北京市北京大学附属中学元培学院2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期北大附中元培学院高二期中考试 数 学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则在上的投影的数量为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知椭圆焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. D. 2 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称两条平行直线和圆的位置关系为“平行相交”．已知直线，直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 9. 已知椭圆和椭圆的右焦点分别为和．若，设椭圆和椭圆的离心率分别为和，则（ ） A. B. C. D. 10. “康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 复数的虚部是______． 12. 已知椭圆，过C的右焦点作x轴的垂线交C于A，B两点，则______． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． 14. 正中，．是所在平面内位于外部点构成的集合，设集合或，则表示的区域的面积为______． 15. 一种形如四叶草的曲线的方程为．给出下列四个结论： ①曲线C有4条对称轴； ②曲线C上的点到原点的最大距离为； ③任取曲线C位于第一象限内的一点，过该点作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积的最大值为； ④四叶草面积小于． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，，其中，． （1）求； （2）是否存在实数k，使得和垂直？若存在，求出k值；若不存在，说明理由． 17. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时x的值； （3）当时，求的单调递增区间． 18. A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设． （1）用表示SN并写出的范围； （2）当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． 19. 如图，在三棱锥中，，，. （1）求证：面面； （2）若是线段上靠近的四等分点，求： ①与平面所成角的正弦值； ②点到平面的距离. 20. 已知椭圆，其离心率为，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； （3）过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 21. 设n是不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，，记． （1）当时，若，，求，值； （2）当时，若A是的子集，且，均为奇数，求A中元素个数的最大值； （3）已知A，B是的子集，且满足以下性质： ①， ②，，使得． 求的最大值． 2025-2026学年第一学期北大附中元培学院高二期中考试 数 学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】3 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】(答案不唯一) 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2）存在，使得和垂直，理由见解析 【17题答案】 【答案】（1） （2）的最大值为，取得最大值时x的值为 （3）， 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【20题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【21题答案】 【答案】（1）， （2）中元素个数的最大值为 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $