专题05 三角函数恒等变形与求值（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题05 三角函数恒等变形与求值 目录 专题03 三角函数恒等变形与求值 1 2 类型一、非特殊角型辅助角 2 类型二、辅助角综合应用 4 类型三、sinx与cosx和、积型互化 6 类型四、两角和与差型 8 类型五、半角二倍角与降幂 11 类型六、变角与拆角基础 14 类型七、利用特殊角型拆角 15 类型八、正切型拆角 17 类型九、分式型恒等变形拆角 18 类型十、对偶结构型求值 20 类型十一、恒等变形求角 21 类型十二、正切型恒等变形求最值 23 26 类型一、非特殊角型辅助角 辅助角推导：化正和化余，要注意区分 形式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.(不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角） 详细的推导： 例1．（25-26高一甘肃白银·课后作业 ）设，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：根据关系，结合两角和差正弦公式及余弦公式条件可化为，根据同角关系求，利用二倍角公式求结论； 解法二：由条件可得，设，其中，结合三角函数性质证明，结合二倍角公式求结论. 【详解】解法一：因为， 所以， ， ， ， 代入化简得，故， 则， 所以， 解法二：由题意，得，， 所以， 设，其中， 由，，， 得， 所以. 故选：A 变式1-1． （24-25高一下·四川广安·月考）已知函数，当时函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式得，其中，由题意可得，进而可求得，利用两角差的正弦公式可求值. 【详解】，其中， 当时函数取得最大值，则， 所以，所以， 所以，所以， ， 所以. 故选：C. 变式1-2． （25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的最大值为，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式、三角函数的最值、三角函数的最小正周期等知识求得正确答案. 【详解】因为， 所以，解得， 所以的最小正周期为． 故选：B 变式1-3． （25-26高二上·贵州遵义·期中）已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设有、且，再由已知得、，进而判断各项正误. 【详解】由，且， 由题意，则， ，则， 所以，则或均不可能， ，则不可能，时. 故选：C 类型二、辅助角综合应用 辅助角范围满足：，要注意角度如果有范围限制，是否影响取值。 例2、（25-26高一上·福建厦门·期末）若实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】已知条件变形为，据此利用三角代换，转化为三角函数求最值. 【详解】由可得， 令，则， 所以 （其中）， 故当时，有最小值， 故选：C 变式2-1． （25-26高一上·广东惠州·期末）已知，，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由三角恒等变换得，设，转化为二次函数求最值； 解法二：由二倍角及和差化积得，记，则，转化为二次函数求最值． 【详解】解法 设，则，即 .故选D. 解法2： ，记，则 则. 故选：D. 变式2-2． （2026·江西萍乡·一模）已知，，当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将展开，整理为的形式，利用最大值求出，再根据取最大值时的三角函数关系求出. 【详解】 其最大值为. 所以，化简可得，因为，所以. 将代入，得 ，其中，， 当取最大值时，有，即，. 故： ，. 因此：，所以的值为. 故选：B 变式2-3． （25-26高三上·河北保定·期中）若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，再利用函数单调性求得辅助角的范围，进一步根据三角函数的性质列不等式组求解. 【详解】利用辅助角公式得：（）， 其中，因为 ，所以， 又因为，所以.因为在上单调递增，在上单调递减， 所以为了使得函数在 上单调递减，必须且只需， 所以，所以,解得.当时,在 上单调递减，符合题意.故a的最小值为1.故选：B 类型三、sinx与cosx和、积型互化 与 的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围． 之间的互化关系 1. 2. 例3．（24-25全国专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原式化简为，再令，将转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解值域. 【详解】解： 则且， 令，则， 则，， 当时，， 当时，， 故的值域为.故选：D. 【点睛】本题二次型三角函数的最值问题，考查换元法求函数值域，要注意新元的取值范围，是中档题. 变式3-1． （2026高三上·山西临汾·专题练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．是函数的一个周期 B．是函数的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上单调递减 【答案】B 【分析】根据周期的定义、对称轴的定义，结合换元法、正弦型函数的最值性质、单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为 ， 所以不是函数的一个周期，因此本选项说法不正确； B：因为 ， 所以是函数的一条对称轴，因此本选项说法正确； C：令， 则， 对两边同时平方，得 ，，该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，当时，函数取得最大值， 因为， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此本选项说法不正确； D： 当时，， 所以函数单调递减，且， 由上可知：函数的对称轴为，所以该函数在上先增后减， 因为函数在上不单调，所以本选项说法不正确. 故选：B 变式3-2． （25-26高一上·江苏镇江·期末）已知关于x的方程的两个根为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，由求出，利用立方和公式进行求解，得到答案. 【详解】由韦达定理得， 又，故，解得， 故 .故选：C 变式3-3． （23-24高一下·湖北武汉·期中）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，之间的关系将原函数转化成二次函数的最值问题处理. 【详解】设，根据辅助角公式，， 由，于是， 故，当时，取得最大值. 故选：A 类型四、两角和与差型 恒等变形基础： （1）两角和的正弦公式：_； （2）两角差的正弦公式：_； （3）两角和的余弦公式：_； （4）两角差的余弦公式：； （5）二倍角的正弦公式：__ （6）二倍角的余弦公式：__ （7）二倍角的正切公式：_ 例4．（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题可求得，进而得到，即，进而得到，再代入求即可． 【详解】，即， ， ， 由解得， ， ，则， ，又， ，即， 则，即， 解得或（舍去）． 故选：B． 变式4-1． （25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【分析】结合，运用两角和与差的正弦公式构造出与，再利用诱导公式，即可得解. 【详解】由得，①，②， 即，， ∴ ∵，∴. 故选：D. 变式4-2． （25-26高三上·河南周口·月考）已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用平方差公式将表达式分解，再由两角和与差的正弦公式可得，根据角的范围以及正弦函数单调性代入计算可求得结果. 【详解】因为， 即，因为，所以． 因为，且，所以； 因为，所以， 若时，由，则有， 这与，矛盾，所以， 又因为，所以． 则 ． 故选：A． 变式4-3． （24-25高三下·江苏南通·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，再根据，，计算即可求解. 【详解】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以.故选：C. 类型五、半角二倍角与降幂 恒等变形主要公式体系： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 例5．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系求出，再由求出，及可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 可得，， 所以.故选：A. 【点睛】思路点睛：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出，是该题的通性通法． 变式5-1． （2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以 ， 所以， 即， 所以， 即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解. 变式5-2． （22-23高三上·江苏南京·月考）已知，且，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，化简后可求出，再利用同角三角函数的关系可求出. 【详解】由，得， 所以， 所以， 整理得， ， 所以或， 所以或， ①当时，，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， ②当时，， 因为，所以， 由于，所以解得， ③当时，， 因为，所以， 由于，所以解得， 综上，，或，或， 故选：B 变式5-3． （23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，分别用表示，，，进而求得在，，中一定是有理数的个数. 【详解】， ， 则，则， 令，则为非零有理数， 若，则， 结合上述限制条件可得，此时， 故三者中有理数的个数为3个. 若， 则， 解之得，令，则， 由，可得，t为有理数， 则， ， 则均为有理数. 综上，在，，中，一定是有理数的有3个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：关键是得到是有理数且，从而即可顺利得解. 类型六、变角与拆角基础 常见的变角技巧有： （1） 、.（2）、。（3）、 . （4）、。 （5）、。（6）、等． 例6．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 .故选：D 变式6-1． （25-26高一上·山东枣庄·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为整体，可得，结合三角恒等变换运算求解即可. 【详解】因为，则， 且，可得， 又因为，则， 且，可得， 所以 . 故选：A. 变式6-2． （25-26高三上·河南·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式化简可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，又，所以 因为，故，，所以，即， 故，因为，， 故，，， 所以．故选：D 变式6-3． （2024·河北沧州·二模）化简（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和角即可进行化简. 【详解】. 故选：B. 类型七、利用特殊角型拆角 复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值 例7．（2024·全国·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦后通分，根据两角和差的正余弦公式求解即可. 【详解】 .故选：A. 变式7-1． （23-24高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将切化弦，再由利用两角差的余弦公式化简，即可得解. 【详解】 .故选：B 变式7-2． （23-24高一下·湖南·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合两角和差公式分析求解. 【详解】由题意可得： ， 所以.故选：C. 变式7-3．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题得，再根据求得，，最后根据和角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，即所以，， 所以故选：C 类型八、正切型拆角 正切型公式： tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan 2α＝ 例8．（25-26高三上·海南海口·月考）若，，则（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，然后利用两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】由，得，所以． 由， 得．故选：D 变式8-1．（25-26高三上·辽宁·期末）已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将拆成并用正弦差角公式，结合已知条件化简得到与的倍数关系，从而先求，再利用正切和角公式解出，最后计算的值. 【详解】由可得： 代入条件，得 移项整理则 ，代入可得即 ，代入可得： 故选：A 变式8-2． （2025·四川成都·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果. 【详解】设 ，，则， 已知，即；已知，即， 由得：，即设，则， 又，解得，因此， 所求， 综上，.故选：D 变式8-3．（25-26高一上·陕西西安·期末）若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 【答案】D 【分析】先由，运用正切的差角公式计算出，再利用正切的二倍角公式，解得. 【详解】 ，又因为， 则，令，则有， 解得或，即或.故选：D. 类型九、分式型恒等变形拆角 分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。 所以，通过“和、差化积”思维，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积的形式，便于约去。 例9．（23-24高一下·江苏连云港·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦、通分、再根据两角差的正弦公式、二倍角公式和诱导公式可得结果. 【详解】 .故选：A. 变式9-1． （25-26高一上·河南周口·期末）（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由正余弦二倍角公式及两角差的正弦公式转化为特殊角进行化简，进而求解. 【详解】 .故选：B. 变式9-2． （25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由两角差正弦公式结合题意可得答案. 【详解】.故选：A 变式9-3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】由题意有： ，故选：B. 类型十、对偶结构型求值 对称结构，又叫“对偶”结构，一般是正弦对偶余弦，减法对偶减法。 常见的对称型结构： 为常见的对偶结构 例10．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的余弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】由两边平方相加得， 整理得，所以.故选：D 变式10-1． （25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及平方关系、和角正弦公式得，且，利用正弦函数的单调性有，进而得到的正余弦值，即可得. 【详解】因为①，②， 由①+②得，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又函数在上单调递增，所以，即， 所以，所以. 故选：B 变式10-2． （25-26高三上·浙江温州·期末）若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出的值. 【详解】因为 ， ， 所以， 即，解得， 故.故选：B. 变式10-3． （2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解. 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得.又，，，∴， ∴，∴，∴，∴.故选：A. 类型十一、恒等变形求角 角求角主要是求求复合型角， 1. 以给了函数值的角度为基角来拆角。 2. 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号 3. 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度 例11．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和与差的正弦公式及同角三角函数基本关系、二倍角公式计算可得，即可解出，结合范围即可得解. 【详解】 ， 因此，即， 则，解得或（舍去）， 又因为，所以. 故选：C. 变式11-1．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，，，， ，， ，， 故选：C. 变式11-2． （25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，，则，，所以， 因为，所以，故. 故选：B. 变式11-3． （25-26高三上·陕西西安·月考）已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，又得，进而得，计算即可求解. 【详解】由， 又，所以， 所以， 所以， 又，所以，所以，故选：D. 类型十二、正切型恒等变形求最值 恒等变形求最值，尝尝构造以正切为主元的函数，利用均值不等式，或者函数性质来求最值。 例12．（2025高一·全国·专题练习）在锐角中，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，由利用基本不等式和上述结论，可推得，从而可得的最小值. 【详解】由，可得． 因为为锐角三角形，所以均大于0． 则（*）， 当且仅当时取等号．而 ， 则由（*）可得：， 即，当且仅当， 即时取等号. 即当或时， 的最小值是8． 故选： D. 变式12-1． （2025·河南·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将目标式化为，令，得到线性关系式为，结合辅助角、二倍角余弦公式及三角函数的性质有最大值为，由及二次函数的性质求最大值，注意取值条件，即可得答案. 【详解】由 ①， 令，，则①式， 所以的最大值为 ，， 所以，令， 当，即时，， 此时①式，即， 综上，，时目标式取最大值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将目标式化为得到线性关系式为关键. 变式12-2． （24-25·福建莆田课后作业 ）已知，为锐角，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的运用，涉及诱导公式、两角和的正切公式，考查化简计算能力. 变式12-3． （2025 全国专题练习）已知函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，并求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出函数的最小值. 【详解】， 由题意可知，，则，， 因此，当时，函数取得最小值. 故选：D. 【点睛】本题考查二次型余弦函数最值的计算，涉及三角恒等变换思想的应用，容易忽略范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 所以. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 【答案】A 【分析】根据题意，得到，把所求式化为“齐次式”，代入计算，即可求解. 【详解】由，可得， 则 3．（2026·江西·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得 ，所以， 所以． 4．（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得含的表示，即可根据基本不等式求解最值. 【详解】由得，即， 由于，为锐角，故， 设，则 ， 令，当且仅当时取到等号.故的最大值为. 5．（25-26高一上·江苏·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．5 【答案】C 【分析】先化为，再利用基本不等式求得最小值即得． 【详解】因为，则， 因为， 可得 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是8. 故选：C． 6．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】应用诱导公式化简，再结合两角差正弦公式求解. 【详解】 原式 . 故选：C. 7．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先将已知等式化简得到与的关系，再逐一验证选项是否满足该关系. 【详解】已知， 变形可得： 因此（）. 对于选项A：，时，则，成立. 对于选项B：，时，则，成立. 对于选项C：时，则，故该情形不成立. 对于选项D：，时，则，成立. 故选：C 8．（2025高三·全国·专题练习）（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值 【详解】 . 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一下·云南·开学考试）已知为锐角，且，则下列选项正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】∵，∴，∵为锐角，∴，A正确； ∵，两边同时平方得， ∴，B正确； ∵，又为锐角， ∴，C错误； 联立与可得，，故，D正确． 10．（2026高一下·全国·专题练习）若，则函数的值可以为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】CD 【分析】先应用两角和正弦公式计算化简，再结合正切函数单调性得出值域即可得出选项. 【详解】， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以在上单调递增， 故，即函数的值域为， 故选：CD． 11．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，对，有恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据对不等式化简，令，由题意得，恒成立，令，分为和两种情况分别求的最大值，即可求出答案. 【详解】因为， 所以不等式可化为， 令， 则可化为， 由题意得，恒成立， 令， 因为，则函数开口向下，图象的对称轴为，， 当时，即时，函数在上单调递减， 则，即， 又，两式相加得，当且仅当，即时等号成立， 故此时的最大值为； 当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 则，解得，则， 则， 令，则， 因为，则， 则， 其中，， 所以当时，取得最大值为， 此时，则， 则，当且仅当，时，等号成立，满足， 故此时的最大值为， 又， 所以的最大值为. 故答案为：. 13．（2025高三·全国·专题练习）函数在上的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】由题可得，令，则， 从而得到，运用函数的单调性求其最值即得. 【详解】由 令，则， 因，则，则， 所以， 因函数在上为减函数， 则，故，当且仅当时等号成立， 故在上的最小值为． 故答案为： 14．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，且，则的最大值为________. 【答案】 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【详解】由，得， 则， 则. 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立，从而， 此时， 又因为，所以当取得最大值时，也取得最大值， 此时，平方得：， 解得：，又因为，所以.故最大值为.故答案为： 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数恒等变形与求值 目录 专题03 三角函数恒等变形与求值 1 2 类型一、非特殊角型辅助角 2 类型二、辅助角综合应用 4 类型三、sinx与cosx和、积型互化 6 类型四、两角和与差型 8 类型五、半角二倍角与降幂 11 类型六、变角与拆角基础 14 类型七、利用特殊角型拆角 15 类型八、正切型拆角 17 类型九、分式型恒等变形拆角 18 类型十、对偶结构型求值 20 类型十一、恒等变形求角 21 类型十二、正切型恒等变形求最值 23 26 类型一、非特殊角型辅助角 辅助角推导：化正和化余，要注意区分 形式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.(不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角） 详细的推导： 例1．（25-26高一甘肃白银·课后作业 ）设，若，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1． （24-25高一下·四川广安·月考）已知函数，当时函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2． （25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的最大值为，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 变式1-3． （25-26高二上·贵州遵义·期中）已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（   ） A． B． C． D． 类型二、辅助角综合应用 辅助角范围满足：，要注意角度如果有范围限制，是否影响取值。 例2、（25-26高一上·福建厦门·期末）若实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 变式2-1． （25-26高一上·广东惠州·期末）已知，，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 变式2-2． （2026·江西萍乡·一模）已知，，当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-3． （25-26高三上·河北保定·期中）若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 类型三、sinx与cosx和、积型互化 与 的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围． 之间的互化关系 1. 2. 例3．（24-25全国专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式3-1． （2026高三上·山西临汾·专题练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．是函数的一个周期 B．是函数的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上单调递减 变式3-2． （25-26高一上·江苏镇江·期末）已知关于x的方程的两个根为，，，则（   ） A． B． C． D． 变式3-3． （23-24高一下·湖北武汉·期中）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 类型四、两角和与差型 恒等变形基础： （1）两角和的正弦公式：_； （2）两角差的正弦公式：_； （3）两角和的余弦公式：_； （4）两角差的余弦公式：； （5）二倍角的正弦公式：__ （6）二倍角的余弦公式：__ （7）二倍角的正切公式：_ 例4．（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式4-1． （25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 变式4-2． （25-26高三上·河南周口·月考）已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．或 变式4-3． （24-25高三下·江苏南通·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 类型五、半角二倍角与降幂 恒等变形主要公式体系： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 例5．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【点睛】思路点睛：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出，是该题的通性通法． 变式5-1． （2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2． （22-23高三上·江苏南京·月考）已知，且，则可能为（    ） A． B． C． D． 变式5-3． （23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【点睛】关键点点睛：关键是得到是有理数且，从而即可顺利得解. 类型六、变角与拆角基础 常见的变角技巧有： （1） 、.（2）、。（3）、 . （4）、。 （5）、。（6）、等． 例6．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式6-1． （25-26高一上·山东枣庄·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2． （25-26高三上·河南·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3． （2024·河北沧州·二模）化简（    ） A．1 B． C．2 D． 类型七、利用特殊角型拆角 复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值 例7．（2024·全国·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 变式7-1． （23-24高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B．1 C． D． 变式7-2． （23-24高一下·湖南·月考）（    ） A． B． C． D． 变式7-3．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 类型八、正切型拆角 正切型公式： tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan 2α＝ 例8．（25-26高三上·海南海口·月考）若，，则（    ） A．-2 B． C．1 D．2 变式8-1．（25-26高三上·辽宁·期末）已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 变式8-2． （2025·四川成都·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 变式8-3．（25-26高一上·陕西西安·期末）若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 类型九、分式型恒等变形拆角 分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。 所以，通过“和、差化积”思维，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积的形式，便于约去。 例9．（23-24高一下·江苏连云港·期中）（    ） A． B． C． D． 变式9-1． （25-26高一上·河南周口·期末）（   ） A． B． C． D．1 变式9-2． （25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 变式9-3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）的值为（   ） A． B． C． D． 类型十、对偶结构型求值 对称结构，又叫“对偶”结构，一般是正弦对偶余弦，减法对偶减法。 常见的对称型结构： 为常见的对偶结构 例10．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式10-1． （25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式10-2． （25-26高三上·浙江温州·期末）若且，则（    ） A． B． C． D． 变式10-3． （2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 类型十一、恒等变形求角 角求角主要是求求复合型角， 1. 以给了函数值的角度为基角来拆角。 2. 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号 3. 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度 例11．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 变式11-1．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式11-2． （25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式11-3． （25-26高三上·陕西西安·月考）已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 类型十二、正切型恒等变形求最值 恒等变形求最值，尝尝构造以正切为主元的函数，利用均值不等式，或者函数性质来求最值。 例12．（2025高一·全国·专题练习）在锐角中，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．8 变式12-1． （2025·河南·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 变式12-2． （24-25·福建莆田课后作业 ）已知，为锐角，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式12-3． （2025 全国专题练习）已知函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 3．（2026·江西·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．5 6．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）（   ） A． B． C． D．1 7．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）（   ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．（25-26高一下·云南·开学考试）已知为锐角，且，则下列选项正确的有（    ）． A． B． C． D． 10．（2026高一下·全国·专题练习）若，则函数的值可以为（   ） A． B． C．3 D．4 11．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，对，有恒成立，则的最大值为______． 13．（2025高三·全国·专题练习）函数在上的最小值为_____. 14．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，且，则的最大值为________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $