培优02 勾股定理中的6种最值问题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

培优02 勾股定理中的最值问题 题型1 台阶中的最短路径 核心方法：展开成平面 1. 展开思路：把台阶的竖直面和水平面依次展开，拼成一个大的长方形。 2. 关键步骤： 1. 计算所有台阶的总高度 H（所有台阶高度之和）。 2. 计算所有台阶的总深度 L（所有台阶深度之和）。 3. 最短路径就是这个长方形的对角线，长度 d=​。 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 2．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 4．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      7．（22-23八年级上·广东梅州·月考）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 题型2 圆柱侧面最短路径-两点同面 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A．B．C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·云南昭通·月考）如图，圆柱的高为，底面直径为，一只蚂蚁从圆柱高的中点A沿侧面爬到点B的最短的距离是（  ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 题型3 圆柱侧面最短路径-两点异面 对称点法： 一句话口诀：外侧到内侧，先做对称点，再连直线，交点就是最短切点。 步骤（固定四步，背会就满分）： 把圆柱侧面展开成长方形； 长 = 底面周长 C=2πr 1. 高 = 圆柱高 h； 作对称点把内侧点 B 关于母线（侧边）作对称点 B′，让它变到外侧； 连接 A 和 B′这条直线与母线交于点 P。 路径 AP + PB 就是最短路径因为对称：PB=PB′所以：AP+PB=AP+PB′=AB′两点之间线段最短。 1．（20-21八年级下·四川南充·期中）如图，圆柱底面周长为4，圆柱高，圆柱内壁B处有一粒食物，，在圆柱外的A处有一蚂蚁，蚂蚁要沿外壁到B处吃食，它走的最短路径是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是______厘米．    3．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为______． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是________． 5．（21-22八年级下·陕西咸阳·开学考试）如图所示，圆柱形玻璃容器，高19cm，底面周长为30cm，在外侧下底面点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处1cm的点处有一飞蛾，急于捕获飞蛾充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是______cm．（玻璃容器壁厚度忽略不计） 6．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 题型4 正方体中的最短路径 1．（24-25八年级下·广东惠州·月考）在棱长为1的正方体中，顶点，的位置如图所示，处有一小虫，它沿正方体表面爬到点处，则小虫爬行的最短距离是（    ） A．3 B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，棱长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边的中点P出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路径是（　　） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 5．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 6．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为__________． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）【操作】某班数学兴趣小组在研究正方体的展开图．小组成员小方将正方体沿某几条棱剪开，他不可能剪出的正方体展开图是（   ） 【应用】（1）小组成员圆圆剪出的一个展开图如图所示，如果把它折成正方体后，相对面上所标的两个数相等，那么 ； （2）如图，小组成员蔓蔓在正方体上标注出顶点A，C和另一条棱的中点B，量得正方体的棱长为4，请你帮他求出从点A沿表面到点B的最短距离． 题型5 长方体中的最短路径 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，长方体纸盒的长、宽、高分别长为．一只蚂蚁预从点E沿长方体纸盒表面爬行至点C吃到食物，则最短路径长为（   ） A．3cm B．2cm C．cm D．6cm 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、10厘米，在长方体一底面的顶点A有一只蚂蚁，它想吃点B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（　　） A．13厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．（17-18八年级上·河南南阳·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 6．（24-25八年级下·山东德州·月考）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 7．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 题型6 平面内两点最短距离 最值问题转换成几何问题，先把两个二次根式看成两个直角三角形的斜边，再把两个直角三角形进行拼接即可。 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 3．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 勾股定理中的最值问题 题型1 台阶中的最短路径 核心方法：展开成平面 1. 展开思路：把台阶的竖直面和水平面依次展开，拼成一个大的长方形。 2. 关键步骤： 1. 计算所有台阶的总高度 H（所有台阶高度之和）。 2. 计算所有台阶的总深度 L（所有台阶深度之和）。 3. 最短路径就是这个长方形的对角线，长度 d=​。 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 2．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度为． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解∶如图， 由题意，得，，， ∴， 故选：B． 4．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 7．（22-23八年级上·广东梅州·月考）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【答案】平方米 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜． 【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b， 则， 棚的长d为， ∴． 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键． 题型2 圆柱侧面最短路径-两点同面 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短． 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， 即小虫爬的最短路径长为． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最小长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，     此时蚂蚁爬行的最小长度为， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， 则， 即：这只蚂蚁爬行的最小长度为． 故选：D． 5．（24-25八年级下·云南昭通·月考）如图，圆柱的高为，底面直径为，一只蚂蚁从圆柱高的中点A沿侧面爬到点B的最短的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长．本题考查了平面展开—最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 【详解】解：圆柱体的过点A的部分侧面展开图，如图所示， ∵圆柱的高为，底面直径为， ∴ 底面圆周长为，， ∴， ∴在中，． 故选：C． 6．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱侧面展开，把立体图形上的最短路径问题转化为平面图形中直角三角形的斜边求解问题． （1）先根据圆柱的相关数据求出侧面展开图长方形的两条直角边的长度， （2）利用勾股定理求出展开图中连接A、B两点线段的长度，即蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】（1）解：已知圆柱的高为4厘米，圆柱侧面展开后长方形的高就等于圆柱的高，所以其中一条直角边为4厘米， 已知圆柱底面半径厘米，取3，根据圆的周长公式，则底面圆周长的一半为厘米，即另一条直角边为6厘米， 故答案为：，； （2）解：（厘米）， 答：蚂蚁从点爬到点的最短路程厘米． 题型3 圆柱侧面最短路径-两点异面 对称点法： 一句话口诀：外侧到内侧，先做对称点，再连直线，交点就是最短切点。 步骤（固定四步，背会就满分）： 把圆柱侧面展开成长方形； 长 = 底面周长 C=2πr 1. 高 = 圆柱高 h； 作对称点把内侧点 B 关于母线（侧边）作对称点 B′，让它变到外侧； 连接 A 和 B′这条直线与母线交于点 P。 路径 AP + PB 就是最短路径因为对称：PB=PB′所以：AP+PB=AP+PB′=AB′两点之间线段最短。 1．（20-21八年级下·四川南充·期中）如图，圆柱底面周长为4，圆柱高，圆柱内壁B处有一粒食物，，在圆柱外的A处有一蚂蚁，蚂蚁要沿外壁到B处吃食，它走的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，将圆柱体展开，分别求得，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将圆柱体展开， ∵ ∴， ∵圆柱底面周长为4， ∴, 在中，． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题，掌握勾股定理是解题的关键． 2．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是______厘米．    【答案】30 【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米， ∴透明圆柱的底面周长为厘米≈36厘米， 作点A关于直线EF的对称点，连接A′B，则的长度即为它爬行最短路程， ∴厘米， 厘米，    ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 3．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为______． 【答案】25 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开成一个矩形，如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度， 过S作于E，由题意得， 在中， ∵， ∴． 故答案为：25． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是________． 【答案】20 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 把圆柱的侧面展开，作点关于的对称点，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作点关于的对称点， 如图所示， 则蜘蛛所走的最短路线长度为． 故答案为：20． 5．（21-22八年级下·陕西咸阳·开学考试）如图所示，圆柱形玻璃容器，高19cm，底面周长为30cm，在外侧下底面点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处1cm的点处有一飞蛾，急于捕获飞蛾充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是______cm．（玻璃容器壁厚度忽略不计） 【答案】25 【分析】把圆柱的侧面展开，蜘蛛从瓶外侧S到内侧F的最短路径就是SF′，利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意将圆柱体侧面展开后，作F关于直线AB的对称点F′，F′D⊥SD， 则SD为周长的一半，即SD=15cm， F′D=19＋1=20cm， 在Rt△SDF′中由勾股定理得：SF′=（cm）， 故答案为：25； 【点睛】本题考查立体图形的平面展开—最短路径问题，勾股定理解直角三角形，关键是利用直线上一点到直线外两定点的最短距离解决问题． 6．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 题型4 正方体中的最短路径 1．（24-25八年级下·广东惠州·月考）在棱长为1的正方体中，顶点，的位置如图所示，处有一小虫，它沿正方体表面爬到点处，则小虫爬行的最短距离是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题．把此正方体的侧面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：如图，展开后可知： ，，， ∴在中， ， ∴蚂蚁所爬行的最短路线的长是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为， ∴， 在中中， ∴它运动的最短路程． 故选：B． 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，棱长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边的中点P出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路径是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：把P和所在的两个平面展开到一个平面内， 正方体的棱长为2，P为的中点， ， 两点之间，线段最短， 根据勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点之间，线段最短以及勾股定理，根据题意找出最短路径是解题关键． 4．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接， 则最短路径． 故选：A． 5．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 【答案】16 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为__________． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键． 将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故答案为：． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）【操作】某班数学兴趣小组在研究正方体的展开图．小组成员小方将正方体沿某几条棱剪开，他不可能剪出的正方体展开图是（   ） 【应用】（1）小组成员圆圆剪出的一个展开图如图所示，如果把它折成正方体后，相对面上所标的两个数相等，那么 ； （2）如图，小组成员蔓蔓在正方体上标注出顶点A，C和另一条棱的中点B，量得正方体的棱长为4，请你帮他求出从点A沿表面到点B的最短距离． 【答案】〖操作〗D 〖应用〗（1） （2）从点A沿表面到点B的最短距离为 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，正方形相对面的文字，利用勾股定理求最短路径问题，掌握正方体的展开图的特征是解题的关键． 〖操作〗根据正方体表面展开图的特点逐项判断即得答案； 〖应用〗（1）先根据正方体展开图的特点找出相对的面，再根据相反数的定义求解； （2）根据展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：〖操作〗A、符合型，可以是正方体的表面展开图，故此选项不符合题意； B、符合型，可以是正方体的表面展开图，故此选项不符合题意； C、符合型，可以是正方体的表面展开图，故此选项不符合题意； D、不是正方体的表面展开图，故此选项符合题意； 故选：D． 〖应用〗（1）∵折成正方体后，相对面上所标的两个数相等， 又由图可知，a对应，b对应0，c对应4． ，，． ∴ 故答案为：． （2）如图， ，，， 答：从点A沿表面到点B的最短距离为2． 题型5 长方体中的最短路径 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，长方体纸盒的长、宽、高分别长为．一只蚂蚁预从点E沿长方体纸盒表面爬行至点C吃到食物，则最短路径长为（   ） A．3cm B．2cm C．cm D．6cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 分三种情况将长方体展开，再根据勾股定理求出答案，并比较得出答案． 【详解】解：如图所示，（cm）； 如图所示，（cm）； 如图所示，（cm）． ∵， ∴最短路径是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接． 则．的最小值为的长． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、10厘米，在长方体一底面的顶点A有一只蚂蚁，它想吃点B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（　　） A．13厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．首先把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可计算，此题展开图有三种，要分类讨论． 【详解】解：第一种：由题意得展开图，如图①所示：   ，， （厘米）； 第二种：如图②：   ，， （厘米）； 第三种：如图③，   ，， （厘米）， ， 蚂蚁爬行的最短路程是（厘米）． 故选：B． 4．（17-18八年级上·河南南阳·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1，    ∵，，N是的中点， ∴， ∴，， ∴； 如图2，    ∵，，N是的中点， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N处的最短路程为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 5．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不正确； 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，勾股定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． （1）根据小正方形面积求出，再根据含直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出结果即可； （2）根据正方形面积公式表示出小正方形的面积为，用大正方形面积减去4个直角三角形面积表示出小正方形面积为，即可证明勾股定理； （3）将长方体盒子侧面，展开成平面图形，求出此时，然后再比较大小即可． 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16， ∴， ∵每个直角三角形较小锐角为， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：． （2）∵小正方形的边长为c， ∴小正方形的面积为， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， ∵四个全等的直角三角形的面积为：； ∴小正方形的面积可以表示为： ， ∴； （3）不正确；理由如下： 将长方体盒子侧面，展开成平面图形，如图所示： 连接，在中， ， ∵ ， ∵， ∴， ∴， 即l的最小值为． 6．（24-25八年级下·山东德州·月考）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 7．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）  （2）  （3） 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 【点睛】 题型6 平面内两点最短距离 最值问题转换成几何问题，先把两个二次根式看成两个直角三角形的斜边，再把两个直角三角形进行拼接即可。 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 3．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $