精品解析：四川泸县第五中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

泸县五中高2025级2026年春期入学考试 数学 一、选择题（共8题，每题5分，符合题意的选项只有一个） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长、半径与圆心角的关系，可得半径r的值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，则，解得， 所以扇形的面积. 故选：B 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出角的值，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】在中，若，则或， 因为，因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角关系以及两角和的正切公式计算可得结果. 【详解】由可得，解得； 则. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义域，奇偶性与特殊值判断函数图像. 【详解】已知函数，定义域为，排除A，D选项， 令，， 故函数为奇函数关于原点对称， 当时，，排除C选项. 故选：B 6. 已知 则的值等于（ ） A. -2 B. 4 C. 2 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式直接代入求解. 【详解】因为 所以. 故选：B 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和差公式辅助角公式，结合角的范围即可求解. 【详解】 ， 所以.又因为， ，所以，. 故选：B 8. 已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 即， 则，由于，故， 令，则存在x，使得， 转化为存在，使得有解， 由于的对称轴为，则在上单调递增， 故， 故，结合，可得. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用特殊值，判断A、C，根据，的单调性判断B、D. 【详解】当时，则，而，又， ∴A，C不正确； ∵，都是上单调递增函数， ∴B，D是正确的. 故选：BD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若，则是的对称中心 C. 若在上单调递增，则 D. 若在上恰有2个零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求出可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D. 【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确； 对于B，若，则， 所以，所以是的对称轴，故B错误； 对于C，时，， 因为在上单调递增，则，解得，故C正确； 对于D，时，， 若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，作出函数的图象，，A正确；由，求得，B错误；，，从而判定C；设，则，则，可得值域，判断D. 【详解】作出函数的图象， 由图可知，若， 则，A正确； 因为，可得， 所以，可得，B错误； 依题意，，得， 则，且当接近时，接近，接近4， 此时， 且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷， 则的取值范围为，C正确； 函数，， 设，则， 则，， 所以函数的值域为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项C，依题意，，得，则，从而求范围. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若幂函数是偶函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的知识来求得的值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意. 当时，是偶函数，符合题意. 故答案为： 13. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以函数的定义域是． 14. 如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，设，根据条件及三角函数的定义，可得BC、AB的表达式，代入面积公式，结合二倍角公式及辅助角公式，可得面积S的表达式，根据的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案. 【详解】连接OC，设， 在中，，则， 因为为矩形，所以， 又，则， 则， 所以矩形面积 ， 因为，所以， 所以当时，即时，有最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知角，的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交于A，B两点，且，已知点． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由知，又，故 所以同理. 【小问2详解】 16. 已知函数． （1）化简； （2）已知，都是锐角，，，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可； （2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，，最后根据利用两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 由题意，根据诱导公式得： 函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足. 【小问2详解】 因为锐角，已知，所以， 因为，都是锐角，所以， 又因为，所以在第二象限， 即，所以. 所以， 将数据代入得：. 17. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知在上单调递增，求的取值范围； （3）若，求在上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集； （2）结合二次函数的图象与性质，即可求解； （3）根据二次函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 当时，函数， 不等式，即，解得或， 即不等式的解集为. 【小问2详解】 由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在递减，在上递增， 所以最小值为，又因为区间端点比距离对称轴更远，故函数在处取最大值， 在上的值域为. 18. 设函数． （1）求证：为定值； （2）若，求的最小值； （3）若，且满足，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得解析式，代入即可得证. （2）由（1）及条件可得，根据指数幂的运算性质，结合基本不等式，即可得答案. （3）根据奇偶性的定义及复合函数的单调性的求法，可得的奇偶性和单调性，结合条件及的定义域，即可得答案. 【小问1详解】 证明：令，解得，即的定义域为, 由，得， 所以. 【小问2详解】 令，根据反比例函数性质可得在上单调递增， 又在上单调递增， 根据复合函数的性质可得在上单调递增， 由（1）得，，且， 所以，则，即， 因为，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由题意， 令，解得，即的定义域为，关于原点对称， 则， 所以为奇函数， 由（2）得在上单调递增， 由，得， 所以，解得，故实数m的取值范围. 19. 已知函数的一条对称轴为． （1）求； （2）若，，求的值； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式由三角函数值计算可得结果； （2）将已知条件化简可得，将两式平方相加再由两角和的正弦公式计算可得结果； （3）由不等式恒成立利用换元法可得不等式对任意恒成立，再利用基本不等式计算可得实数a的取值范围． 【小问1详解】 依题意，即， 又，所以， 因此可得，即. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， ； 联立，两式平方可得； 相加可得，即， 所以； 【小问3详解】 不等式，即为； 即，所以； 因此， 令，由可得，因此， 即不等式对任意恒成立； 即可知在恒成立， 易知，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以即可， 可得； 即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2025级2026年春期入学考试 数学 一、选择题（共8题，每题5分，符合题意的选项只有一个） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 则的值等于（ ） A. -2 B. 4 C. 2 D. -4 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（ ） A. B. C. 或 D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若，则是的对称中心 C. 若在上单调递增，则 D. 若在上恰有2个零点，则 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若幂函数是偶函数，则_________. 13. 函数的定义域是________． 14. 如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知角，的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交于A，B两点，且，已知点． （1）求，的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）化简； （2）已知，都是锐角，，，求的值． 17. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知在上单调递增，求的取值范围； （3）若，求在上的值域． 18. 设函数． （1）求证：为定值； （2）若，求的最小值； （3）若，且满足，求实数m的取值范围． 19. 已知函数的一条对称轴为． （1）求； （2）若，，求的值； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $