6.3.2余弦定理（第2课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第六章 三角 6.3 解三角形 6.3.2 余弦定理（第2课时） 学 习 目 标 1 2 3 能综合运用余弦定理和三角形面积公式解决已知两边及面积求第三边的问题； 理解 的含义并能简单表示符合条件的锐角； 在解题探究中，经历 “面积求正弦→分析余弦多解→余弦定理求边” 的推理过程，培养分类讨论思想，提升逻辑推理与运算求解能力. 新课引入 经过前面课程的的学习，你是否还记得余弦定理的内容，三角形的面积公式呢？ 已知三角形的两边 和面积 ，能不能求出第三边 呢？ 余弦定理： 面积公式： 本节课我们将结合正、余弦定理，探索正、余弦定理的综合应用. 新知探究 探究一：判断三角形形状 在中，已知 ，且 ． 求证：为等边三角形． 根据以上的解答思路，结合正、余弦定理，下面我们一起解决这个问题. ①利用正弦定理将边的关系转化为角的关系 ②由推出,得到 ③结合余弦定理推出,从而证明三边相等 思路分析： 新知探究 证明：记△ABC 外接圆的半径为 R，由 ，得 又由 ，得 ，从而 ． 再由 ，得 ，从而 ． 所以，△ABC 为等边三角形． 知识小结 利用正余弦定理判断三角形形状 判断三角形形状的核心是通过正、余弦定理实现边角互化. 方法1：角化为边（余弦定理为主，正弦定理辅助） 角的三角函数关系 纯边的代数式 边的等量/不等关系 三角形形状 方法 2：边化为角（正弦定理为主，三角恒等变换辅助） 纯边的齐次式 角的正弦三角函数关系 角的等量 / 具体度数关系 三角形形状。 即时训练 1. 新知探究 探究二：余弦定理与面积公式综合应用 在△ABC中，已知 ，，且三角形面积 ．求 ． 在该问题中，是如何体现分类思想的使用的呢？下面我们先独自解答，再做交流. 思路分析： ①由三角形面积公式求出 ②根据得到的两个可能值 ③分情况代入余弦定理计算出的两个解 新知探究 解：由 ，得 ，所以 ①当 时， ②当 时， 所以， 或 ． 知识小结 余弦定理与面积公式综合应用 核心思路：面积公式求正弦值→同角关系求余弦值→余弦定理求边 / 角. 方法技巧 1. 面积公式优先用两边及夹角形式： 2.由求必结合角的范围； 3. 分类计算后取舍结果：边长取正根，角的结果符合三角形内角和； 即时训练 2.在中，若,且其面积为,求及 【分析】角形面积公式得,再利用余弦定理得,联立即可. 解：,即 所以 又由余弦定理 即, 结合有 所以,所以 所以 探究三：反三角函数记号的引入与理解 下面我们一起试试用发生三角函数符号表示一些角度. 新知探究 在以上例题中，我们求出，为锐角时，这个角不是特殊角，该如何简洁表示呢？ 为了表示这样的角，我们引入了以下符号： ① 一般地，用表示满足 的锐角； ② 用表示满足 的锐角； ③ 用表示满足 的锐角； 新知探究 1.满足的锐角，可表示为 2.满足的锐角，可表示为 3.满足的锐角，可表示为 注：反三角函数记号在计算器上分别用、、表示 反三角函数的结果是角，不是数值，可结合计算器将其转化为角度值. 典例分析 例1 根据下列条件，分别求角 ： 【分析】对于,先引入锐角,再利用正弦函数的周期性和对称性，写出通解 解 ：（1）设锐角 满足 ，就有 ． 这样，原式等价于求解 ， 从而有 ，． 于是，满足条件的角为 ，． （1）已知 ； （2）已知 ，； （3）已知 ，． 典例分析 【分析】对于,先引入锐角,利用诱导公式得到,再结合 区间限制确定唯一解. （2）设锐角 满足 ，就有 ． 因为 所以原式等价于求解 从而有 ，． 又因为 ，所以 ． 典例分析 【分析】对于,先引入锐角,利用诱导公式得到,再结合 区间限制确定唯一解. （3）设锐角 满足 ，就有 ． 因为 所以原式等价于求解 从而有 ，． 又因为 ，所以 ． 知识小结 反三角函数记号的引入与理解 ① 表示满足 的锐角； ② 表示满足 的锐角； ③ 表示满足 的锐角； 题型1 正余弦定理判断三角形形状 1.在中，角，，所对的边为，， （1）若，求； （2）若，试判断的形状． 【分析】（1）由二倍角正弦公式及三角形内角的性质可得. （2）由余弦边角关系可得，整理化简即可确定形状． 【详解】（1）由，而，故， 又，故． （2） 故，即， 所以是等腰三角形． 题型2 反三角函数的表示 3.根据下列条件求角. (1); (2),; (3), 【分析】先利用反三角函数表示满足条件的锐角，再结合三角函数图象 / 单位圆及角的范围，确定所有符合条件的角. 解：（1）已知 ，无范围约束： 设锐角 ，则 （2）已知 ： 设锐角 ，则 （3）已知 ： 正切函数在 内单调，故 题型3 余弦定理与三角形面积公式综合应用 3.已知 的面积为 ，，．求 ． 【分析】利用三角形面积公式求出 或 ，再利用余弦定理分类讨论. 当 ，则 ，由余弦定理可得： 所以 ． 综上， 或 ． 解：因为 的面积为 解得 ，因为 ，则 或 ， 当 ，则 ，由余弦定理可得： 题型3 余弦定理与三角形面积公式综合 4. 的面积 ，求 ． 【分析】运用面积公式结合余弦定理可解． 【详解】 即 由余弦定理可知 则 则 ，又 ，则 ． 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 余弦定理（第二课时） 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 沪教版 · 必修二 📚 核心知识梳理 1. 反三角函数记号的引入与理解 重点 📌 核心概念 在解三角形过程中，当三角函数值不是特殊值时，我们需要使用反三角函数记号来精确表示角的大小。 若 cosC = m，且 C ∈ (0, π)，则 C = arccos m 若 sinA = n，且 A ∈ (0, π)，则 A = arcsin n 🔍 值域与定义域 arccos 函数 定义域：[-1, 1] 值域：[0, π] arcsin 函数 定义域：[-1, 1] 值域：[-π/2, π/2] 💡 应用场景 • 已知三边求角时，使用 arccos 表示角度 • 已知两边及其夹角求第三边后，再求其他角 • 在三角形中，由于角的范围是 (0, π)，arccos 的值域恰好匹配 ⚠️ 注意：沪教版特别强调，在解三角形的最终答案中，对于非特殊角，必须使用反三角函数记号表示，不能直接写成近似的度数值（除非题目明确要求）。 2. 边角关系判断三角形形状 a² + b² = c² ⇔ C 为 直角 a² + b² > c² ⇔ C 为 锐角 a² + b² < c² ⇔ C 为 钝角 ⚠️ 易错点警示 🚫 陷阱一：判断锐角三角形的条件不充分 错误认为：若 a² + b² > c²，则 △ABC 是锐角三角形。 正解：这只能说明角 C 是锐角。要判断三角形是锐角三角形，必须保证最大边所对的角是锐角，或者三边均满足平方和大于第三边平方。 📐 陷阱二：忽视隐含条件 在使用余弦定理求边长时，有时会得到一元二次方程，解出两个正根。 警示：必须结合"大边对大角"或"两边之和大于第三边"进行检验，舍去不合题意的解。 📝 陷阱三：反三角函数书写规范 若 cosA = 13，不能直接写 A ≈ 70.5°（除非题目要求近似值）。 规范：应写为 A = arccos13。 💡 解题技巧与模型 🔄 边角互化策略 判断三角形形状时： 1. 化边为角：利用余弦定理将 a, b, c 转化为 sin, cos，适合处理含有 sin 的齐次式。 2. 化角为边：利用余弦定理将 cos 转化为边，适合处理高次边长关系。 🎯 余弦定理与面积公式综合应用 核心思路：利用余弦定理求出角的余弦值，再通过同角三角函数关系求正弦值，最后代入面积公式。 解题步骤： ① 用余弦定理求 cosC = a² + b² - c²2ab ② 利用 sin²C + cos²C = 1 求 sinC（注意取正值） ③ 代入面积公式 S = 12absinC 💡 技巧：若已知三边，可直接用海伦公式；但若已知两边及夹角，上述方法更直接。 📐 中线模型 求中线长或利用中线解题： 设 AD 为 BC 边中线，则 AB + AC = 2AD 两边平方和等于中线平方的2倍加上半底平方的2倍（倍长中线法推导）。 $