培优01 勾股定理及其逆定理全章18种题型（专项训练）数学新教材人教版八年级下册
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内容正文：
培优01 勾股定理及其逆定理
题型1 求两点间的距离
1．（2026八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理在平面直角坐标系中的应用．
【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为，
故选：C．
2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可．
【详解】解：点，的坐标分别为，，
．
故选：B．
3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）若点，可知，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】解：，
∵把式看成点到两点和的距离之和，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示：
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即的值最小，且最小值为的长，
∵，
∴的最小值为5，
故选：B．
4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知点，点，则线段的长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：∵点，点，
∴线段的长度是，
故选：A．
题型2 勾股数问题
(1)判断这组数是不是三个正整数；
(2)若不都是正整数，则它们不是勾股数；若都是正整数，则找到最大数并计算其平方；
(3)计算较小的两个整数的平方和，看其是不是等于最大整数的平方，若等于，则是勾股数，反之则不是。
1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列各组数中，是一组勾股数的是（ ）
A．1，1， B． C． D．5，12，13
【答案】D
【分析】此题考查了勾股数，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
根据勾股数的定义逐一判断即可．
【详解】解：选项A：不是整数，不是勾股数；
选项B：都不是整数，不是勾股数；
选项C：都不是整数，不是勾股数；
选项D：5，12，13都是正整数，且，是勾股数；
故选：D．
2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中，是勾股数的是（）
A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12
【答案】C
【分析】本题考查勾股数的定义，掌握知识点是解题的关键．
勾股数是满足勾股定理的正整数组，需同时满足正整数和的条件，即可解答．
【详解】解：勾股数需为正整数且满足，
对于A：，不符合；
对于B：，，不是正整数，不符合；
对于C：，相等，且均为正整数，符合；
对于D：，不符合；
故选C．
3．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．，，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．
根据勾股数的定义，逐一验证各选项即可．
【详解】解：A：，均非正整数，故不是勾股数；
B：8，15，17均为正整数，且，，则，是勾股数；
C：非整数，故不是勾股数；
D：4，5，6均为正整数，但，，，故不是勾股数；
故选：B．
4．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握勾股数需为正整数且满足勾股定理 ，逐项判断即可.
【详解】解：勾股数定义要求是正整数且满足 ，
A选项为分数，非正整数，不符合题意；
B选项为小数，非正整数，不符合题意；
C选项：，，，不符合题意；
D选项：，，，符合题意．
故选D.
题型3 直角三角形的三边的图形面积问题
考试中我们常会见到以直角三角形的三边为基础，向外作半圆、正方形、等边三角形，它们都具有相同的结论，即S3=S1+S2与直角三角形的三边相连的图形换成正五边形、正六边形等时，结论同样成立。
1．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2025 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和），
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……，
以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为．
故选：A．
2．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵两个正方形的面积分别为8和14，且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积．
故选：C．
3．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为，和，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，根据图形结合勾股定理可知：大半圆的面积等于两个小半圆的面积之和，进行求解即可．
【详解】解：设直角三角形的三边分别为、、，则，
由图可知，，，，
，
故选：C．
4．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，由勾股定理和等腰直角三角形的定义得，，，，，，则，推出，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，分别以四边形的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形，
，，，，，，
，
，
，
故选：B．
5．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图形可知，，然后利用图形的面积列出等式进行整理即可．
【详解】解：由图可得，，，
故选：B．
题型4 勾股定理与网格问题
一般涉及到勾股定理的逆定理，利用网格构造直角三角形求边长，涉及到求三角形的底和高的时候，一般用等积法。
1．（25-26八年级上·河南周口·期末）在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形，
则斜边，
故选A．
2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理网格问题，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
根据勾股定理进行解答即可．
【详解】解：当在正方形的边上时，的长为：，，，
当在格点的对角线上时，如图，
，，，
，，，
综上，只有A符合题意．
故选：A．
3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图，
，
①若，则符合要求的有：共2个点；
②若，则符合要求的有：共3个点；
这样的C点有5个．
故选：C．
4．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出．
【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．
由题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
即中边上的高为．
故选：D．
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为_________．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可．
【详解】解：如图，作，
由勾股定理得，
∵，
，
解得：．
故答案为：．
6．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为______．（可以用含根号的式子表示）
【答案】/
【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，先求解，再进一步求解即可．
【详解】解：由勾股定理可得，，
则，
点表示的数是1，
，
点所表示的数为．
故答案为：．
7．（25-26八年级上·浙江台州·月考）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上．
(1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
(2)在轴上求作点，使得最小，并求出该最小值．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，找出点，再依次连接，得出，并写出点的坐标，即可作答．
（2）先理解题意，找出点B关于轴对称的点，再连接，与轴交于点，然后运用勾股定理列式计算，得出的最小值，即可作答．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标；
（2）解：如图，点即为所求，
∴．
8．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上．请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，作的平分线．
(2)如图②，作边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据勾股定理取格点，连接， 再根据全等三角形的判定与性质即可得射线即为的平分线；
（2）先连接，先根据网格特点可得，根据（1）结合等腰三角形三线合一可得边和边上的高交于一点，连接，并延长交于点即为边上的高．
【详解】（1）解：如图①，射线即为所求．
（2）解：如图②，线段即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的高，熟练掌握勾股定理和网格特点是解题关键.
题型5 勾股定理与折叠问题
折叠问题明确折叠前后的图形是全等图形，找到对应的相等边和相等角，转换到同一个直角三角形中，设未知数求解。
1．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质，推出，根据三线合一，得到，求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，；
故选C．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度．
利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度．
【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后．
在中，，，，
∴．
∴．
∵，
∴．
故选：A．
3．（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.2
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键．
先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由、、，满足，
故是直角三角形，，
沿翻折后，落在上的点，
因此：，，，
即，设，则，；
又，
在中，
，即，
解得，即．
故选：C．
4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长．
【答案】
【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接交于点．
将沿折叠得到，
，，垂直平分．
为的中点，
，
．
，
，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
．
在中，由勾股定理，得．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键．
5．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，．
(1)求证：．
(2)若，，则的面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)78
【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用即可判定；
（2）设未知数，将问题转化到中利用勾股定理建立方程求出结果即可．
【详解】（1）解：四边形是长方形，
，，
．
由折叠的性质，得，，，
，，，
．
在和中，
．
（2）解：由折叠的性质，得．
设，则．
在中，，
，解得．
，
，
．
【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题的关键．
题型6 勾股定理的证明方法
1．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案．
【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意；
B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意；
C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意；
D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意；
故选：D．
2．（21-22八年级下·河南三门峡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答．
【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和，
则其面积为，
∴，故选项A能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和，
则其面积为，
∴，故选项B不能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和，
则其面积为，
∴，即，故选项C能证明勾股定理；
D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和，
则其面积为，
∴，即，故选项D能证明勾股定理．
故选：B．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A中结论，本选项不符合题意．
D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
故选：B．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法．
根据列出关系式，进而得出结论．
【详解】证明：如图．，
，
，
．
5．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”．
(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．
(2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键．
（1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可；
（2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积．
【详解】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c，
∴最外面的大正方形的面积为；
∵中间小正方形的边长为，
∴中间小正方形的面积为；
又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴或（舍去），
∴中间小正方形的面积为．
6．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
（3）中，，垂足为，请求出的值．
【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案；
（3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出．
【详解】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，即千米，
(千米)，
答：新路比原路少千米；
（3）解：如图，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
题型7 勾股定理与无理数
把a写成a=m²+n²(m,n为正整数)的形式，作一直角三角形，使两直角边长分别为m,n,则斜边的长为。
1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在数轴上点M表示的实数是（ ）
A．2.2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案．
【详解】解：如图，由勾股定理可得
∴，
∴在数轴上点M表示的实数是．
故选：C．
2．（22-23八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理与无理数，无理数的估算，利用勾股定理求出的长，从而得到点P所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∴P点所表示的数就是，
∵，
∴，
即点P所表示的数介于3和4之间，
故选C
3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，数轴上点A表示的实数是___________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与无理数；理解任意实数都可以用数轴上的点表示；由图知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定．
【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为，
∴点A表示的数为；
故答案为：．
4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
∴点所表示的数为：．
故答案为：．
5．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A．
(1)数轴上点A所表示的数为______；
(2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”）
(3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹）
【答案】(1)
(2)<
(3)作图见详解，理由见详解
【分析】本题考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，实数的大小比较及无理数在数轴上的几何作图．
（1）先求的长度，再利用“圆的半径相等”确定的长度，最后结合数轴位置确定数；
（2）利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”，把两个数转化为“负的平方根”形式，再比较被开方数；
（3）构造直角边平方和为10的直角三角形，利用勾股定理得到斜边为，再以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴的点即为对应的点．
【详解】（1）解：∵，，
∴数轴上点A所表示的数为，
故答案为：．
（2）解：∵，，，
∴，
故答案为：<．
（3）解：如图所示为所求：
理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使，
在中，，
以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点F，此时，
∴点F即为对应的点．
6．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形．
(1)在图1中画一个面积为8的正方形；
(2)在图2中画一个三边长分别为，，的三角形；
(3)在图3中，利用方格，在数轴上画出表示实数的点．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
（1）画出边长为的正方形即可；
（2）画出三边长分别为，，的三角形即可；
（3）画出直角三角形直角边分别为1，3再以O为圆心，以为半径向右画弧与数轴交于一点，这一点即为表示的点．
【详解】（1）解：如图1，正方形即为所作．
（2）解：如图，即为所作．
由作法得：，，；
（3）解：如图，即为所作．
∵直角三角形直角边分别为1，3，
∴．
7．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)三边的长分别、、，求的面积．小明同学的做法是：由勾股定理得，，，于是画出线段，从而画出，如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________；
(2)已知三边长分别为，，，在图2方格图（每个小方格边长为1）中画出格点，直接写出的面积为___________；
(3)已知三边长分别为，，（，，且）请在图3的长方形网格中（设每个小长方形的宽为，长为）画出格点，并求其面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了三角形的面积，实数与勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
（1）用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解；
（2）利用构图法求出的面积，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解；
（3）先画出三边长分别为、、的，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：的面积为；
故答案为：；
（2）解：①∵，，
画出图形，如图：
∴；
（3）解：∵，，
如图，
∴
题型8 求梯子滑落高度
抓住梯子长度不变的原则，在不同的直角三角形中，利用勾股定理求出长度。
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键．
根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度．
【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高
故选：D
度，
2．（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米．
(1)这个梯子顶端离地面有几米；
(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）
【答案】(1)12米
(2)米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出，进而求出即可
【详解】（1）解：根据题意，得米，米，，
∴，
答：梯子顶端离地面有12米；
（2）解：根据题意，得米，米，
∴米，
∴，
∴梯子的顶端下滑了米．
题型9 求旗杆高度
理解题意，弄清楚绳子长度和旗杆构成的直角三角形的问题，设未知数求解。
1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，绳子长度比木棍高度多3尺，当绳子拉直时，木棍高度、水平距离8尺和绳子长度构成直角三角形，利用勾股定理求解．
【详解】解：设绳子长度为尺，则木棍高度为尺，
依题意，当绳子拉直底端着地时，有，
解得，
答：绳长为尺
2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题
测量学校旗杆的高度
工具
绳子、皮尺等
测量示意图
说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据
测量项目
数值
图1中的长度
1米
图2中的长度
5米
根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度．
【答案】米
【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解．
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米
由图2可得，在中，，
解得，，
答：旗杆的高度为12米．
题型10 求小鸟飞行距离
两个树梢的距离和高树与矮树树顶的水平线构造直角三角形，利用勾股定理解决。
1．（25-26九年级上·湖北·月考）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米，
∴米，
∴米，
∴小鸟至少飞行米，
故选：B．
2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（ ）
A．13米 B．12米 C．10米 D．5米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，如图所示，为树，且，为两树距离12米，过C作于E，则，，在直角三角形中利用勾股定理即可求出．
【详解】解：如图所示，为树，且，为两树距离12米，
过C作于E，则，，
在直角三角形中，
．
故选：A．
3．（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵树高14米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选：B．
题型11 大树折断问题
此类问题一般求折断的长度或者大树的高度，构造直角三角形，利用勾股定理，设未知数解决。
1．（25-26八年级下·全国·周测）由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
如图，过点作交的延长线于点．则根据题意可以得到，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长，可得到的长，即为甲树原来的高度．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点．
由题意，得，，．
在中，，
．
在中，，
．
故甲树原来的高度是．
故选：C．
2．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得：
，
故选：B．
3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺．
由题意可得：，
故选：C．
题型12 水中筷子问题
此类问题一般求取值范围的题型较多，筷子竖直的时候在杯子中的最短，杯子外的最长；筷子斜放的时候，杯子里的部分最长，杯子外的部分最短。利用勾股定理求解。
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
根据勾股定理求出这只铅笔在笔筒的内部的长度范围，进而求出这只铅笔的长度范围，然后判断即可．
【详解】解：∵笔筒的内部底面直径是，内壁高，
∴这只铅笔在笔筒的内部的长度最短为，最长为，
∴这只铅笔的长度最短为，最长为，
只有D符合题意，
故选：D．
2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键．
设水深为x尺，则芦苇长为尺，将芦苇顶端拉向岸边时，形成直角三角形，其中直角边为水深x尺和池中心到岸边的距离5尺（边长一丈尺，半边长5尺），斜边为芦苇长尺，根据勾股定理列方程．
【详解】解：∵水深为x尺，则芦苇长为尺，
∵池塘边长为10尺，中心到岸边的距离为5尺，
∴由勾股定理，得：，
故所列方程为．
故选：B．
3．（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可．
【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，
故底面直径为，高为，
则，
故圆柱内部吸管长，
又露出的部分至少为，
故吸管长．
故选：A．
1．（20-21八年级下·新疆克孜勒苏·期中）将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理可得，杯子斜对角长为，可知当筷子垂直杯子底面放时，筷子露在杯子外面的长度最长，当筷子斜对角放时，筷子露在杯子外面的长度最短，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理可得，杯子斜对角长为，
当筷子垂直杯子底面放时，筷子露在杯子外面的长度最长，当筷子斜对角放时，筷子露在杯子外面的长度最短，
∴筷子露在杯子外面的长的取值范围为，
即，
故选：．
2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
【答案】芦苇的长度为13尺
【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：芦苇的长度为13尺．
题型13 航海问题
先弄清楚方位角，找到已知条件可以得出的直角三角形，没有直角三角形可构造直角三角形，利用勾股定理解决。
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取）
【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断．
【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，
由题意可知，，海里，
，
，
，
海里，
，，
海里，
在中，由勾股定理得
，
渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
2．（24-25八年级下·四川南充·月考）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离．
【答案】
【分析】根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可．
本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出，的长度．
【详解】解：由题意，得：，，
中，，
由，
∴，
中，，
答：C岛和A港之间的距离．
3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东方向上．
(1)若过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 ；
(2)求 C，P 两点之间的距离 ；
(3)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由 B 处开始 沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域．
【答案】(1)
(2)
(3)没有触礁危险，理由见解析
【分析】本题考查直角三角形的性质及勾股定理应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）作构造直角三角形，利用含角的直角三角形边的关系和勾股定理，得出，，进而求的值．
（2）设，依据直角三角形边的关系和积勾股定理表示、，结合列方程，求解得．
（3）计算与的差值，判断差值正负，确定是否有触礁危险．
【详解】（1）过点作，交的延长线于点，
是直角三角形，
由题可知，，
，，
∴，
；
故答案为：；
（2）解：过点作，交的延长线于点，
由题意得，，，海里，
∴，，
在中，
，
设海里，则海里，海里，海里，
∵海里，
即
，
海里，
答：，之间的距离海里；
（3）解：，
∵，，
∴没有触礁的危险．
题型14 判断汽车是否超速问题
1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？
【答案】没有超速，理由见详解
【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可．
【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，
∴小车的速度为，
∵，
∴这辆小汽车没有超速．
2．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【答案】这辆小汽车超速了．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
根据勾股定理可得：，
∴小汽车的速度为；
∵，
∴这辆小汽车超速行驶，
答：这辆小汽车超速了．
3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（）
【答案】未超速，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答．
【详解】解：在中，，
∴是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
．
此车的速度为．
，，
此车未超速．
题型15 判断是否受台风影响
1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由．
【答案】火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而等面积法求得，与比较大小，即可求解．
【详解】解：火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由如下，
如图，过点作于点，
∵与恰好互余，即，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响．
2．（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．
(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？
【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区
(2)
【分析】本题考查行程问题，方向角；
（1）求出当台风中心移动到距时，轮船是否通过点即可判断；
（2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
方法一：
设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，，
∵，
∴，
整理得，
解得，
当时，，此时轮船还没有经过，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时，
此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
（2）解：如图，取点、，使，
当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时；
轮船从点运动到点用时（小时），
设台风中心小时从移动到，则，
∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响，
∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，，
∴轮船停止航行时间为（小时），
∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时．
题型16 判断三边能否构成直角三角形
如果三角形的三边长 a、b、c 满足：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角。
1．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2，
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形．
【详解】A. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C. ∵，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ∵，，
∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意．
2．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知三边长分别为，，，且满足，则是（ ）
A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形
C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边．
【详解】解：∵，，，且，
∴，，，
∴，，，
解得，，，
∵，，
∴，
根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长，
故选C．
3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形
C．在中，若，则是直角三角形
D．的三边分别为，若，则是直角
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理和三角形内角和定理，对于A，要分两种情况：边长为8的边为直角边和边长为8的边为斜边，利用勾股定理可求出第三边的长；对于B、D，利用勾股定理的逆定理可进行判断；对于C，利用三角形内角和定理可进行判断．
【详解】解：A、当边长为8的边为直角边时，则第三边的长为，当边长为8的边为斜边时，则第三边的长为，原说法错误，不符合题意；
B、设这个三角形的三边长分别为，
∵，
∴该三角形是直角三角形，原说法正确，符合题意；
C、∵在中，，且，
∴，，
，
∴不是直角三角形，原说法错误，不符合题意；
D、若，则是直角，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和性质，根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一分析各选项能否判定为直角三角形即可．
【详解】解：设，，，
∵，，
∴，
∴由勾股定理逆定理可知是直角三角形，
∴A选项不符合题意．
设，，，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴不是直角三角形，
∴B选项符合题意．
∵，
∴，
∴由勾股定理逆定理可知是直角三角形，
∴C选项不符合题意．
∵，且
∴
解得
∴是直角三角形，
∴D选项不符合题意．
故选：B．
题型17 勾股定理的逆定理求解问题
1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，已知四边形中，，求四边形的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
在中，由勾股定理，得，
在中，，
，
为直角三角形，且，
，
．
2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，．
(1)请判断的形状，并说明理由；
(2)过点作于点，求线段的长．
【答案】(1)是直角三角形，见解析；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由勾股定理求出，得出，从而求解；
（）由，即，所以，然后通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由：
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵是直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一：实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分
道路
长度（米）
80
60
60
36
64
50
任务二：数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路和的长；
(2)任务三：方案设计
根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路．
【答案】(1)道路的长为50米；的长为米；
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，可求解；利用勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法即可求解；
（2）由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故道路的长为50米；
∵，，，，
∴，，
∴，
又∵，
在中，
∴，
∴，，
∵
∴
故的长为米；
（2）解：由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示：
．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，两点之间线段最短，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
4．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D．
(1)已知，，，求证：；
(2)已知．
①若，，求的长；
②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论；
（2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可．
【详解】（1）证明∶∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①设，则，
∴，
∴，即，解得：（已舍弃负值），
∴．
②根据勾股定理得，，
∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
题型18 勾股定理逆定理的实际应用
1．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．
(1)连接，求的长度．
(2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用．
【答案】(1)15米
(2)22800元
【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可．
（2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
故的长为15米．
（2）解：∵，，，
且，
∴，
∴四边形面积为：
=．
根据题意，得（元）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，．
(1)与垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．
【答案】(1)与垂直，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键；
（1）根据题意易得，然后问题可求解；
（2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：与垂直，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可设，则有，
∵，
∴，即，
解得：，
∴．
3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示：
项目主题
为校园空地设计创意花坛
项目背景
“综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛．
实践工具
卷尺、铅笔等．
设计说明
如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇．
测量数据
，，，．
项目任务
分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积．
请你完成项目任务．
【答案】种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得，进而由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，
在中，，
由勾股定理可得：，
∴，
又∵，
∴，则是直角三角形，，
∴种植矮牵牛的面积为，
种植三色堇的面积为．
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培优01 勾股定理及其逆定理
题型1 求两点间的距离
1．（2026八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）若点，可知，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知点，点，则线段的长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型2 勾股数问题
(1)判断这组数是不是三个正整数；
(2)若不都是正整数，则它们不是勾股数；若都是正整数，则找到最大数并计算其平方；
(3)计算较小的两个整数的平方和，看其是不是等于最大整数的平方，若等于，则是勾股数，反之则不是。
1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列各组数中，是一组勾股数的是（ ）
A．1，1， B． C． D．5，12，13
2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中，是勾股数的是（）
A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12
3．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．，，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6
4．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25
题型3 直角三角形的三边的图形面积问题
考试中我们常会见到以直角三角形的三边为基础，向外作半圆、正方形、等边三角形，它们都具有相同的结论，即S3=S1+S2与直角三角形的三边相连的图形换成正五边形、正六边形等时，结论同样成立。
1．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2025 C． D．
2．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为，和，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．5
5．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型4 勾股定理与网格问题
一般涉及到勾股定理的逆定理，利用网格构造直角三角形求边长，涉及到求三角形的底和高的时候，一般用等积法。
1．（25-26八年级上·河南周口·期末）在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（ ）．
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（ ）
A．3 B． C．5 D．
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为_________．
6．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为______．（可以用含根号的式子表示）
7．（25-26八年级上·浙江台州·月考）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上．
(1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
(2)在轴上求作点，使得最小，并求出该最小值．
8．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上．请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，作的平分线．
(2)如图②，作边上的高．
题型5 勾股定理与折叠问题
折叠问题明确折叠前后的图形是全等图形，找到对应的相等边和相等角，转换到同一个直角三角形中，设未知数求解。
1．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.2
4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长．
5．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，．
(1)求证：．
(2)若，，则的面积为__________．
题型6 勾股定理的证明方法
1．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
2．（21-22八年级下·河南三门峡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程．
5．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”．
(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．
(2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积．
6．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
（3）中，，垂足为，请求出的值．
题型7 勾股定理与无理数
把a写成a=m²+n²(m,n为正整数)的形式，作一直角三角形，使两直角边长分别为m,n,则斜边的长为。
1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在数轴上点M表示的实数是（ ）
A．2.2 B． C． D．
∴，
2．（22-23八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，数轴上点A表示的实数是___________．
4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________．
5．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A．
(1)数轴上点A所表示的数为______；
(2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”）
(3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹）
6．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形．
(1)在图1中画一个面积为8的正方形；
(2)在图2中画一个三边长分别为，，的三角形；
(3)在图3中，利用方格，在数轴上画出表示实数的点．（保留作图痕迹）
7．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)三边的长分别、、，求的面积．小明同学的做法是：由勾股定理得，，，于是画出线段，从而画出，如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________；
(2)已知三边长分别为，，，在图2方格图（每个小方格边长为1）中画出格点，直接写出的面积为___________；
(3)已知三边长分别为，，（，，且）请在图3的长方形网格中（设每个小长方形的宽为，长为）画出格点，并求其面积．
∴
题型8 求梯子滑落高度
抓住梯子长度不变的原则，在不同的直角三角形中，利用勾股定理求出长度。
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高
2．（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米．
(1)这个梯子顶端离地面有几米；
(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）
题型9 求旗杆高度
理解题意，弄清楚绳子长度和旗杆构成的直角三角形的问题，设未知数求解。
1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？
2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题
测量学校旗杆的高度
工具
绳子、皮尺等
测量示意图
说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据
测量项目
数值
图1中的长度
1米
图2中的长度
5米
根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度．
题型10 求小鸟飞行距离
两个树梢的距离和高树与矮树树顶的水平线构造直角三角形，利用勾股定理解决。
1．（25-26九年级上·湖北·月考）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（ ）
A．13米 B．12米 C．10米 D．5米
3．（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
题型11 大树折断问题
此类问题一般求折断的长度或者大树的高度，构造直角三角形，利用勾股定理，设未知数解决。
1．（25-26八年级下·全国·周测）由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型12 水中筷子问题
此类问题一般求取值范围的题型较多，筷子竖直的时候在杯子中的最短，杯子外的最长；筷子斜放的时候，杯子里的部分最长，杯子外的部分最短。利用勾股定理求解。
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（ ）
A． B． C． D．
1．（20-21八年级下·新疆克孜勒苏·期中）将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
题型13 航海问题
先弄清楚方位角，找到已知条件可以得出的直角三角形，没有直角三角形可构造直角三角形，利用勾股定理解决。
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取）
2．（24-25八年级下·四川南充·月考）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离．
3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东方向上．
(1)若过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 ；
(2)求 C，P 两点之间的距离 ；
(3)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由 B 处开始 沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域．
题型14 判断汽车是否超速问题
1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？
2．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（）
题型15 判断是否受台风影响
1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由．
2．（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．
(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？
题型16 判断三边能否构成直角三角形
如果三角形的三边长 a、b、c 满足：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角。
1．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2，
2．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知三边长分别为，，，且满足，则是（ ）
A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形
C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形
3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形
C．在中，若，则是直角三角形
D．的三边分别为，若，则是直角
4．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型17 勾股定理的逆定理求解问题
1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，已知四边形中，，求四边形的面积．
2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，．
(1)请判断的形状，并说明理由；
(2)过点作于点，求线段的长．
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一：实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分
道路
长度（米）
80
60
60
36
64
50
任务二：数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路和的长；
(2)任务三：方案设计
根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路．
4．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D．
(1)已知，，，求证：；
(2)已知．
①若，，求的长；
②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________．
题型18 勾股定理逆定理的实际应用
1．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．
(1)连接，求的长度．
(2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用．
2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，．
(1)与垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．
3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示：
项目主题
为校园空地设计创意花坛
项目背景
“综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛．
实践工具
卷尺、铅笔等．
设计说明
如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇．
测量数据
，，，．
项目任务
分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积．
请你完成项目任务．
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