=∠B0C=∠COA= 灭时，如图 所示： 4以QA,OB为邻边作平行四边形OAB,则该四边形为菱形，且∠A08=号所以，△408 为等边三角形，且丽-1又因为∠40c=,1,由图可知，0C+0元-0，即D1O4+O5+0C-0, 综上所述，0p≤3.故选：D 8/32 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 【变式训练】 1.计算：a+2万-3刘-3a-26-司=（) A.- a-kBa46-2c46+D.a-6- 5 2 2 2 【答案】C 【详解1+6-)3-25-)+6-子-++=+6+子故流c 2.下列各式计算正确的有() ①(-7)6=-42a;②7(a+b)-85=7a+15b:③a-2b+a+2b=2a:④4(2a+b)=8a+4b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】(-7)6a=(-7×6)a=-42a,故①正确；7(a+b)-85=7a+7b-85=7ā-b,故②错误： a-2b+a+2b=a+a-2b+2b=2a,故③正确：42a+b)=4×(2a)+4b=4×2a+4b=8a+4b,故④正 确.故选：C 3.(多选)下列算式中，正确的是() A.(-7)×6a=-42a B.a-2b+(2a+2b=3a C.a+b-(a+B)=0 D.4(2a+b=8a+4b 【答案】ABD 【详解】对于A,(7)×6a=-42a,A正确：对于B,a-2b+(2a+2b)=3a,B正确： 对于C,a+i-(a+)=0,C错误；对于D,4(2a+而=8a+4b,D正确故选：ABD 4.已知平面上四点A,B,C,D互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是() A.AB-AC+BC=0 B.AB-(AC+CD)=BD C.0.AB=0 D.(MAB)=ALAB 【答案】B 【详解】对于A,AB-AC+BC=CB+BC=0,故A正确： 对于B,AB-(AC+CD)AB-AC-CD=CB-CD=DB,故B错误： 对于C,由数乘向量可得0AB=0,故C正确： 对于D,由数乘向量运算律可得入·AB)=uAB,故D正确， 故选：B 9132 专题6.4平面向量的数乘运算 高中数学导学案 AB 5.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA-3BO-4OC=0,则 AC A. B. C.1 D. 3 【答案】D 【详解】根据题意，平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA-3B0-4OC=0,则有4OA-4OC=3OA-3OB, AB 变形可得4CA=3BA,由数乘的定义， 有 4 故选：D. AC 6者2-封0+6-30+6=0，其中a,c,6为已知向量，则未知向量)- 【案1引a-+ 【架12-c+6-3洞+-0，+引-号a+j5--0,0+, V= 4a-16+c. 217 案为引-+片子 【巩固练习】 1.4(a-b)-3(ā+b)-b等于() A.a-2b B.a C.a-66 D.a-8b 【答案】D 【详解】4(a-b)-3(a+b)-b=4a-4b-3a-3b-b=a-85.故选：D 2.设向量a,i,c满足5(a-2b)-4(6+3a-c=0,则c=() A.-a+22b B.7a+14 C.a-22b D.-7a-14b 【答案】D 【详解】由题意可得c=5(a-2b)-4(6+3a)=5a-106-46-12a=-7a-146,故选：D 3.(2a-)-(a-2b)=() A.3a+3b B.a-36 C.a+b D.3a-B 【答案】C 【详解】由平面向量的线性运算可得2a-b)-(a-2b)=a+b.故选：C 4.下列各式计算正确的个数是() ①(-7)6a=42a:②a-2b+2(a+b)=3a;③a+i-(a+b)=0. A.1 B.2 C.3 D.4 10/32