空间立体图形的表面积与体积 专题训练-2026届高三数学二轮复习

2026届高考数学二轮专题：空间立体图形的表面积与体积 一、选择题 1.已知圆锥的母线长1为5，体积V为12π，底面半径r,高为h(r<h),该圆锥的表面积为() A.15π B.20π C.24元 D.30m 2.已知正方体的棱长为1，A,B,C,D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球 的半径最大值为() 4.2-1 B9 c. 3 2 D. 6 3.如图，这是一个圆台的直观图，该圆台的上底面圆的直径是18cm,下底面圆的直径是12cm,母 线长是12cm,则该圆台的体积是() 18cm 12cm A.117V15πcm B.351vV15πcm C.171v15πcm D.51315πcm3 4.如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角 为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的 体积是() 30° A.48π B.96π C.192π D.240元 5.在正方体ABCD-ABCD中，M是校AB上的点，且AM=AB.平面MCD,将此正方体分 4 为两部分，设两部分体积分别为和（化<），则云 =() 25 B.32 7 A.7 D.25 6.六氟化硫，化学式为S「。，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性， 在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形 的八面体)，如图所示.若此正八面体的棱长为2，则下列说法正确的是() A.正八面体的体积为4V2 B.正八面体的表面积为8√3+4 C.正八面体的外接球体积为64红 3 D.正八面体的内切球表面积为8 7.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如 图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm,高均为9cm, 若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为() A.52πcm B. 640 4000π cm2 3 -cm2 C. 3 D.400xcm2 8.己知棱长为4的正方体ABCD-AB,CD的各个顶点均在球O的表面上，点P满足B,P=BC, 2 过点P作与直线BC垂直的平面a,则α截球O所得截面面积为() B. 64π 76π 9 C.9 D.63π 二、多项选择题 9.如图，四边形BCCB是圆柱的轴截面，AA是圆柱的一条母线，己知AB=4,AC=2V2, AA=3,则下列说法正确的是（) C A.圆柱的侧面积为2√3元 B.圆柱的侧面积为6√6π C.圆柱的表面积为6V6π+12π D.圆柱的表面积为2√6π+6π 10.在棱长为√2的正方体ABCD-AB,CD中，F为CB的中点，P为平面ACD上的一 动点，则下列选项正确的是() A.二面角D-AC-D的平面角的正切值为√2 B.三棱维B-ACD体积为 6 2W3 2元 C.以点D为球心作一个半径为 的球，则该球被平面ACD所截的圆面的面积为 3 D.线段BP+PF的最小值为5团 3 11.如图，在平面四边形ABCD中，BD=2V3,AD=3,CD=4,∠A=∠CBD=90°，将△BCD沿 BD折起，使点C到达点C的位置，下面正确的是() D B A.P为线段BD上的动点，则PA+PC的最小值为√3 A。异面直线BG与D所成角的余弦值取值范围是Q C.若平面CBD1平面4BD,M在三角形CD内部，BM=西，则M轨迹长度为2 7 D.当三棱锥C-ABD的体积最大时，三棱锥C-ABD的外接球的表面积为16π 三、填空题 12.已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为√5，则其体积为 13,有一个封闭的正三棱柱容器，高为12，内装水若干（如图1，底面处于水平状态)，将容器放倒 (如图2，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E、F、E,、F分别为所在棱的中点，则 图1中水面的高度为 A C y F F C B 图1 图2 14.如图，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，点P在正方形ABCD及其内部运动， 点Q在矩形ABEF及其内部运动.设AB=2,AF=√2，若PA⊥PE,当四面体PAQE体积最大 时，则该四面体的内切球半径为 D ·P B Q. F E 四、解答题 15.如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为凸四边形，且PD=AD=CD=4, PA=PC=AC=42,AB=BC. D D-- B (1)证明：AC⊥PB: (2)已知平面APC与平面BPC夹角的余弦值为75T 求四棱锥P-ABCD的体积. 57 16.如图，三棱台ABC-A,BC,AB⊥BC,AC⊥BB,平面ABBA⊥平面ABC,AB=6, BC=4,BB=2,AC与AC相交于点D,AE=2EB,且DE/1平面BCCB. (1)求三棱锥C-AB,C的体积； (2)平面ABC与平面ABC所成角为a,CC与平面ABC所成角为B,求a+B的值. 17.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，侧面ABB,A是正方形，AB=BC=2,∠ABC=90°，E,F 分别是棱AC,AB的中点，且BD=元BA(0≤1≤). A B 子 1)若= ,证明：DE1/平面CBBG; (2)当平面DEF与平面ABC夹角的余弦值最大时，求1的值. 18.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2,BC=1,沿AC将△ADC折起，使点D到达点P的位 置，点P在平面ABC的射影H落在边AB上， B (1)求三棱锥P-BCH的体积； (2)若M是棱PC上的一个动点，是否存在点M,使得平面AMB与平面PBC的夹角正切值为 √39 3 ,若存在，求点M到平面ABC的距离；若不存在，请说明理由. 19.如图，四面体A-BCD的四个顶点均为长方体ABCD-A,BCD的顶点. D C ! B (1)若四面体A-BCD各棱长均为√2，求该四面体的表面积和体积； (2)若AD=√3，AC=2,AB=√5，求四面体A-B,CD外接球的表面积. 答案解析部分 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】C 9.【答案】B,C 10.【答案】A,C,D 11.【答案】AB,D 12.【答案】28v3 3 13.【答案】9 14.【答案】22或8+45-52-36 2 2 15.【答案】(1)证明：因为PD=AD=4,PA=4√2， 所以PD2+AD2=PA2, 所以PD⊥AD, 同理可得PD⊥CD,又ADOCD=D,AD,CDC平面ABCD, 所以PD⊥平面ABCD, 因为ACC平面ABCD, 所以PD⊥AC, 连接BD, B 因为AD=CD,AB=BC,DB=DB, 所以△ADB≌ACDB, 所以∠ADB=∠CDB. 又因为AD=CD,由等腰三角形三线合一，得BD⊥AC, 又因为BDPD=D,BD,PDC平面PBD, 所以AC⊥平面PBD, 又因为PBC平面PBD, 所以AC⊥PB. (2)解：因为AD=CD=4,AC=42, 所以AD2+CD2=AC2, 所以AD⊥CD, 又因为PD⊥AD,PD⊥CD, 则AD,CD,PD两两垂直， 则以D为坐标原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x轴，y轴，：轴， 建立空间直角坐标系， 24 D-- A 夕 则A(4,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4), 所以Cp=(0,-4,4),CA=(4,-4,0), 由(1)知，DB平分∠ADC, 设B(a,a,0),所以CB=(a,a-4,0), 设平面ACP的法向量为m=（x,,), m.CP=-4y+4z1=0 则 m.CA=4x-4y=01 令x=1,得y=1,=1,所以m=(1,1,1), 设平面BCP的法向量为i=（x2,y2,2), i.CP=-4y2+4z2=0 则 i.CB=a2+(a-4)52=01 令y2=a,得x2=4-a,22=a, 所以i=(4-a,a,a）, 设平面APC与平面BPC夹角的大小为0， 则cosB=cosm,i= 历动 4+a 757 m-同√34-a2+a2+a 57 两边平方并化简得4a2-17a+15=0, 解得a=3或a= 4 因为AD=CD=4,AD⊥CD, 所以点D到AC的距离为ADsin无=2反， 因为四边形ABCD为凸四边形， 所以BD>2N2, 所以a=不合题意， 4 则a=3, 则BD=3√2， 可得S四边形ABCD= 4C.BD=x42x35=12, 2 所以Dp-写12x4=6。 16,【答案】(1)解：：平面ABBA⊥平面ABC, 且平面ABB,A⌒平面ABC=AB,AB⊥BC,BCC平面ABC, ∴，BC⊥平面ABBA, BBC平面ABBA,BC⊥BB, 又因为AC⊥BB,BCAC=C,BC,ACC平面ABC, BB⊥平面ABC, 连接CB,:DEII平面BCC,B,DEC平面ABC, 平面ABC⌒平面BCCB=CB, .DE//C B AE =2EB ,:AD=2DC 4G=24C, ,三棱锥C-AB,C底面三角形ABC的面积为： S=2x2x3=3, 高h=BB=2, ·三棱锥C-4BG的体积为：V=号Sh=×3x2=2. 1 3 3 (2)解：由题意和(1)得， 以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB,为，八，2轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， ZA B 则A(6,0,0),C(0,4,0),B(0,0,2),A(3,0,2),C1(0,2,2), 则BA=(3,0,0),BC=(0,4,-2),CC=(0,-2,2）. 设平面AB,C的法向量为i=(x,y,z),