6.3.2余弦定理（第1课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第六章 三角 6.3 解三角形 6.3.2 余弦定理（第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解余弦定理的推导逻辑，熟记余弦定理的基本形式和变形形式，能熟练运用余弦定理解决解三角形的相关问题； 能结合正弦定理判断两边及一边对角的解的个数，完成三角形完整求解； 在推导余弦定理，体会数形结合和化归思想；在解三角形过程中，提升逻辑推理能力和数学运算能力. 新课引入 在前面的课程中，我们已经学习了正弦定理，你还记得该定理的主要内容吗？两点间的距离公式呢？ 正弦定理：. 两点间距离公式：、,则 此问题为已知两边及其夹角，不能用正弦定理求解，因为无对应角的对边条件，那三角形中边与角的余弦是否存在定量关系？ 这就是本节课要探究主题——余弦定理. 情景问题： 在△ABC 中，已知 AC=4, AB=3, A= 6, 求 BC 的长。 新知探究 探究一：余弦定理基本形式 如图，BC 的长度为 由两点间距离公式直接列式：，能否化简该式子？ 两边平方得,展开后整理 提取公因式,结合,一步化简得： 若是将角 分别置于原点，按相同方法可否推导出另外两个式子？ 新知探究 将角 分别置于原点，可推导出： 余弦定理基本形式： 在中，角 对边为 ，则 新知探究 探究二：余弦定理的变形 已知三边的情况下，如何利用余弦定理求内角余弦值？ 当 时，，此时 ，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的一般推广. 余弦定理变形： 即时训练 1.在中，已知，，，求． 【分析】根据余弦定理即可得到答案． 【详解】因为，，， 由余弦定理可得 ， 所以． 知识小结 余弦定理基本形式与变形 ① ② ③ 典例分析 例1 在△ABC中，已知 ，，．求 、 及 ． 【分析】先利用余弦定理求出边 c，再用余弦定理求出角 A，最后根据三角形内角和定理求出角 B. 解： 由余弦定理，得 故 ． 再由余弦定理，得 因为角 为三角形的内角，所以 ． 由三角形内角和定理，最后可得 ． 所以，，，． 典例分析 例2 在中，已知，，，求、及。 【分析】先用正弦定理求出角 的两个可能值，再根据三角形内角和定理求出角 C，最后用正弦定理求出边。 解 ：方法一：由正弦定理，得 所以，从而或。 当时，，再由 得； 当时，. 再由得 所以，，，或，， 典例分析 【分析】先用余弦定理列出关于边 c 的方程，解出 c 的两个可能值，再用余弦定理求出角 B，最后根据内角和定理求出角 C. 方法二：由余弦定理，得 即，所以或。 当时， 所以，从而； 当时， 所以，从而。 结论： 即时训练 2.已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是. 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解． 【详解】在中，，， 则，即， ，，， 则角为钝角或角为钝角. 若角是钝角，则，即， 故 若角是钝角，则，即，解得． 综上所述，的取值范围是． 典例分析 例3 在△ABC中，已知. 求角的余弦值和的面积. 【分析】已知三角形三边，先由余弦定理求出角 的余弦值，再利用同角三角函数关系求出,最后代 入三角形面积公式计算面积。 由此可得 从而 解：由余弦定理，得 即时训练 3.在△ABC 中，已知，，，求△ABC 的面积。 【分析】已知两边及夹角，先用余弦定理求出第三边 ，再利用面积公式 计算面积。 解： 由余弦定理： 所以 。 题型1 余弦定理解三角形 1.在中，已知三边之比为，求该三角形的最大角的余弦值. 【分析】借助余弦定理可解. 【详解】不妨设，边的对角为， 由已知， 设，则， 根据大边对大角，可得最大角为， 由余弦定理可得， 所以最大角余弦值为. 题型2 结合余弦定理求三角形面积 2.在△ABC 中，三边的长分别为，，，求三角形面积。 【分析】先由“大边对大角”确定最大角为 ，再用余弦定理求 ，进而求 ，最后用面积公式 计算。 解： 最大边 ，对应最大角 。 由余弦定理： 所以 ， 题型2 结合余弦定理求三角形面积 3.已知△ABC 中，，，，计算△ABC 的面积。 【分析】已知两边及夹角，先用余弦定理求出 ，再用面积公式 计算面积。 解： 由余弦定理： 所以 。 题型3 正余弦定理解三角形 4.在中，若，，且，则的周长为_________. 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得 故，所以 由余弦定理可得， 所以 可得，则 则周长为： 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 余弦定理 · 沪教版必修二 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 语音助手 核心定义与公式 余弦定理 在 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，则三角形中任意一边的平方等于 其他两边的平方和 减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2 = b2 + c2 − 2bc cosA b2 = a2 + c2 − 2ac cosB c2 = a2 + b2 − 2ab cosC 变形形式（求角） 用于已知三边求角的情况： cosA = b2 + c2 − a2 2bc cosB = a2 + c2 − b2 2ac cosC = a2 + b2 − c2 2ab 向量形式 若 AB = c， BC = a， CA = b，则： |a|2 = |b|2 + |c|2 − 2|b|·|c| cosA 易错点警示 🚫 边角对应混乱 在使用公式时，必须确保“夹角”是另外两边的夹角。例如求 a 边，必须用角 A，而不是角 B 或 C。 📐 忽视三角形存在条件 已知三边求角时，必须先验证是否满足 a + b > c。如果不能构成三角形，余弦定理无意义。 🔢 计算符号错误 当角为钝角时，余弦值为 负数。 公式 a2 = b2 + c2 − 2bc cosA 中的减号会变成加号（因为负负得正），计算时极易出错。 解题技巧与模型 1 知三求一 余弦定理连接了三角形的四个量（三边 + 一角）。 • 已知 两边一夹角 → 求第三边 • 已知 三边 → 求任意角 2 判断三角形形状 利用 a2 + b2 − c2 的符号判断角 C： • > 0 → cosC > 0 → 锐角 • = 0 → cosC = 0 → 直角 • < 0 → cosC < 0 → 钝角 3 数形结合思想 在解决实际应用题（如测量距离、航海问题）时，务必先画出示意图，将实际问题转化为三角形模型。注意方向角和方位角的区别。 $