专题12 平行线的判定与性质的综合应用（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12平行线的判定与性质的综合应用 目录 典例详解 类型一、平行线的判定方法选择与应用 类型二、平行线的性质在角度计算中的应用 类型三、“拐点”问题(M型、铅笔型等) 压轴专练 典例详解 类型一、平行线的判定方法选择与应用 1.平行线的判定方法 ①同位角相等，两直线平行： ②内错角相等，两直线平行： ③同旁内角互补，两直线平行： ④平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）； ⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。 2.判定方法的选择策略 ①根据图形中已有的角关系选择合适的判定方法： ②有时需要先通过等量代换或等式性质转化角的关系： ③注意“在同一平面内”的前提条件 例1.(23-24七年级下·广东佛山月考)如图，直线AB和CD被直线MN所截. ① (I)如图①，EG平分∠BEF,FH平分∠DFE,则当∠I与∠2满足_时，AB∥CD; (2)如图②，EG平分∠MEB,FH平分∠DFE,则当∠1与∠2满足时，AB∥CD; (3)如图③，EG平分∠AEF,FH平分∠DFE,则当∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？请说明理由. 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1-1.(20-21七年级下·山西大同期中)己知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直 线MN经过点C,且BC⊥MN,其中∠ABC=LACB,∠DEF=∠DFE,∠ABC+∠DFE=90°，点E、F均 落在直线MN上. G 图1 图2 图3 (1)如图1，当点C与点E重合时，求证：DF∥AB;聪明的小丽过点C作CG∥DF,并利用这条辅助线 解决了问题.请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程 (2)将三角形DEF沿着NMM的方向平移，如图2，求证：DE∥AC; (3)将三角形DEF沿着M的方向平移，使得点E移动到点E',画出平移后的三角形DEF,并回答问题， 若∠DFE=Q,则∠CAB= (用含的代数式表示) 变式1-2.(20-21七年级下·河北沧州期中)如图，台球运动中1号球P击中桌边的点A,经桌边反弹后击 中相邻的另一桌边的点B,再次反弹经过点C(提示：∠PAD=∠BAE,∠ABE=LCBF). D H (1)若∠PAD=40°，求∠PAB的度数； (2)已知LBAE+LABE=90°，1号球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由. 类型二、平行线的性质在角度计算中的应用 1.平行线的性质 ①两直线平行，同位角相等： ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补。 2.常见计算模型 ①直接应用性质求角度； ②结合方程思想求角度（设未知数列方程）： ③在多条平行线中，利用性质进行角度传递。 例2.(20-21七年级下·浙江·期中)如图，AC1IBD,BC平分∠ABD,设∠ACB为，点E是射线BC上 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的一个动点，若∠BAE:∠CAE=5:2,则∠CAE的度数为 (用含a的代数式表示). A E B D 变式2-1.(20-21七年级下·浙江期中)如图1，E点在BC上，∠A=∠D,LACB+∠BED=180°. C D C D F E 图1 图2 图3 (I)求证：AB∥CD; (2)如图2，AB∥CD,BG平分∠ABE,与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大6O°，求 ∠DEB的度数. (3)在(1)的结论下，保持(2)中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK,DN平分∠CDE, 作BP∥DN,则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由， 变式2-2.(22-23七年级下.安微六安期末)如图1，己知直线EF与直线AB交于点E,直线EF与直线CD 交于点F,EM平分∠AEF交直线CD于点M,且∠FEM=∠EMF. A E A N B B CM F G CM 图1 图2 备用图 (I)求证：AB∥CD: (②)点G是射线MD上的一个动点（不与点M、F重合），EH平分LFEG交直线CD于点H,过点H作 HN∥EM交直线AB于点N,设LEHN=a,LEGF=B. ①如图2，当点G在点F的右侧时，若B=80°，求a的值； ②当点G在运动过程中，和B之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论. 类型三、“拐点”问题(M型、铅笔型等) 1. 常见基本图形 M型（猪蹄型)、铅笔型、多拐点型。 3/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.解题策略 ①过拐点作已知直线的平行线； ②利用平行线的性质进行角的转化； ③建立方程或直接计算。 例3.(24-25七年级下·安微毫州期末)如图，已知AB∥CD,CG交AB于点G,且LC=a,GE平分 ∠BGC,点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与 LPHC的关系不可能是() G B H A.2∠GPH-2∠PHC=a B.2∠GPH+2∠PHC=a 1 C.∠GPH+∠PHC+2a=180 D.∠PHC+∠GPH+5a=360 变式3-1.6.(20-21七年级下·湖北武汉期末)如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN ,ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°. (1)证明：MNST; (2)如图2，若∠ACB=60°，ADIICB,点E在线段BC上，连接AE,且∠DAE=2LCBT,试判断 ∠CAE与∠CAW的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若∠ACB=180°(m为大于等于2的整数，点E在线段BC上，连接4B,若 n ∠MAE=nLCBT,则∠CAE:LCAN=: M E 图1 图2 图3 变式3-2.7.(21-22七年级下·安微安庆月考)如图，点A,B,C,D是∠M0N的两条射线上的点（异于 点O),且AD∥BC,∠ADP=∠1，∠BCP=∠2. 4/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B 图 图2 图3 (1)如图1，当点P在A,B两点之间运动时，问∠CPD与∠1，∠2之间有什么数量关系？请说明理由： (2)当点P在射线BM上时（异于点B),LCPD与∠1，∠2之间有什么数量关系？请在图2中画出图形，并 说明理由； (3)当点P位于直线AD与BC之间且在直线CD下方时，∠CPD与∠1，∠2之间有什么数量关系？请在图3 中画出图形，并说明理由. 压轴专练 一、解答题 1.(23-24七年级下·河北邢台·月考)若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中∠DAE=∠CAB=90°， ∠E=30°，LB=∠C=45°)，将三角形ABC固定不动，三角形ADE绕点A逆时针旋转，旋转角为∠1. 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，若∠1=20°，则∠2=-，∠3=- (②)如图3，若DE⊥AC于点F,则AB与DE平行吗？请说明理由 (3)如图4，若∠1=∠2，则图中有哪两条线平行？请说明理由 2.(20-21七年级下·河南许昌·月考)(1)学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线 的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）. 5/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 p 6 a (a) (b) (c) (d) 图1 B ·p E Q C 图2 图3 ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b,使直线b经过点P,且b1,要求保留折纸痕迹，画出所 用到的直线，指明结果.无需写画法： ②在(1)中的步骤(b)中，折纸实际上是在寻找过点P的直线α的线. (2)已知，如图3，AB/CD,BE平分∠ABC,CF平分LBCD,求证：BEIICF(写出每步的依据). 3.(21-22七年级下.安徽宿州期中)如图，己知射线CB∥OA,∠C=∠0AB=120°，E,F在CB上，且 满足∠FOB=∠FB0,OE平分∠C0F. C EF B (I)求LE0B的度数. (2)若向右平行移动AB,其他条件不变，那么∠0BC:∠OFC的值是否发生变化？若变化，请找出变化规律； 若不变，请求出这个比值. (3)在向右平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使LOEC=∠OBA？若存在，请直接写出∠OBA的度数； 若不存在，请说明理由， 4.(22-23七年级下山东烟台·期中)已知AM∥CN,点B为平面内一点，AB⊥BC于B. (1)如图，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 6/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A M 0 N (2)如图，过点B作BD⊥AM于点D,求证：∠ABD=∠C. A D M N C (③)如图，在(2)问的条件下，点E,F在DM上，连接BE,BF,CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, 若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3LDBE,求∠EBC的度数. D F M B N 5.(25-26七年级上安微六安月考)如图，已知AB‖CD,点E是射线AB上一动点（与点A不重合）， CM、CN分别平分∠ACE和∠DCE,且分别交射线AB于点M、N, C D -B M E 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)当∠A=50°时，直接填空：∠ACD= ,∠MCN= (②)点E运动过程中，∠AEC:∠ANC的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当∠A=3∠ACM,∠CMN=2LCNM时，求∠A的度数 6.(21-22七年级下山东德州期末)如图1，AD∥BC,∠BAD的平分线交BC于点G,∠BCD=90°. D D B G G 图1 图2 图3 (I)试说明：∠BAG=∠BGA; (2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E,若LBAG-LF=45°，求证：CF平分 ZBCD; (3)如图3，线段AG上有点P,满足∠ABP=3LPBG,过点C作CH∥AG若在直线AG上取一点M,使 ∠PBM=∠DCH,求ABM的值， ∠GBM 7.(22-23七年级下·云南玉溪·期末)如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，点F, G在AC边上，连接DE,DF,GE,已知∠AFD=∠DEB,LDFC+∠C=I80°. (I)求证：DE∥AC; (2)若∠C=38°，EG平分∠DEC,求LEGC的度数. 8.(24-25七年级下江西南昌·月考)如图，这是一款手推车的平面示意图，其中CD∥EF. 8/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E队 (1)若∠D=25°，∠E=130°，求∠EGD的度数， (②)写出∠D,∠E,∠EGD之间的数量关系，并说明理由. 9.(21-22七年级下·河北保定期中)如图，在三角形ABC中，点D,F在边BC上，点E在边AB上，点G 在边AC上，连接AD,EF,GD,延长EF与GD交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°. B F 4 G (1I)EH与AD平行吗？为什么？ (2)若LDGC=58。,且LH=L4+10°，求∠H的度数. 10.(24-25七年级下·安徽合肥期末)已知直线AB∥CD,点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G 为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG. M Q >G >G 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BMG=a,LDNG=B,试说明∠G=a+B; (2)如图2，在(1)的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分∠BMP,ND平分∠GNP.若 ∠BMG=30°，求∠G+∠P的度数： (3)如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN,若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为∠AMP的 平分线，NP平分∠CNG,∠MGN=108-2LP,则∠AMP=· 9/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(23-24七年级下·江苏宿迁期末)己知，如图，点P在AB、CD两线之间，且在BC所在直线的左侧. 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB∥CD,∠BPC=a时， ①若BO平分∠ABP,CO平分LDCP,则LBOC= ②若∠AB0=;LABP,∠DC0=;∠DCP,则∠B0C= 3 ③若∠AB0=I∠ABP,∠DC0=L∠DCP,则∠BOC= n (2)如图2，当AB与CD相交，点A、点D重合时，猜想∠BPC、∠B、∠C与∠A之间的数量关系，并说 明理由； (3)如图3，直接运用(2)的结论探究下列问题： ①若BO平分∠ABP,CO平分∠ACP,当∠BPC=120°，∠B0C=95°时，求∠A的度数； ②若∠AB0=1∠ABP,∠ACO=1∠ACP,当∠BPC=a,∠BOC=B时，求∠A的度数. 12.(22-23七年级下·安徽滁州期末)如图1，AB∥CD,过点F作FP∥CD,可得FP∥AB.利用平行线 的性质，可得：∠EFG与∠BEF,∠DGF之间的数量关系是，∠EFG+∠AEF+LCGF=°. 利用上面的发现，解决下列问题： (1)如图2，AB∥CD,点M是∠AEF和∠FGC平分线的交点，∠EFG=126°，求∠EMG的度数： (2)如图3，AB∥CD,GM平分∠CGF,EM⊥GM,EF平分∠BEM,若∠EFG比∠CGF大8°，则 LCGF的度数是 图3 10/10 专题12 平行线的判定与性质的综合应用 目录 典例详解 类型一、平行线的判定方法选择与应用 类型二、平行线的性质在角度计算中的应用 类型三、“拐点”问题（M型、铅笔型等） 压轴专练 类型一、平行线的判定方法选择与应用 1. 平行线的判定方法 ① 同位角相等，两直线平行； ② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行； ④ 平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）； ⑤ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。 2. 判定方法的选择策略 ① 根据图形中已有的角关系选择合适的判定方法； ② 有时需要先通过等量代换或等式性质转化角的关系； ③ 注意“在同一平面内”的前提条件。 例1．（23-24七年级下·广东佛山·月考）如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 变式1-1．（20-21七年级下·山西大同·期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上． （1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：； （3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；． 【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明； （2）先证明，再证明，得到，问题得证； （3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：（1）过点C作， ， ， ， ， ， ， ， ， ；               （2）解：，， 又， ， ， ， ， ， ； （3）如图三角形DEF即为所求作三角形．              ∵， ∴， 由（2）得，DE∥AC， ∴∠DEF=∠ECA=， ∵， ∴∠ACB=， ∴ ， ∴∠A=180°-=． 故答案为为：． 变式1-2．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 类型二、平行线的性质在角度计算中的应用 1.平行线的性质 ① 两直线平行，同位角相等； ② 两直线平行，内错角相等； ③ 两直线平行，同旁内角互补。 2.常见计算模型 ① 直接应用性质求角度； ② 结合方程思想求角度（设未知数列方程）； ③ 在多条平行线中，利用性质进行角度传递。 例2．（20-21七年级下·浙江·期中）如图，，BC平分，设为，点E是射线BC上的一个动点，若，则的度数为__________．（用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，列出等量关系求解即可得出结论． 【详解】解：如图，若点E运动到l1上方， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 解得； 如图，若点E运动到l1下方， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 解得． 综上的度数为或． 故答案为：或． 变式2-1．（20-21七年级下·浙江·期中）如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数； （3）如图3，过点作，设直线和直线相交于点，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， ， 比大， ， 解得 的度数为； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图3，过点作，设直线和直线相交于点， 平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ． 变式2-2．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．    (1)求证：； (2)点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设． ①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；或，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而得到，即可推出； （2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答； ②分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）①可得结果；当点G在点F的左侧时，同理进行解答即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：①      ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 解得； 故答案为：50； ②α和β之间的数量关系为或，理由如下： 当点G在点F的右侧，由（2）①得， 当点G在点F的左侧时，如图2，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， 综上所述，α和β之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系进行运算是解题关键． 类型三、“拐点”问题（M型、铅笔型等） 1. 常见基本图形 M型（猪蹄型）、铅笔型、多拐点型。 2. 解题策略 ① 过拐点作已知直线的平行线； ② 利用平行线的性质进行角的转化； ③ 建立方程或直接计算。 例3．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的位置不同，分别画出图形，从中探求出与的关系，再作出选择． 【详解】解：，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，过点P作， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即，故A是可能的； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，故C成立，故D不可能成立； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，平行公理，解题关键是掌握平行线的性质和判定，角平分线的概念． 变式3-1．6．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足． （1）证明：； （2）如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若（为大于等于的整数），点在线段上，连接，若，则______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1 【分析】（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证； （2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到结论； （3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值． 【详解】解：（1）如图，连接， ，， ， ， （2）， 理由：作，则 如图， 设，则． ，， ，， ． 即． （3）作，则 如图，设，则． ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式． 变式3-2．7．（21-22七年级下·安徽安庆·月考）如图，点A，B，C，D是的两条射线上的点（异于点O），且，，． (1)如图1，当点P在A，B两点之间运动时，问与，之间有什么数量关系？请说明理由； (2)当点P在射线BM上时（异于点B），与，之间有什么数量关系？请在图2中画出图形，并说明理由； (3)当点P位于直线AD与BC之间且在直线CD下方时，与，之间有什么数量关系？请在图3中画出图形，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，图和理由见解析 (3)，图和理由见解析 【分析】（1）过P作PEAD交CD于E，推出ADPEBC，根据平行线的性质得出∠1=∠DPE，∠2=∠CPE，即可得出答案； （2）过P作PEAD交CD于E，推出ADPEBC，根据平行线的性质得出∠1=∠DPE，∠2=∠CPE，即可得出答案； （3）过P作PEAD交CD于E，推出ADPEBC，根据平行线的性质得出∠1+∠DPE=∠2+∠CPE=180°，即可得出答案． 【详解】（1）． 理由如下： 如图1，过点P作． ∵， ∴． ∴，． ∴． （2）． 理由如下： 如图2，过点P作． ∵， ∴． ∴，． ∴． （3）． 理由如下： 如图3，过点P作． ∵， ∴． ∴，． ∴． 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 一、解答题 1．（23-24七年级下·河北邢台·月考）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再求出； （2）先证明，根据内错角相等即可证明； （3）先求出，进而可证，然后可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）． 理由：，， ， ， ． ， ， ． 2．（20-21七年级下·河南许昌·月考）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）． ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线． （2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）． 【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析 【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线； ②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． （2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论． 【详解】（1）解：①如图2所示： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． 故答案为垂； （2）证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式性质）， （内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定． 3．（21-22七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知射线，，，在上，且满足，平分． (1)求的度数． (2)若向右平行移动，其他条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值． (3)在向右平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)30° (2)不变化， (3)存在，45° 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，计算即可得解； （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OFC=2∠OBC，从而得解； （3）设∠BOA=x°，表示出∠OBA，再根据∠OEC=∠OBA，列出方程求解． 【详解】（1）∵CB∥OA， ∴∠COA=180°－∠C=60°，∠FBO=∠BOA， ∵， ∴， ∴， ∵OE平分∠COF， ∴， ∴； （2）∵CB∥OA， ∴∠OFC=∠FOA=∠FOB+∠BOA=∠OBC+∠OBC=2∠OBC， ∴=1：2=； （3）存在，∠BOA=45°，理由如下： 设∠BOA=x°，则∠FBO=∠FOB=x°， ∵CB∥OA， ∴∠CBA=180°－∠OAB=60°，∠OEC=∠EOA=∠EOB+∠BOA=(30＋x)°， ∴∠OBA=∠CBA－∠FBO=(60－x)° ∵∠OEC=∠OBA， ∴， 解得x=15， ∴∠OBA=(60-15)°=45°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的和差运算，涉及方程思想，灵活运用这些性质是解题的关键． 4．（22-23七年级下·山东烟台·期中）已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图，直接写出和之间的数量关系． (2)如图，过点B作于点D，求证：． (3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分，BE平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，解方程得到，继而得出，． 【详解】（1）如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． （3）如图3，过点B作， ∵BF平分，BE平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴ ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． 5．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)； (2)不变， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案； （2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变； （3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）解：的值不发生变化． 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6．（21-22七年级下·山东德州·期末）如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分； (3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)5或 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换即可得证； （2）过点作于，先根据平行线的性质可得，从而可得，则，再根据角平分线的定义即可得证； （3）设，则，，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后分①点在的下方和②点在的上方两种情况，根据角的和差可得和的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于， ， 由（1）已证：， ，即， 又， ， ， 又∵， ∴平分． （3）解：设， ∵， ∴，， ， ， 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在的下方时， ∴， ， ∴； ②如图，当点在的上方时， ∴， ， ∴； 综上，的值是5或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 7．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线的判定及性质即可求证结论； （2）利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 8．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（）过点作，可得，，进而得，再根据角的和差关系即可求解； （）由（）得，，再根据角的和差关系即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 9．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先根据已知条件得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）由（1）可得出，，由平行线的性质得出，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 过点G作点H在点G的左侧，证明得，，则，由此即可得出结论； 过点P作点E在点P的左侧，先求出，根据平分设，证明得，，则，由的结论得，由此即可得出的度数； 过P作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可． 【详解】（1）证明：过点G作点H在点G的左侧，如图1所示： ， ， ，， ， ， ∵，， ； （2）解：过点P作点E在点P的左侧，如图2所示： 平分，， ， 平分， 设， ， ， ，， ， 由的结论得：， ； （3）解：如图，过P作，过G作， ， ，， 平分，平分， 设，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2) (3)①；② 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义． （1）①分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论；②同理①，即可求解；③同理①，即可求解； （2）如图，作射线，分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论； （3）①结合（2）中结论，再利用角平分线的定义即可求解；②同理①，即可求解． 【详解】（1）解：①分别过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ； ②同理①得：， ，， ； ③同理①得：， ，，， ； （2）解：，理由如下： 如图，作射线，分别过点作， 则， ， ， ， ， 即原图中：， （3）解： 由（2）可得：，， 平分，平分， ， ， 即， ， ； ②，， ，， ， 同理①的：， ，即， ． 12．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 【答案】，；（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，难点是类比思想、方程思想在解题中的应用． （1）由已知得，根据平行线的性质得，，据此可得出与，之间的数量关系；先由得，，据此可得出的度数； （2）设，，则，，由（1）的结论得，，进而得，据此可得的度数； （3）设，则，，，由（1）的结论及得，进而得，再由（1）的结论得，然后根据比大得，据此可求出的度数． 【详解】解：与，之间的数量关系是：． 理由如下： ，， ， ，， ， 即：； ，理由如下： ， ，， ， 即：， 故答案为：，； （2）平分，平分， 设，， ，， 由（1）的结论得： ， ， 又， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 由（1）的结论得： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 比大， ， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $