培优01 二次根式全章13种题型（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

培优01 二次根式 题型1 二次根式的识别 只要同时满足3 个条件，就是二次根式： 1. 必须有二次根号：形式：​，根指数是 2（通常省略不写）. 2. 被开方数必须是非负数：a≥0； · 被开方数可以是：数、字母、式子； · 不能是负数（否则无意义，不算真正的二次根式）； 3. 形式上是根号整体。单独​都是二次根式。 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，需依据“形如且根指数为2的式子是二次根式”来判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，被开方数为负数，式子无意义，不是二次根式，故A不符合题意； B选项：的根指数为2（省略不写），被开方数，符合二次根式定义，是二次根式，故B符合题意； C选项：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D选项：，，，被开方数为负，式子无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据形如的式子，叫二次根式，逐一判断得到答案即可； 【详解】解：首先排除B 和D，而的根指数是3，故选项A错误， 故选：C． 4．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 题型2 求二次根式中的值 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 4．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 题型3 二次根式有意义的条件 由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，根据二次根式性质与分式的符号性质求解，先确定分母的取值范围，再根据分式小于0的条件确定分子的范围，最后取两者交集得到x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数需大于等于0，且分母不能为0， ∴， 解得， ∵分式，且， ∴分子， 解得， ∴综合两个不等式的解，x的取值范围是． 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）要使在实数范围内有意义，，应满足（    ） A．，均为非负数 B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数的性质，分析a、b需满足的关系即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数 ∴要使在实数范围内有意义，需满足 故选：D． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）若是二次根式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数需为非负数，据此列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须是非负数， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 题型4 二次根式的乘除运算 一、二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）： 二、二次根式的除法法则： 【注意】 1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确；见解析 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握其运算法则是关键，根据二次根式的除法运算法则，先算出括号里的式子，再算乘除，由此即可求解． 【详解】解：不正确，正确解答过程为： ． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型5 最简二次根式的有关计算 1.把带分数或小数化成假分数； 2.把被开方数分解成质因数或分解因式； 3.把根号内能开的尽方的因式或因数移到根号外； 4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号； 1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算并化简即可． 【详解】解：设边长为a， ∴，而， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据被开方数相同和根指数为2即可建立方程求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 6．（23-24八年级下·河南南阳·月考）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 【详解】解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 题型6 同类二次根式的计算 化简后，被开方数相同，可以进行合并。 1．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查同类最简二次根式的概念，最简二次根式可以合并的条件是它们的被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们的被开方数相等，即， 解得． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·陕西西安·周测）已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，两个二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式，先将化简为，由题意可得必须能化简为（为正整数）的形式，即是2乘以一个完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：∵，且二次根式与化简后可以合并， ∴可化为（为正整数），即， 又∵a为正整数， ∴当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，(不合题意，舍去)， ∴符合条件的a有21，15，5，共3个． 故选：C． 题型7 二次根式的加减运算 1.二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并； 2.整式的乘法法则和乘法公式仍然适用。 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算， 对于（1），先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； 对于（2），先化简成最简二次根式，同时去括号，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减，正确化简是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解； （2）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解； （3）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和加减，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先进行二次根式的化简，再进行加减即可； （2）先进行二次根式的化简，再进行加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 5．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，利用平方差公式及完全平方公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握是解题关键． 对于（1），先根据乘法分配律计算，再根据二次根式的乘法法则计算即可； 对于（2），先根据零指数幂，负整数指数幂计算，同时去掉绝对值，再根据二次根式的加减法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型8 二次根式的混合运算 先乘方 → 再乘除 → 最后加减有括号先算括号里。 常用技巧：能化简先化简，再计算； 1. 整式乘法公式照样用： 1. 平方差：(a+b)(a−b)=a²−b²； 2. 完全平方：(a±b)²=a²±2ab+b²； 2. 最后结果一定要： 2. 最简二次根式； 2. 分母无根号。 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）变式计算： (1)； (2)； (3)（）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则，先化简，再合并即可； （2）先去括号，再根据二次根式的加减运算法则，计算即可； （3）根据二次根式的加减运算法则，先化简，再合并即可； （4）先根据二次根式、零指数幂、绝对值的性质进行化简，再根据实数混合运算的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先利用平方差公式及二次根式的性质化简，再计算即可； （2）先利用完全平方公式及平方差公式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）已知．求的值． 【答案】18 【分析】求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 【答案】39 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及完全平方公式等知识．根据已知条件，先求得，，然后将整理为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 题型9 分母有理化 分母有理数两大形式： （1）分母为单独的根式或乘积形式时，先将分母化为最简，分子分母同时乘以根式即可； （2）分母为加减形式时，利用平方差公式，分子分母同时乘以有理化因式； 1．（25-26八年级上·上海·月考）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 【答案】B 【分析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键． 根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用，分别求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， 所以， 所以，，， 所以 ， 故选：A． 4．（23-24八年级下·山东临沂·月考）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． ①，把直接分母有理化即可判断． 把和分别分母有理化比较大小即可． 把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果． ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断． ⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可． ⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可． 【详解】解：①若a是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意． ②∵，，， ∴， 故②正确，符合题意． ③ ． 故③错误，不符合题意． ④， ， ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确． ⑤∵， ∴， ∴， 同理，两式相加得，， ∴． 故⑤正确． ⑥， ， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故⑥正确． 综上所述：正确的有②④⑤⑥． 故选：C． 题型10 化简求值 二次根式的化简求值，利用完全平方公式，平方差公式．根据题意将代数式变形，再将已知代入即可． 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 2．（22-23八年级下·四川广安·月考）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，二次根式运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握二次根式加法运算法则和完全平方公式是解题的关键． 先计算出，，再将所求代数式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 3．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 4．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，二次根式的乘法； 根据题意先求出，再代入海伦公式计算即可． 【详解】解：由题意知：， 则三角形的面积 ． 题型11 二次根式比较大小 1.平方法：若同号的两数比较，则直接开平方，比较大小；若根号内的和一定，则平方后可抵消； 2.分子有理化：若根号内的差一定，则转化为和的形式； 3.分母有理化； 4.作差法：与0比较； 5.作商法：与1比较。 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 4．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 题型12 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 【答案】(1) (2) (3)甲的侧面积更小，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解； （3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴． ∴， ∴甲盒子的侧面积为：， 故答案为： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵甲，乙两个盒子侧面积和为， ∴， 又， ∴． ∴． （3）解：甲的侧面积为：，乙的侧面积为：． ∴ ∵（） ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴当时，甲的侧面积更小， 3．（25-26八年级上·重庆·月考）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，，即可求得答案； （3）设，则，，，则． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值． 故答案为： （2），，即的最小值为． 根据题意，得． ∴ 将代入，得 原式 ． （3）设，则，，． ． 因为，当且仅当，即时，有最小值， 所以当时，取得最大值，最大值． 题型13 整数部分和小数部分问题 1.估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分，即由n≤<n+1可以确定的整数部分为n,小数部分为-n. 2.将所得的值代入原式，根据二次根式的乘法法则、加法法则计算即可。 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．例如，∴的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分 ，是小数部分是 ； (2)若的整数部分为m，小数部分为n，求的值． 【答案】(1)4； (2)103 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的加减混合运算，掌握算术平方根的概念和二次根式的加减运算法则是解题关键． （1）利用无理数的估算求值； （2）利用无理数的估算确定m和n的值，然后代入求解． 【详解】（1）解： 的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4；； （2）解：，的整数部分为m，小数部分为n， ， ． 2．（22-23八年级下·吉林松原·期末）先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ (1)填空：的整数部分是 ； (2)a，b分别是的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 【答案】(1)n (2)①，；② 【分析】（1）依据题干中的方法估算的范围，即可得到整数部分； （2）①估算出，得到整数部分和小数部分即可；②将①中结果代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的整数部分为； （2）①∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是：， 小数部分是：； ② ． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是__________，的小数部分是__________； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确估计出无理数的大小． （1）估算出，，即可求解； （2）估算出，，可得m，n的值，再代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5； ∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分是3 ∴的小数部分是； 故答案为：5； （2）解：∵， ∴，， ∴的整数部分为3，的整数部分为4， ∵的小数部分为m，的整数部分为n， ∴，， ∴． 4．（23-24八年级下·河北沧州·月考）无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如的整数部分就是3，小数部分是．请回答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算等知识；正确估算是解题的关键； （1）估算出的大小为，即可估算的大小，从而确定其整数部分与小数部分； （2）估算出的大小，即可估算出的大小，从而确定其整数部分与小数部分，即x与y的值，最后代入代数式中，利用二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， 由题意得，， ∴ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 二次根式 题型1 二次根式的识别 只要同时满足3 个条件，就是二次根式： 1. 必须有二次根号：形式：​，根指数是 2（通常省略不写）. 2. 被开方数必须是非负数：a≥0； · 被开方数可以是：数、字母、式子； · 不能是负数（否则无意义，不算真正的二次根式）； 3. 形式上是根号整体。单独​都是二次根式。 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 题型2 求二次根式中的值 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 3．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 4．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 二次根式有意义的条件 由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）要使在实数范围内有意义，，应满足（    ） A．，均为非负数 B． C．， D． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）若是二次根式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4 二次根式的乘除运算 一、二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）： 二、二次根式的除法法则： 【注意】 1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 4．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 题型5 最简二次根式的有关计算 1.把带分数或小数化成假分数； 2.把被开方数分解成质因数或分解因式； 3.把根号内能开的尽方的因式或因数移到根号外； 4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号； 1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 6．（23-24八年级下·河南南阳·月考）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 题型6 同类二次根式的计算 化简后，被开方数相同，可以进行合并。 1．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26八年级上·陕西西安·周测）已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7 二次根式的加减运算 1.二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并； 2.整式的乘法法则和乘法公式仍然适用。 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 5．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）计算： 6．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1)； (2)． 题型8 二次根式的混合运算 先乘方 → 再乘除 → 最后加减有括号先算括号里。 常用技巧：能化简先化简，再计算； 1. 整式乘法公式照样用： 1. 平方差：(a+b)(a−b)=a²−b²； 2. 完全平方：(a±b)²=a²±2ab+b²； 2. 最后结果一定要： 2. 最简二次根式； 2. 分母无根号。 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）变式计算： (1)； (2)； (3)（）； (4)． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）已知．求的值． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 题型9 分母有理化 分母有理数两大形式： （1）分母为单独的根式或乘积形式时，先将分母化为最简，分子分母同时乘以根式即可； （2）分母为加减形式时，利用平方差公式，分子分母同时乘以有理化因式； 1．（25-26八年级上·上海·月考）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 3．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东临沂·月考）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 题型10 化简求值 二次根式的化简求值，利用完全平方公式，平方差公式．根据题意将代数式变形，再将已知代入即可． 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 2．（22-23八年级下·四川广安·月考）已知，，求代数式的值． 3．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 4．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 题型11 二次根式比较大小 1.平方法：若同号的两数比较，则直接开平方，比较大小；若根号内的和一定，则平方后可抵消； 2.分子有理化：若根号内的差一定，则转化为和的形式； 3.分母有理化； 4.作差法：与0比较； 5.作商法：与1比较。 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 题型12 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 3．（25-26八年级上·重庆·月考）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 题型13 整数部分和小数部分问题 1.估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分，即由n≤<n+1可以确定的整数部分为n,小数部分为-n. 2.将所得的值代入原式，根据二次根式的乘法法则、加法法则计算即可。 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．例如，∴的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分 ，是小数部分是 ； (2)若的整数部分为m，小数部分为n，求的值． 2．（22-23八年级下·吉林松原·期末）先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ (1)填空：的整数部分是 ； (2)a，b分别是的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是__________，的小数部分是__________； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 4．（23-24八年级下·河北沧州·月考）无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如的整数部分就是3，小数部分是．请回答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． ∴ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $