8.4乘法公式 同步练习 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 8.4乘法公式 （同步练习） （寒假预习课） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3.已知4x2+2kx+9是完全平方式，则k的值为（　　） A．12 B．±6 C．±12 D．6 4.计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 5.已知，，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 6.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 7.小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 8.有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，若图甲和图乙中阴影部分面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.若，，则 ． 10.若，则代数式的值为 ． 11.若是一个关于x的完全平方式，则k的值为 ． 12.设，，其中为实数，则与的大小关系是   13.已知实数满足，则的最大值为 ． 14.计算： ． 15.在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则 ． 16.阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.计算 (1) (2) 18.先化简，再求值：，其中 19.已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 20.观察下面的规律： …… 写出第n行的式子，并证明你的结论． 21.阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： 它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． 若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭：如的共轭复数为． (1)填空： ； ． (2)若是的共轭复数，求的值； 22.学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简； (2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且米，求“红”字正方形边长b的值． 23.如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 24.如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示．    (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； (3)拓展：计算． 25．阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.已知4x2+2kx+9是完全平方式，则k的值为（　　） A．12 B．±6 C．±12 D．6 【答案】B 4.计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 5.已知，，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 6.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 【答案】D 7.小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 8.有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，若图甲和图乙中阴影部分面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.若，，则 ． 【答案】8 10.若，则代数式的值为 ． 【答案】1 11.若是一个关于x的完全平方式，则k的值为 ． 【答案】9 12. 设，，其中为实数，则与的大小关系是   【答案】 13.已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 14.计算： ． 【答案】 15.在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则 ． 【答案】 16.阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.计算 (1) (2) 【答案】（1）解： ， （2） ． 18.先化简，再求值：，其中 【答案】 解： ， 当时， 原式． 19.已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】 （1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵，， 由（1）知：， ∴ ． 20.观察下面的规律： …… 写出第n行的式子，并证明你的结论． 【答案】解:第 n行的式子为： 左式=     =     = = 右式= = =… ∴左式=右式     ∴等式成立. 21.阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： 它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． 若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭：如的共轭复数为． (1)填空： ； ． (2)若是的共轭复数，求的值； 【答案】（1）解：①原式； ②原式； 故答案为：①5；②； （2）解：∵，是它的共轭复数， ∴，， 则． 22.学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简； (2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且米，求“红”字正方形边长b的值． 【答案】（1）解：由题意可知，正方形空地的边长为， 正方形空地的面积为， “红五月”三个正方形平台的面积为， 阴影部分的面积为； （2）解：阴影部分的面积为288平方米， ， ， ， ， ， , ． 23.如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【答案】（1）解：由拼图可得，阴影部分是4个长为，宽为b的小长方形的面积和，中间空白部分的面积为边长为的正方形的面积，整个图2的面积为边长为的正方形的面积， ∴， ∴； （2）解：由 (1)得，， ∵，且， ∴， ∴， ∴图2中的空白正方形的面积为； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的面积为． 24.如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示．    (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； (3)拓展：计算． 【答案】（1）解：； （2）①因为，， 所以；     ② ； （3） ． 25．阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】（1）解：， ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 故答案为：3，3； （2）解： ， ，； 当，即时，有最大值，最大值； （3）解：由得； 则， 当时，取得最小值，最小值为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $