培优01 勾股弦图两大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题01 勾股弦图 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 与勾股弦图有关的计算 1 题型二、 与勾股弦图有关的证明 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与勾股弦图有关的计算 1．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 2．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　）    A．11 B．10 C．9 D．8 3．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 4．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 5．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（   ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 6．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”．弦图由四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形．已知为 较长的直角边，若，则正方形的面积为（   ）．    A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 9．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，，，是三个全等的三角形，是围成的小等边三角形．已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D．4 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）      A． B．1 C． D．2 11．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于_____． 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为______． 13．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则________． 14．我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是______． 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 16．如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 17．综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 18．【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长． 19．赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”． (1)“勾股定理”用文字叙述是__________________； (2)类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的是等边三角形．点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为2，求的面积； (3)在长方形内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边、、、上，当，时，求小正方形的边的长度； 20．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形的边长为2，正方形的边长为10，求正方形的边长． 题型二、与勾股弦图有关的证明 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 2．勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 3．综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 4．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中，连接交于点，连接，得到图1．若． (1)求证：； (2)延长，交于点，若，求的长． 6．阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 7．我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 8．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ (3)图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 9．第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 10．阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 11．阅读： 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”．它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： 方法迁移： （1）已知：，如图2放置，其三边长分别为，，，，连接，延长与延长线交于点，四边形是正方形，根据图示探究四边形的面积，写出一种验证勾股定理的方法． 应用拓展： （2）如图3，在中，是边上的高，，，， ①求的长． ②点为上一点，，为上一点，连接，，，点为平面内一点，，且，，请直接写出的长． 1．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 2．勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中． (1)请同学们根据赵爽弦图证明； (2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值； 3．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有，和的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） 则：______ 4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股弦图 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 与勾股弦图有关的计算 1 题型二、 与勾股弦图有关的证明 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与勾股弦图有关的计算 1．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 2．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　）    A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．根据题意得出，，再根据，即可得出结果． 【详解】解：大正方形的面积是61，小正方形的面积是1， ，， ， ， ， ， （负值舍去）， 故选：A． 3．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， 因为，即 ， ， 所以， 的值是8， 故选：B． 4．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 5．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（   ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ∴得出，，， ，故， ， 所以，即正方形的面积为． 故选：B 6．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为、，斜边为， ∵图中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为， ∴， ∵小正方形的面积为， ∴， ∴， ∵将这四个直角三角形拼成图， ∴图2中最大的正方形的面积为：． 故选：A． 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”．弦图由四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形．已知为 较长的直角边，若，则正方形的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、列代数式等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图，在图中标出P、Q，设，则，再运用勾股定理可得，即正方形的面积为、，再结合可得；再根据题意可得，再将、代入即可解答． 【详解】解：如图，在图中标出P、Q，    设，则， ∴， ∴正方形的面积为． ∵，， ∴，即， ∵小正方形为S， ∴， ∴正方形的面积为． 故选D． 8．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴， ∴，即④错误； 综上，正确的有①②③． 故选B． 9．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，，，是三个全等的三角形，是围成的小等边三角形．已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图所示，过点B作于点G，由全等三角形的性质得到，由等边三角形的性质得到，，求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于点G， ∵，，是三个全等的三角形， ∴， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）      A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设其中一个直角三角形的面积为x，则，再根据，可得答案． 【详解】解：设其中一个直角三角形的面积为， 则，， ， ， ， 的值是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形面积的关系，表示出和是解题的关键． 11．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可． 【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9， ， ，负值舍去， 个直角三角形的面积和为， ， ， ∵， ， ． 故答案为：2． 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，完全平方公式，设正方形，，的面积分别为，由全等三角形性质可得，，然后分别求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正方形，，的面积分别为， ∵八个直角三角形全等，正方形，，是正方形， ∴，， ∴ ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 13．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则________． 【答案】108 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，则，，，先证明，再证明，即可得到答案． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且， 由题意可知：，，， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴ ， 故答案为：108． 14．我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据所给图形，分别表示出各部分的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题可知，大正方形的面积为， 大正方形的边长为， ，故①正确； 小正方形面积为9， 小正方形的边长为 ，故②正确； ，故③正确； （舍负），故④错误； 故答案为：①②③． 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 16．如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求得，即可得到结论． 【详解】解：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形， ， ， ， 则小正方形的面积为， 故答案为：4． 17．综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 【答案】(1)或 (2) (3)，，证明见解析 【分析】 本题考查了勾股定理、概率的计算、全等三角形的判定与性质，利用弦图中全等直角三角形的性质分析边长关系、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到正方形的面积为； （2）由点是中点，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到，求得正方形的面积，正方形的面积，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，，，推出，得到，，于是得到结论． 【详解】（1） 解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴， ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴点落在阴影部分的概率为； 故答案为：； （3） 解：，， 证明：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 18．【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【答案】【感知】5；【探究】见解析；【拓展】76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 感知：观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 拓展：根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】解：感知：∵， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴小正方形的面积为． 故答案为：5． 探究：图形的总面积可以表示为，， ∴，即． 拓展：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 19．赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”． (1)“勾股定理”用文字叙述是__________________； (2)类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的是等边三角形．点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为2，求的面积； (3)在长方形内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边、、、上，当，时，求小正方形的边的长度； 【答案】(1)在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方 (2)14 (3)13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组，三角形面积，根据题意运用赵爽弦图是解题的关键． （1）写出勾股定理即可； （2）连接，由点、、分别是、、的中点可得，即可得出即可求解． （3）根据图形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，根据，得二元一次方程组，即可求出和，进一步求解即可． 【详解】（1）“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方； （2）解：如图，连接， ∵点、、分别是、、的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为， ∵， ∴， 解得， ∴小正方形的边长为． 20．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形的边长为2，正方形的边长为10，求正方形的边长． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式等知识，设每个直角三角形的斜边为c，直角边分别为a、b，其中，由勾股定理可得，由正方形的边长为2得到，则，由正方形的边长为10得到，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：设每个直角三角形的斜边为c，直角边分别为a、b，其中， 则， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵正方形的边长为10， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 由题意可得，正方形的边长为c． 即正方形的边长为， 故答案为： 题型二、与勾股弦图有关的证明 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 2．勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 3．综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， (3)9 【分析】（1）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示； （2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为，然后沿垂直于该对角线的一端点再剪一刀，形成虚线部分的三块，分别将这三块放在实线部分，这样就形成了四个边长为，且有一个角的四边形即符合题意要求的正方形； （3）依据题意，过B作交的延长线于点，先证明，从而，再由是的中点，可得，故，又，可得，取的中点为，的中点为，连，构造中位线，证出，，进而可证出得到，最后结合，求出后即可判断得解． 【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则 ， 又， ， ． （2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形． ， （3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连， ， ， ， ． ． 又，， ． ． 又是的中点， ． ． ， ， 的中点为，的中点为， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键． 4．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证； （2）由（1）得：，可以求得，进而证明，得出，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明： （2）由（1）得： ，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， ∴， 在中， ∴ ， 在中， 5．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中，连接交于点，连接，得到图1．若． (1)求证：； (2)延长，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证； （2）先证明，设，则，由，得到，则，继而可得，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明： （2）解：如图， 由（1）知 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 6．阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理与图形的面积，等边三角形的性质： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得证； （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，分别求出，利用勾股定理进行判断即可； （3）用两种方法表示出整个图形的面积，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：大正方形的面积， ∴， ∴， （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，则：； 对于③：， ∴； 对于④：， ∴ 对于⑤：如图，过点作，则：， ∴， ∴， 同理：， ∴； 故面积关系满足的有3个； （3），理由如下： 由图可知：， ， ∵ ， ∴． 7．我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，利用勾股定理得出即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为． 8．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ (3)图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积： （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】（1）解：设斜边的长为，由题意，得：， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为：； （2）解：图形的总面积可以表示为 ， 也可以表示为， ∴． ∴． （3）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， 由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是． 9．第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)140 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为， 或 ， ∴； （2）∵是正整数且， ∴均为正整数 ∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； （3）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 10．阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)正方形的面积为39 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 11．阅读： 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”．它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： 方法迁移： （1）已知：，如图2放置，其三边长分别为，，，，连接，延长与延长线交于点，四边形是正方形，根据图示探究四边形的面积，写出一种验证勾股定理的方法． 应用拓展： （2）如图3，在中，是边上的高，，，， ①求的长． ②点为上一点，，为上一点，连接，，，点为平面内一点，，且，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）根据四边形的面积的求法一：，四边形的面积的求法二：，即可求解； （2）①设，则，根据勾股定理列方程即可求解；②在上取一点，使得，连接，结合等腰三角形的判定与性质可推出，，证明得到，进而得到，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， 即， ，， 四边形的面积的求法一：， 四边形的面积的求法二：， ， 化简得； （2）①设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ； ②如图3，在上取一点，使得，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 在中，． 1．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）解：由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3）解：如图所示：可解释的代数恒等式为． 2．勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中． (1)请同学们根据赵爽弦图证明； (2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值； 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是面积公式的计算． （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：∵大正方形的面积是，直角三角形的面积是， 小正方形的面积为， ∴ 即； （2）解：由正方形的面积是100，得， 解得：， 由正方形的面积为36，得， 一个直角三角形面积为： 解得：， ∴， 则， 故． 3．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有，和的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） 则：______ 【答案】(1)①；②见解析 (2)①3；② (3) 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，以直角三角形三边为边长的图形面积，勾股定理的证明方法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据勾股定理求解； ②在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：． （2）①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个； ②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （3）由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，从而可得，，，于是可得． 【详解】（1）①解：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么， 故答案为：． ②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得：． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得：． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：． （2）①解：三个图形中面积关系满足的有3个； 故答案为：3； ②解：结论：． 理由：以为直径的半圆面积为， 以为直径的半圆面积为， 以为直径的半圆面积为， 三角形的面积为， ∴， ∴， 由（1）的结论可知：， ∴； （3）解：如图9， 正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m， 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据图形得出方形的边长为，正方形的边长为，再根据正方形面积公式，即可求解； （2）由图可得，，，则，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积是，正方形的面积是， 故答案为：，； （2）解：由图可知： ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”和完全平方公式，解题的关键是仔细观察图形，根据图形得出数量关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $