培优02 二次根式的四大化简技巧及两大解题方法（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

培优02 二次根式的四大化简技巧及两大解题方法 题型1 根据数轴进行化简 数轴化简固定三步法： 1. 看数轴：确定每个字母 / 式子是 正还是负； 2. 把根号变绝对值：(  )2​=∣  ∣； 3. 去绝对值： 1. 正 → 直接写本身； 2. 负 → 变号（前面加负号）。 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 题型2 根据三角形的三边关系进行化简 解题固定 4 步： 1. 1，把​ 写成 绝对值； 2. 2，用三边关系判断每个括号整体是正还是负； 3. 3，去绝对值： 1. 正 → 直接抄 2. 负 → 整体变号（前面加负号） 4. 4，合并化简。 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·湖北咸宁·月考）已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·湖南娄底·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是______． 6．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则________． 7．（21-22八年级上·上海静安·月考）如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于_____． 题型3 根据字母的取值范围进行化简 ​=∣a∣ 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，化简的结果是__________． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算的结果是______． 4．（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点在第三象限，化简的结果为________． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：__________． 6．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简______． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）实数x、y满足，则yx＝__． 题型4 复合二次根式的化简 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 4．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 题型5分母有理化的两大方法 超简口诀： · 单根号：同乘这个根号； · 根号加减：乘共轭，用平方差； · 最后：分母必须没根号。 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）化简：________． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）计算：________． 3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 4．的有理化因式是_______________． 5．（23-24八年级上·上海·期末）计算：______． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 7．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 8．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 9．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 题型6 二次根式比较大小的方法 一、平方法（最常用、必考） 适用于：两个正数根式把两边同时平方，平方大的原式就大。 二、被开方数比较法（最简单） 根指数相同（都是二次根式）：被开方数越大，根式越大。 三、作差法（通用） 两边相减，看结果正负： · A−B>0⇒A>B · A−B<0⇒A<B 四、作商法（正数用） 两正数 A,B： · A÷B​>1⇒A>B； · A÷B<1⇒A<B； 五、分母有理化后比较 1．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 3．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 5．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）试比较与的大小． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小． 9．（23-24九年级上·河南周口·月考）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 二次根式的四大化简技巧和两大方法 题型1 根据数轴进行化简 数轴化简固定三步法： 1. 看数轴：确定每个字母 / 式子是 正还是负； 2. 把根号变绝对值：(  )2​=∣  ∣； 3. 去绝对值： 1. 正 → 直接写本身； 2. 负 → 变号（前面加负号）。 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值．根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴； 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数和数轴，绝对值的化简，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上化简法则． 根据数轴得出各字母的取值，然后根据绝对值和二次根式的化简法则进行计算即可． 【详解】解：通过数轴可得，， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是解题关键． 先由数轴判断出，再结合及绝对值的化简规则进行求解． 【详解】解：， 由数轴可知，，则， ∴． 故选：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 题型2 根据三角形的三边关系进行化简 解题固定 4 步： 1. 1，把​ 写成 绝对值； 2. 2，用三边关系判断每个括号整体是正还是负； 3. 3，去绝对值： 1. 正 → 直接抄 2. 负 → 整体变号（前面加负号） 4. 4，合并化简。 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，二次根式的性质．利用三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内的符号，进而化简代数式． 【详解】解：，，为的三条边， ，（三角形两边之和大于第三边）， ，， ， ， 原式． 故选：． 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 3．（22-23八年级下·湖北咸宁·月考）已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，，再结合三角形的三边关系与最长边的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵三角形的最大边为c， ∴， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，非负数的性质，三角形三边之间的关系，熟练的利用二次根式的性质进行化简是解本题的关键． 4．（2021·湖南娄底·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 【答案】D 【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：是三角形的三边， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 7．（21-22八年级上·上海静安·月考）如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于_____． 【答案】4 【分析】根据三角形三边的关系得到，再根据二次根式的性质得原式，然后根据m的取值范围去绝对值后合并即可． 【详解】解：∵2、5、m为三角形三边， ∴， ∴原式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质与化简：及绝对值的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型3 根据字母的取值范围进行化简 ​=∣a∣ 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，化简的结果是__________． 【答案】1 【分析】根据二次根式的性质， ，再结合条件 ，化简绝对值表达式． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为 ， 所以 ， 因此． 故． 故答案为：1． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 对系数和根号部分分别平方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，由二次根式的被开方数非负，得出 ，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数， ， 解得： ， ． 故答案为： 4．（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点在第三象限，化简的结果为________． 【答案】2 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特点，绝对值与算术平方根的性质；由点A在第三象限，确定m的取值范围，再化简绝对值与根式． 【详解】解：因为点在第三象限， 所以且，解得． 所以原式． 故答案为2． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：__________． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 6．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）实数x、y满足，则yx＝__． 【答案】3 【分析】本题考查算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组，二次根式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算即可． 【详解】解：由有意义，得 ，即， 解得， ∴． 则． 故答案为：3． 题型4 复合二次根式的化简 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 4．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）得到新正方形花圃面积为，根据题意计算边长即可； （3）将转化为，计算即可解答． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ， ∴的值为． 题型5分母有理化的两大方法 超简口诀： · 单根号：同乘这个根号； · 根号加减：乘共轭，用平方差； · 最后：分母必须没根号。 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，掌握分式的基本性质及二次根式的乘法法则是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，分母有理化，先化简二次根式，再相减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 4．的有理化因式是_______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式为． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海·期末）计算：______． 【答案】 【分析】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简时计算失误． 【详解】解： ． 故答案为： ． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 7．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值； （1）通过分母有理化，将分母乘以后化简． （2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消． （3）先将分母有理化得到，然后通过变形，平方后得到，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：9； （3）解：∵， ∴， ∴，则，即， ∴． 8．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用. （1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，根据裂项相消法计算即可； （3）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ， ． 题型6 二次根式比较大小的方法 一、平方法（最常用、必考） 适用于：两个正数根式把两边同时平方，平方大的原式就大。 二、被开方数比较法（最简单） 根指数相同（都是二次根式）：被开方数越大，根式越大。 三、作差法（通用） 两边相减，看结果正负： · A−B>0⇒A>B · A−B<0⇒A<B 四、作商法（正数用） 两正数 A,B： · A÷B​>1⇒A>B； · A÷B<1⇒A<B； 五、分母有理化后比较 1．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 5．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式比较大小，利用二次根式的性质把二次根号外的数放到二次根号内，比较被开方数即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查比较两个数大小的方法，熟练掌握作差法比较两数大小关系是解题的关键：将与进行作差，比较差值与0的大小关系即可判断这两个数的大小． 【详解】， ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数大小的比较. 先对原式进行平方处理，再利用二次根式性质求解即可. 【详解】解：∵， 而， ∴． 9．（23-24九年级上·河南周口·月考）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $