6.3.2余弦定理（第3课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第六章 三角 6.3 解三角形 6.3.2 余弦定理（第3课时） 学 习 目 标 1 2 3 能精准阐述仰角、方位角的定义，准确将其转化为三角形的内角 / 边角关系； 能根据实际问题规范绘制几何示意图，熟练将测量、航海问题转化为解三角形问题； 在例题探究与解题的过程中，提升抽象概括能力、逻辑推理能力和数学运算能力. 新课引入 在前面的课程中，我们学习了正、余弦定理，你还记得定理的表达式吗？并说明各自适合解决什么类型的解三角形问题？ 正弦定理：； 余弦定理变形： 适用：已知两边及其夹角、已知三边，求边或角. 适用：已知两角一边、已知两边一对角，求边或角. 余弦定理：； 适用：已知两角一边、已知两边一对角，求边或角. 余弦定理：； 今天我们就来学习 —— 正、余弦定理的实际应用，一起探索如何用数学知识解决生活中的测量、航海问题。 新知探究 探究一：金茂大厦高度测量问题 金茂大厦是改革开放以来上海出现的超高层标志性建筑。有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的 处测得金茂大厦顶部 的仰角为 ，再向金茂大厦前进 到达 处，测得金茂大厦顶部 的仰角为 。请根据以上数据估算出金茂大厦的高度。（结果精确到 ） 实际问题 数学模型 角); BC=500m; 所求：AD的长度(大厦高度) 新知探究 ①先在斜三角形中，用正弦定理求 ②再在中，用三角函数求 解：根据题意，作出如图所示的示意图，问题转化为求直角三角形 中边 的长. 在 中，，， 由正弦定理，有 ，即 解题思路： 从而 。 所以，所估算的金茂大厦高度约为 。 即时训练 1.小明在水平地面的 处测得教学楼顶部 F 的仰角为 ，向教学楼直行 米到达 处，测得顶部 的仰角为 ，求教学楼的高度（结果保留根号）. 【分析、建模】 已知：，，，设教学楼高度； ①由得，则； ②在中，利用建立关于的方程求解。 即时训练 解：设教学楼的高度米，，，为等腰直角三角形，。 ， 在中，，， 即， 交又相乘得：，整理得： ，。 答：教学楼的高度为米。 知识小结 仰角测量问题 ①“同一水平线” 易形成直角三角形，目标量多在直角三角形中； ②斜三角形为 “辅助三角形”，用正、余弦定理求直角三角形的未知边； ③解题关键：找到斜三角形与直角三角形的公共边 探究一：金茂大厦高度测量问题 新知探究 甲船在距离 港口 24 海里并在南偏西 方向的 处驻留等候进港，乙船在 港口南偏东 方向的 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为 31 海里。当乙船行驶 20 海里到达 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船。求此时甲、乙两船之间的距离. 实际问题 数学问题 已知①AC=24 海里，A 港南偏西 20°； ②AB 方向：A 港南偏东 40°，BC=31 海里； ③BD=20 海里； 所求：CD 的长度。 新知探究 下面，让我们根据以上解题思路，解决该实际问题 解题思路： ①先在中，用正弦定理求 ②求 ③再在中，用余弦定理求 ④是两个三角形的桥梁角，是解题的关键. 新知探究 解 ：根据题意，作出如图 所示的示意图，其中 在 中，由正弦定理，得 ，从而 。 由 ，知 为锐角，故 在 中，由余弦定理，有 所以，此时甲、乙两船之间的距离为 21 海里。 【分析、建模】以 A 港为基准点，构建为两船到 港的距离， 为所求两船间距； 即时训练 2.一艘船在 A 港口南偏西 方向的 处，距离 海里，另一艘船在 港口南偏东 方向的 处，距离 海里，求此时 两船之间的距离。 ，由方位角得+ 南偏东 为直角三角形，可直接用勾股定理求 . 即时训练 以 A 港口为原点，作正南方向射线为基准， C在A南偏西30°,B在A南偏东60° BAC= 3+ 6= 9, 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得： (海里) 知识小结 方位角 + 多三角形问题的解题技巧 ①以方位角基准点为原点，规范绘制示意图; ②寻找桥梁量（边 / 角），确定两个三角形的求解顺序 ； ③用正弦定理求角后，必须结合 “大边对大角” 判断角的范围. 实际问题数学问题 题型1 方位角——物体间的距离 1. 一智能扫地机器人在 处发现位于它正西方向的 处和北偏东 方向上的 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到 的距离比到 的距离少 ，于是选择沿 路线清扫. 已知智能扫地机器人的直线行走速度为 ，忽略机器人吸入垃圾及在 处旋转所用时间， 完成了清扫任务. 求 、 两处垃圾之间的距离；（精确到 ） 【分析】设 ，则 ，，，由余弦定理得到 ，得到答案； 已知：机器人速度 ，总时间 ，因此总路程 。 已知：。 由方位角可知：。 题型1 方位角——测物体间的距离 【详解】由题意得 设 ，，则 ， 由题意得 . 在 中，由余弦定理得 解得 或 （舍去） 实际问题数学模型 题型2 仰角——物体间的距离 2.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点 、、 处测得阁顶端点 的仰角分别为 、、，且 米，求滕王阁的高度 . 设滕王阁的高度 ( 为阁顶 在地面的垂足)。 已知 、、 三点共线，且 米。 在 中，仰角为 ，则 。 在 中，仰角为 ，则 。 在 中，仰角为 ，则 。 题型2 仰角——物体间的距离 【分析】设 ，结合直角三角形可得 ， ， ，在 和 中，利用余弦定理列方程，结合 可解 ，进而得解. 【详解】设 ，因为 ， ， ， 所以 ， ， . 在 中， ， 即 . 在 中， 即 . 因为 ， 所以 两式相加可得 ， 解得 ，则 . 所以滕王阁的高度 为 米. 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 正、余弦定理的实际应用 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 高中数学 · 必修二 核心定义与公式 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 a sin A = b sin B = c sin C = 2R （R 为 △ABC 外接圆半径） 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2 = b2 + c2 − 2bc cos A cos A = b2 + c2 − a2 2bc 实际应用关键术语 仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角。 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。如“北偏东 α”。 方向角 指北或南方向线与目标方向线所成的小于 90° 的角。如“南偏西 30°”。 易错点警示 1 忽略三角形的存在条件 在已知两边和其中一边的对角解三角形时（如已知 a, b, A），可能出现一解、两解或无解的情况。务必通过作图或计算 b sin A 与 a 的大小关系进行判断。 2 角度范围的隐含限制 实际问题中，角度往往有特定范围。例如，三角形内角和为 180°，大边对大角。在使用正弦定理求角时，需注意 sin x 在 (0, π) 上可能有两解，需根据边的大小关系取舍。 3 实际问题建模偏差 将三维空间问题（如山高测量）转化为二维平面问题时，容易找错三角形。关键在于找到公共边，将空间三角形与平面三角形联系起来。 解题技巧与模型 定理选择策略 知三求一：已知两角一边，优先选正弦定理。 知三求一：已知两边一夹角，优先选余弦定理。 知三求一：已知三边，只能选余弦定理求角。 数形结合思想 解决方位角、距离问题的第一步永远是画出示意图。将文字语言转化为图形语言。 💡 提示：对于复杂的运动目标问题（如船只航行），可以使用向量法。 位移 s = vt 测量不可到达点距离模型 模型一：底部不可到达（测山高） 在水平面上选取一条基线 AB，测出 AB 长及 ∠CAB, ∠CBA，在 △ABC 中利用正弦定理求出 AC 或 BC，再在直角三角形中求高。 模型二：两点均不可到达（隔河测距） 选取基线 CD，测出 CD 长及 ∠ACD, ∠BCD, ∠ADC, ∠BDC。分别在 △ACD 和 △BCD 中求出 AC, BC，最后在 △ABC 中用余弦定理求 AB。 $