10.1.1&10.1.2 两角和与差的余弦、正弦（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十章 三角恒等变换 10.1.1&10.1.2 两角和与差的余弦、正弦 知识点一 两角和与差的余弦 差的余弦：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 和的余弦：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 即学即练 （25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则____________． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式化简已知条件得，由同角三角函数计算得，再根据两角差的余弦公式计算即可 【详解】由诱导公式得． 又，所以． 所以 ． 故答案为：. 知识点二 两角和与差的正弦 和的正弦：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 差的正弦：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 即学即练 （25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）已知，则___________． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和差的正弦公式化简求出即可. 【详解】因为 ， 所以， 则. 故答案为： 题型01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (1)公式中的α、β均为任意角． (2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例． (3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值； （2）已知均为锐角，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式五、六 【分析】（1）先利用诱导公式和同角三角函数关系求出的值，再根据两角差的余弦公式求解即可； （2）由，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）， 又是第二象限角，． ，且为第三象限角， ， （2）由，为锐角可得． 由和 可得． 于是 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由同角三角函数的基本关系及和差公式即可求解. 【详解】由条件知，为第二或三象限角，． 当为第二象限角时，，； 当为第三象限角时，，． 故选：AC 题型02 求15°等特殊角的余弦 给角求值问题的策略： 解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，化为特殊角进行求值． 典｜例｜精｜析 （21-22高一·全国·课后作业）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求15°等特殊角的余弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四 【分析】（1）利用两角和的余弦公式计算可得； （2）利用两角和的余弦公式计算可得； （3）利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得； （4）利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为______． 【答案】 【知识点】求15°等特殊角的余弦 【分析】利用两角和的余弦公式化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 2．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求15°等特殊角的余弦、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】（1），由两角和的余弦公式即可求解； （2）由诱导公式可得，，由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1） . （2） . 题型03 用和、差角的余弦公式化简、求值 运用两角差的余弦公式求值的关注点 (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）已知是第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可. 【详解】因为，所以，因为是第二象限角，所以, 则, 故选：C 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的定义得，再根据同角三角函数关系得，最后结合诱导公式，正弦差角公式求解即可. 【详解】根据三角函数定义，， 因为，，所以 所以 故选：D 2．（25-26高一上·河北唐山·月考）设，则__________．（用含的式子表示） 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和差公式化简计算即可. 【详解】由题知， 解得，则． 故答案为： 题型04 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 (1)公式的适用条件： 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β． (2)公式的“活”用： 公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面： ①公式本身的变用，如 cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ． ②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]． 不能灵活进行角的变换导致错误. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 【答案】 / 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得. 【详解】因为，，两式平方相加得， ， 整理得，即. 由，得，由，得， 所以， 展开化简整理得，即. 故答案为：；. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式计算. 【详解】原式 ． 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四 【分析】（1）利用诱导公式及逆用余弦的差角公式求解. （2）逆用差角的余弦公式求解. （3）利用和角的余弦公式求解. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 ． 题型05 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等． 变换角的结构形式不当导致错误. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·安徽六安·期末）已知都是锐角，，求的值. 【答案】. 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】由同角三角函数的平方关系，分别求得，再根据两角差的正弦公式求得的值. 【详解】∵是锐角，； ∵都是锐角，，所以. ，， . 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·广东惠州·期末）已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】应用同角三角函数关系计算得出，，再应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】因为，都是锐角，则，， 则. 故选:D. 2.（25-26高一上·天津西青·期末）已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由同角三角函数关系和角的范围得到的值，凑角结合正弦差角公式得到答案. 【详解】是锐角，，故， 又，都是锐角，故，又， 故，所以， 所以 . 故选：B 题型06 求15°等特殊角的正弦 “给角求值”问题，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． 典｜例｜精｜析 （17-18高一上·河北衡水·期末）在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、求15°等特殊角的余弦、求15°等特殊角的正弦 【分析】依题意可得与轴正向的夹角为且，则与轴正向的夹角为且，设点的坐标为，根据三角函数的定义及两角和的正（余）弦公式计算可得. 【详解】解：由条件可得与轴正向的夹角为且，故与轴正向的夹角为且． 设点的坐标为， 则， ， ∴点的坐标为． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（20-21高一下·上海黄浦·月考）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、求15°等特殊角的正弦 【分析】由诱导公式可知点即为，，由三角函数定义可知，平方利用两角和的正弦计算可得结果. 【详解】解：角的终边经过点，即， 由三角函数的定义可得，，所以． 故选：． 2．（18-19高一下·浙江嘉兴·期中）____，____. 【答案】 【知识点】求15°等特殊角的正弦、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的公式的逆用可求，利用和角公式可求. 【详解】, . 题型07 用和、差角的正弦公式化简、求值 / 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题属于“给值求值”问题，关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角． 在化简、求值过程中要注意角的范围． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)用表示，并求的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用商数关系和平方关系列式求解； （2）由，利用平方关系求出，再利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以，即， 又，所以. （2）. 因为，所以， 故. 因为，所以. 所以 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则的值是____________． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由两角和差的正弦公式化简计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 两式相加得，故. 故答案为：. 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，，求的值． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由，再结合两角差的余弦公式计算后可得. 【详解】因为， 所以，， 又，， 所以， ， ． 题型08 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 / 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】求15°等特殊角的正弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【详解】（1） （2）原式 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的正弦公式化简求解即可. 【详解】由两角差的正弦公式得 ． 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：______ 【答案】1 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【详解】原式． 题型09 应用和差角的余弦、正弦公式求角 此类题目是给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小． 由于角的范围过大致误 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，， ，， ，， ， ， 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·河南南阳·月考）若为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由，结合平方关系和和差公式求出的余弦即可得解. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以，所以， 所以 因为，所以. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，是上一点，且．求的大小． 【答案】60° 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【详解】由已知得，，， 则，， ， 又， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 三角恒等变换 10.1.1&10.1.2 两角和与差的余弦、正弦 知识点一 两角和与差的余弦 差的余弦：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 和的余弦：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 即学即练 （25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则____________． 知识点二 两角和与差的正弦 和的正弦：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 差的正弦：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 即学即练 （25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）已知，则___________． 题型01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (1)公式中的α、β均为任意角． (2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例． (3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值； （2）已知均为锐角，求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型02 求15°等特殊角的余弦 给角求值问题的策略： 解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，化为特殊角进行求值． 典｜例｜精｜析 （21-22高一·全国·课后作业）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4) 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为______． 2．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 题型03 用和、差角的余弦公式化简、求值 运用两角差的余弦公式求值的关注点 (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）已知是第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北唐山·月考）设，则__________．（用含的式子表示） 题型04 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 (1)公式的适用条件： 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β． (2)公式的“活”用： 公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面： ①公式本身的变用，如 cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ． ②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]． 不能灵活进行角的变换导致错误. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：． 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型05 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等． 变换角的结构形式不当导致错误. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·安徽六安·期末）已知都是锐角，，求的值. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·广东惠州·期末）已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·天津西青·期末）已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 题型06 求15°等特殊角的正弦 “给角求值”问题，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． 典｜例｜精｜析 （17-18高一上·河北衡水·期末）在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________． 变｜式｜巩｜固 1．（20-21高一下·上海黄浦·月考）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．0 2．（18-19高一下·浙江嘉兴·期中）____，____. 题型07 用和、差角的正弦公式化简、求值 / 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题属于“给值求值”问题，关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角． 在化简、求值过程中要注意角的范围． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)用表示，并求的值. 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则的值是____________． 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，，求的值． 题型08 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 / 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值． (1)； (2)； 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：______ 题型09 应用和差角的余弦、正弦公式求角 此类题目是给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小． 由于角的范围过大致误 典｜例｜精｜析 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·河南南阳·月考）若为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，是上一点，且．求的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $