3.2图形的旋转（分层作业，5基础8提升+培优）数学新教材北师大版八年级下册

3.2 图形的旋转 题型一 生活里的旋转现象 一、单选题 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 2．如图，将立方体绕它的对角线旋转，应该形成（    ）种立体图形． A． B． C． D． 3．如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　） A． B． C． D． 4．下列现象中： ①汽车方向盘转动；②物体随传送带水平移动；③电梯升降运动；④钟摆运动．属于平移的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 二、填空题 6．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 题型二 判别由旋转所形成的图形 一、单选题 1．新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B．C． D． 2．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 3．下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B．C． D． 4．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 5．观察图，图形②是图形①（　　）得到的 A．先向右平移3个格，再绕C点逆时针旋转 B．先绕C点逆时针旋转，再向右平移2个格 C．先向右平移2个格，再绕B点逆时针旋转 D．先绕A点顺时针旋转，再向右平移3个格 6．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 7．将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 8．下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（    ） A．B．C． D． 二、解答题 9．如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到． (1)说明得到的过程； (2)若点恰为的中点，，求的长． 10．如图，在三角形中，已知是上的高，，点E是的一点，，． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的式子表示）． (2)当，时，求阴影部分的面积的值． (3)三角形可以通过一种运动与三角形完全重合，请写出具体的运动方法：________． 题型三 确定旋转中心以及旋转点 一、单选题 1．如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形，则旋转中心和旋转角是（   ） A．点B， B．点O， C．点B， D．点O， 4．如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则旋转角为（   ）度 A．45 B．60 C．90 D．135 5．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（    ） A．点O， B．点O， C．点O， D．点B， 9．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（   ）    A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 二、填空题 10．如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则______． 11．如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________． 三、解答题 12．如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1)画出平面直角坐标系，使的顶点的坐标分别为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点的对应点分别为点）； (3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_________． 13．如图，是边长为2的等边三角形，旋转后能与重合， (1)写出旋转中心； (2)求旋转角． 题型四 旋转性质的辨析 一、单选题 1．在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 2．在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 3．如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A．  B．   C．    D．   4．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、解答题 5．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    题型五 对中心对称图形的认知 一、单选题 1．2025年国庆、中秋假期，“文博热”持续升温，各地博物馆依托特色展览、精美文创，让沉睡的历史走出展柜，成为打卡胜地．下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．已知一次函数的图象绕坐标原点旋转度后的一次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题 7．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 8．直线上有一点，则点P关于原点的对称点为____． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转180°得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________． 题型一 由旋转的性质求角度 一、单选题 1．如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．连接及，则 2．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（   ） A． B． C． D．57° 3．如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（    ） A．70° B．40° C．50° D．80° 5．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，当点恰好落在上时，与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 8．如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 11．如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 12．如图，将绕点A顺时针旋转，得到，这时点B，D，C恰好在同一条直线上，则的度数为________． 13．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 三、解答题 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 15．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 16．如图，在中，，将绕点A旋转到的位置，连接，当时，求的度数． 17．如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 题型二 在网格中画旋转图形 一、解答题 1．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 2．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点成中心对称的； (2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，点、和． (1)画出绕点旋转后的图形，并写出点的坐标为______． (2)请在轴上找出一点，使的值最大，并直接写出点的坐标______． 4．在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的； (2)作出关于原点O对称的； (3)可看作是以点 为旋转中心，旋转得到的． 5．如图，已知三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出将先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的； (2)请画出将绕点O按逆时针方向旋转后得到的； (3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标； (4)作出关于原点的中心对称图形． 题型三 运用旋转性质求解线段长度与面积 一、单选题 1．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 2．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，（    ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A．4 B． C． D．8 5．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长为（　　）    A．4 B． C．3 D． 6．如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 二、填空题 7．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 8．如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为______．    9．如图，在四边形中，，则四边形的面积为______．    10．如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 11．如图，将绕点旋转得到，若，则________．    12．如图，将绕点逆时针旋转得到，点A，，，在同一直线上，连接，若，，，则______．    三、解答题 13．如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B的对应点为点D，点C的对应点F落在边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 14．如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由． 16．如图，是等边内的任意一点，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．请判断的形状，并说明理由． 17．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 18．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 20．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，连接．    (1)求线段的长； (2)直接写出__________． 21．如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，并使点落在边上，连接，求的长．    题型四 运用旋转的性质来求解坐标 一、单选题 1．如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是_______． 6．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______． 三、解答题 7．如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______． (2)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 题型五 旋转90度以求解坐标 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．将直线绕点逆时针旋转后，所得到的直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，以为旋转中心，将点按逆时针方向旋转得到点Q，则点Q的坐标是______． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到， 则点的坐标是_______． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A旋转，得到线段，则点B1的坐标是______． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴上，点B在x轴上，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段． （1）当点B坐标为时，点C坐标为______； （2）当点B在x轴上运动时，点C的运动轨迹的函数关系式为______． 8．如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 9．如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为___________． 10． 如图，已知一个，，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为______． 三、解答题 11．对于平面直角坐标系中的图形W，直线l和点P，给出如下定义：先将图形W沿直线l对称得到对应图形，再将图形其绕点P逆时针旋转，得到图形，称为图形W的“旋轴变换图形”．其中，称直线l为“变换直线”，称点P为“变换点”．已知，点，“变换直线”为y轴，“变换点”为． (1)如图1， ①当时，点M的“旋轴变换图形”的坐标是 ； ②若点M的“旋轴变换图形”始终位于x轴上方，求m的取值范围； (2)已知点，随着点M的运动，在图2中画出线段MN的“旋轴变换图形”扫过的区域． 题型六 由旋转性质探究规律 一、单选题 1．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在x轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为．则翻转次后点A的坐标应为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 4．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为2的等边与O重合，将沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，每次翻转，经过2019次翻滚后，点B的坐标为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点、的坐标分别为、，将风车绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为________． 6．如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得到，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，请回答：的坐标为_________． 题型七 旋转求最值问题 一、单选题 1．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，直线l⊥OA垂足为点O，点B在直线l上一动点，△ABC是等边三角形，连结OC，已知OA＝6，则OC的最小值是________． 3．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 4．如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 三、解答题 5．【问题呈现】 在中，，，点是斜边上的一点，连接，试说明、、之间的数量关系，并说明理由． 【解决策略】小敏同学思考后是这样做的；如图1将绕点逆时针旋转，得到，连接，经过推理使问题得到解决，请回答： (1)的形状是 ，的形状是 ； (2)直接写出、、之间的数量关系是 ； 【方法感悟】若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中． (3)如图2，在四边形中，，，，若，，求的长； (4)如图3，在四边形中，，，若，．求，两点之间的最大距离． 6．（1）如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点C是x轴上的动点，线段绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段，连接、， ①求B点的运动轨迹解析式 ②的最小值是 　 　． 题型八 等边三角形构造旋转 一、单选题 1．如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在等边内有一点，使得，那么以、的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC=______． 4．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________． 三、解答题 5．如图，等边三角形内有一点P，分别连接、、，若，，． (1)则线段、、构成的三角形是______三角形（填“钝角、直角、锐角”）； (2)将绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的，并由此求出的度数； (3)求三角形的面积． 一、单选题 1．如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．30° D．45° 2．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为（　　） A．5cm B．5cm C．17cm D．cm 3．如图，在中，，，将绕点A逆时针转60°得到，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直角三角板中，，，，将三角板绕点顺时针旋转60°，得到，连接，则的长是（） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（   ）    A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 8．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．如图，将绕点旋转得到，设点D的坐标为，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，△ABC绕点A顺时针方向旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_______． 11．如图，在四边形中，，，若，，则对角线是的长为_________． 12．根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向．若给机器人下了一个指令，机器人将移动到点B，则点B的坐标为_________． 三、解答题 13．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点E，F分别在边AC，AB上，且AF=AE，连接BE，CF．M为FC的中点，连接AM ． (1)如图（1），试猜想BE和AM的关系，请写出你所得到的结论； (2)如图（2），将△AFE绕点A逆时针方向旋转90°，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），若将△AFE绕点A逆时针方向旋转后（0＜＜90），（1）中的结论是还成立吗？请判断并说明理由． 14．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF． (1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果） (2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论； (3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数． 15．把两个等腰直角三角形和按图所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为． (1)如图，与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图，中与的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图，当点在线段上时，求证：； (4)当旋转角______填度数时，的面积最大． 16．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点．    (1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标____________； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，求此时点A的二次关联点的坐标及P点坐标． 17．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明． 【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝　 　． 18．【课本再现】人教版九年级上册P74数学活动：把点绕原点分别顺时针旋转，，，，点的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转的角度 对应点的坐标 （1）完成表格剩余部分； 【迁移应用】 （2）新定义：现将点绕原点顺时针旋转，当时，旋转角度为，当时，旋转角度为，得到的对应点称作点的变换点． ① 求的变换点坐标_______________； ② 直线上所有点的变换点组成一个新图形记为，请求出的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.2图形的旋转 基础达标题 题型一生活里的旋转现象 一、单选题 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 二、填空题 6.【答案】689 题型二判别由旋转所形成的图形 一、单选题 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】C 8.【答案】B 二、解答题 9.【答案】(I)△DAB可以看作是由aECB绕顶点B逆时针旋转60°而得到(2)3 【详解】(1)解：：ABC和△EDB都是等边三角形， .AB=CB,BD=BE,∠DBE=∠ABC=60°， :∠DBE+LABE=LABC+LABE,即∠ABD=∠CBE, 在ADAB和△ECB中， AB=CB ∠ABD=∠CBE, BD=BE 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△DAB≌△ECB(SAS, .AD=CE, .△DAB可以看作是由△ECB绕顶点B逆时针旋转60°而得到. (2)解：：△EDB是等边三角形，DB=2, ∴DE=BE=DB=2,∠BED=∠D=60°， :点E恰为AD的中点， :AD =2DE =4,AE DE=2, :AE BE, .∠BAD=∠ABE, .∠BAD+∠ABE=∠BED=60°， .∠BAD=∠ABE=30°， 由(1)己证：△DAB≌△ECB, .∠BEC=∠D=60°，CE=AD=4, :.∠BFE=180°-LABE+∠BEC)=90°， 在R1ABEF中，EF=BE=1, .CF=CE-EF=4-1=3. 10.【答案】0=a+61a-) (2)44(3)△CAD绕点A顺时针旋转90° 【详解】(1)解：阴影部分的面积=三角形BCD的面积三角形BED的面积 D:AC BD:AE oc-46 -40+44C-4 =2(a+b)a-b): (2)解：当a=10.75,b=5.25时， 阴影部分的面积=a+b(a-b) -075+52510075-52 2×16x5.5 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =44; (3)解：三角形CAD可以通过一种旋转运动与三角形BAE完全重合， 具体的运动方法：三角形CAD可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形BAE完全重合. 故答案为：三角形CAD可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形BAE完全重合. 题型三确定旋转中心以及旋转点 一、单选题 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】C 二、填空题 10.【答案】40 11.【答案】82 三、解答题 12.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(0，-2 【详解】(1)解：平面直角坐标系如图： YA B (2)解：如图，△ABC即为所求； 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：连接FF,EE,DD,交点即为旋转中心，可得坐标为O,-2), B B 故答案为：(0，-2). 13.【答案】(1)点B是旋转中心(2)旋转角是60° 【详解】(1)：旋转后点B没有改变， .点B是旋转中心： (2):AB与BC是旋转前后对应边， .旋转角为∠ABC, .·△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°， 旋转角是60°. 题型四旋转性质的辨析 一、单选题 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】D 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.【答案】C 二、解答题 5.【答案】30 【详解】解：将ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C, B A CB=CB',∠A=∠A', :点B可以恰好落在AB的中点处， 点B是AB的中点， :∠ACB=90°， :CB'=1AB-BB, 2 .CB=CB'=BB', 即△CBB'是等边三角形， ∠B=60°， :∠ACB=90°， ∠A=∠A'=30°. 题型五对中心对称图形的认知 一、单选题 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】C 二、填空题 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.【答案】（-3，-1 8.【答案】(-3，-6 三、解答题 9【答案】①图见解折，4的坐标，Q0,》 【详解】(1)解：作点A关于点C的对称点A,作点B关于点C的对称点B,点C与点C重合，连接AB, B,C,CA,即可得△AB,C,A(3,1, 如图，△AB,C为所求，点A的坐标为3,1 C(C A A O B (2)解：点A3,1)的对应点4的坐标为3，-2)，3-3=0，-2-1=-3， ·将△A,B,C向下平移3个单位长度得到△4，B,C2, 设ABC与△4，B,C恰好关于点P(m,n)成中心对称，则点P为AA,的中点， A-3,1,A3,-2), :m3+3 2 1+-2- 0,n= 2 , (a-) :这个对称中心的坐标为0引》 故答案为： 试卷第1页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 YA C(C A B B B 能力提升题 题型一由旋转的性质求角度 一、单选题 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】B 二、填空题 10.【答案】25 11.【答案】50 12.【答案】25°/25度 13.【答案】2√3 三、解答题 14.【答案】(1)证明见解析(2)50 【详解】(1)证明：：ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点A的对应点D落在线段 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB上， CA=CD,∠A=∠CDE, .∠A=∠CDA, LCDA=∠CDE, .DC平分∠ADE; (2)解：：∠ACB=90°，∠A=70°， .∠CBA=90°-∠A=90°-70°=20°， :∠A=∠CDA=70°， .∠ACD=180°-∠A-∠CDA=180°-70°-70°=40°， :ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC, ∴CB=CE,∠ACD=∠BCE=40°，∠CED=∠CBA=20°， :∠CBE=∠CEB=5×(180°-∠BCE)=5×180°-40)=70°， .∠DEB=∠CEB-∠CED=70°-20°=50°， .∠DEB的度数为50°. 15.【答案】(1)见解析(2)44° 【详解】(1)证明：：将线段AD绕着点A顺时针旋转40°能与线段AE重合， AD=AE,∠DAE=40°， ∠DAE=∠BAC, ∠CAD=∠BAE, 在△ACD和△ABE中， AC=AB, ∠CAD=∠BAE, AD=AE, △ACD≌△4BE(SAS, .BE CD, (2)由△ACD≌△ABE得：∠AEB=∠ADC=114°， AD=AE,∠DAE=40°， ÷∠4ED=×180°-40)=70°， .∠BED=∠AEB-∠AED=114°-70°=44°. 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.【答案】50° 【详解】解：：CC'∥AB .∠C'CA=LCAB=65°， :由旋转的性质可知，AC=AC', .∠ACC'=LAC'C=65°， .∠CAC'=180°-65°-65°=50°， .∠BAB'=50°. 17.【答案】(1)见解析；(2)∠CDE=80°， 【详解】(1)解：证明：：ABC绕点A逆时针旋转得到ADE, ∴∠ACB=∠E, :点B,C,D在同一直线上， .∠ACD+∠ACB=180°， .∠ACD+∠E=180°. (2):ABC绕点A逆时针旋转得到ADE, ·∠B=∠ADE, :△ABD的内角和为180°，∠BAD=100°， .∠B+∠ADB=180°-∠BAD=80°， LCDE=∠ADE+LADB=LB+LADB=8O°. 题型二在网格中画旋转图形 一、解答题 1.【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)△4，B,C2,△4B,C,;△AB,C,△4，B,C,(2.5,0) 【详解】(1)解：△AB,C如图所示： 试卷第1页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B (2)解：△4，B,C如图所示： B B B (3)解：△4B,C如图所示： VA B B B (4)解：由图可知，△4，B,C,与△AB,C成轴对称，△A,BC与△4B,C成中心对称，对称中心为2.5,0) 故答案为：△A,B,C2,△4B,C3；△A4,B,C1,△4B,C，2.5,0). 2.【答案】(1)画图见解析；(2)-2,3)；(3)0,1 【详解】(1)解：画出ABC关于坐标原点O成中心对称的△AB,C如图所示： 试卷第1页，共3页 3.2 图形的旋转 题型一 生活里的旋转现象 一、单选题 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【分析】题目主要考查旋转的定义，旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即可． 【详解】解：旋转的定义是物体绕一个固定点或轴做圆周运动， A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心； B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移； C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移； D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，属于旋转； 故选：D． 2．如图，将立方体绕它的对角线旋转，应该形成（    ）种立体图形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，是解答本题的关键． 【详解】根据正方体的特征，正方体沿对角线旋转一周，得到的是一个上、下端为圆锥，中间是两个有公共小底面的两个圆台． 故选：C 3．如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，中心对称图形的概念及识别，根据旋转的性质且结合图1和图2的变化，找出中心对称图形，即可作答． 【详解】解：4张扑克牌中，只有方块6是中心对称图形， 观察图1和图2，它们都没有改变，因此被旋转过的牌是方块6， 故选：D 4．下列现象中： ①汽车方向盘转动；②物体随传送带水平移动；③电梯升降运动；④钟摆运动．属于平移的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①汽车方向盘转动，是旋转运动； ②物体随传送带水平移动，是平移运动； ③电梯升降运动，是平移运动； ④钟摆运动，是旋转运动； ∴属于平移的有2个， 故选：B． 5．下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 二、填空题 6．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 题型二 判别由旋转所形成的图形 一、单选题 1．新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 2．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 3．下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转． 【详解】 解：是通过轴对称得到的，不是通过旋转得到的． 故选：C． 4．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的三要素即旋转中心，旋转角，旋转方向的应用． 根据旋转的性质，判断每个选项的图形是否可由原图形旋转得到。 【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转（或）得到，故此选项不符合题意； B．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符合题意；     C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；     D．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选项不符合题意；     故选：C． 5．观察图，图形②是图形①（　　）得到的 A．先向右平移3个格，再绕C点逆时针旋转 B．先绕C点逆时针旋转，再向右平移2个格 C．先向右平移2个格，再绕B点逆时针旋转 D．先绕A点顺时针旋转，再向右平移3个格 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据旋转，平移的特点解答即可． 【详解】解：根据题意，得先绕C点逆时针旋转再向右平移2个格，得到题意图， 故选：B． 6．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 7．将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键． 【详解】 解：将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是， 故选：． 8．下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转．根据旋转的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 能由经过旋转得到，其他三项中的图形都不能得到， 故选：B． 二、解答题 9．如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到． (1)说明得到的过程； (2)若点恰为的中点，，求的长． 【答案】(1)可以看作是由绕顶点逆时针旋转而得到 (2)3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、图形的旋转等知识，熟练掌握图形的旋转和等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先根据等边三角形的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，，然后求出，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴可以看作是由绕顶点逆时针旋转而得到． （2）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵点恰为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 10．如图，在三角形中，已知是上的高，，点E是的一点，，． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的式子表示）． (2)当，时，求阴影部分的面积的值． (3)三角形可以通过一种运动与三角形完全重合，请写出具体的运动方法：________． 【答案】(1) (2)44 (3)绕点A顺时针旋转 【分析】本题考查旋转的性质，列代数式，代数式求值，解决本题的关键的掌握旋转的性质． （1）根据阴影部分的面积=三角形的面积-三角形的面积，代入a，b计算即可； （2）结合（1）代入值计算即可； （3）根据旋转的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：阴影部分的面积=三角形的面积-三角形的面积 ； （2）解：当时， 阴影部分的面积 ； （3）解：三角形可以通过一种旋转运动与三角形完全重合， 具体的运动方法：三角形可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形完全重合． 故答案为：三角形可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形完全重合． 题型三 确定旋转中心以及旋转点 一、单选题 1．如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解． 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 2．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转角，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴旋转角为， 故选：C． 3．如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形，则旋转中心和旋转角是（   ） A．点B， B．点O， C．点B， D．点O， 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的概念，熟练掌握“旋转中心是旋转过程中不动的点，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角”是解题的关键．根据旋转的定义，确定旋转中心，再找出对应点与旋转中心连线的夹角作为旋转角． 【详解】解：∵三角形绕点旋转得到三角形， ∴旋转中心是点， ∵点的对应点是点， ∴旋转角是， 故选：D． 4．如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则旋转角为（   ）度 A．45 B．60 C．90 D．135 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质．根据旋转的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：由图形得，由旋转的性质得， ∴， ∴旋转角为45度． 故选：A． 5．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求旋转角的度数，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角的度数为， 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的旋转变换．利用网格特点，作和的垂直平分线，它们相交于点，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，可由绕点顺时针旋转得到，所以旋转中心的坐标为．    故选：A． 7．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 8．如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（    ） A．点O， B．点O， C．点O， D．点B， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质解答即可，熟练掌握旋转的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O，， 故选：A． 9．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（   ）    A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 【答案】C 【分析】由按顺时针旋转到的位置，可得点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵如图，按顺时针旋转到的位置，    ∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点． 故A，B，D三项错误，C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了旋转的性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 二、填空题 10．如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则______． 【答案】 【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键． 根据旋转的概念得到是旋转角，即可求解. 【详解】解：∵绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴是旋转角， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________． 【答案】 【分析】设，根据旋转的旋转得，，，的度数等于旋转角的度数，再利用三角形外角性质得，接着证明，则利用三角形内角和得到，然后求出x后计算即可得到旋转角的度数． 【详解】解：设， ∵绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合， ∴，，，的度数等于旋转角的度数， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴旋转角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转前后对应的角相等和边相等是解决问题的关键． 三、解答题 12．如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1)画出平面直角坐标系，使的顶点的坐标分别为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点的对应点分别为点）； (3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与平面，画旋转图形，旋转中心的确定等知识点． （1）根据顶点的坐标分别为建立平面直角坐标系即可； （2）将点分别绕着点得到点，再顺次连接即可； （3）连接对应点，交点即为旋转中心，即可求解． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图： （2）解：如图，即为所求； （3）解：连接，交点即为旋转中心，可得坐标为， 故答案为：． 13．如图，是边长为2的等边三角形，旋转后能与重合， (1)写出旋转中心； (2)求旋转角． 【答案】(1)点B是旋转中心 (2)旋转角是60° 【分析】（1）根据旋转后点B没有改变即可得出答案； （2）找出旋转前后AB与BC是对应边，所以AB与BC的夹角等于旋转角的度数，再根据等边三角形的内角都是60°进行求解即可． 【详解】（1）∵旋转后点B没有改变， ∴点B是旋转中心； （2）∵AB与BC是旋转前后对应边， ∴旋转角为∠ABC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∴旋转角是60°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转中心的确定，旋转角的确定，掌握旋转的性质是解题的关键． 题型四 旋转性质的辨析 一、单选题 1．在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，旋转的性质，掌握平移和旋转的性质是解题关键．根据平移和旋转后的对应线段都相等解答即可． 【详解】解：平移的性质：对应点所连线段平行（在同一直线上）、对应点所连线段相等、对应线段平行（在同一直线上）、对应线段相等、对应角相等； 旋转的性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心的距离相等． 故选D． 2．在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】根据平移和旋转的定义，依次进行判断即可得． 【详解】解：A、图形由经过平移得到，选项说法正确，不符合题意； B、图形不能由经过旋转或平移得到，，是由翻折得到的，选项说法错误，符合题意； C、图形由经过旋转得到，选项说法正确，不符合题意； D、图形由经过旋转和平移得到，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握平移，旋转的定义． 3．如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A．  B．    C．    D．   【答案】D 【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可． 【详解】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到． 选项A，其中绕点逆时针旋转可以得到， 选项D，其中绕点逆时针旋转可以得到． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二、解答题 5．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，    ∴，， ∵点可以恰好落在的中点处， ∴点是的中点， ∵， ∴，             ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 题型五 对中心对称图形的认知 一、单选题 1．2025年国庆、中秋假期，“文博热”持续升温，各地博物馆依托特色展览、精美文创，让沉睡的历史走出展柜，成为打卡胜地．下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：． 4．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 5．已知一次函数的图象绕坐标原点旋转度后的一次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，先求出直线与轴和轴的交点坐标，进而根据中心对称的性质求出对称点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解，掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵一次函数的图象绕坐标原点旋转度， ∴点的对称点为，点的对称点为， 设旋转后的一次函数的表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴旋转后的一次函数的表达式为， 故选：． 6．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 二、填空题 7．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 8．直线上有一点，则点P关于原点的对称点为____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和关于原点对称的点的坐标关系，熟知一次函数图象上点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 先根据点P在直线上求出n的值，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出对称点的坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点P关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转180°得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)画图见解析，的坐标 (2) 【分析】本题考查坐标与图形的旋转和平移，对称中心． （1）根据旋转的性质得出点的对应点，，，连线即可； （2）根据已知可得对应点的中点坐标，即为对称中心的坐标． 【详解】（1）解：作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，点与点重合，连接，，，即可得，， 如图，为所求，点的坐标为 （2）解：∵点的对应点的坐标为，，， ∴将向下平移个单位长度得到， 设与恰好关于点成中心对称，则点为的中点， ∵，， ∴，， ∴， ∴这个对称中心的坐标为． 故答案为：． 题型一 由旋转的性质求角度 一、单选题 1．如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．连接及，则 【答案】C 【分析】由旋转的性质得出，，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，继而求出，则可求出，可判断选项A；设，根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可得，可判断选项B；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项C；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕着点顺时针方向旋转得到，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项A说法正确，故此选项不符合题意； 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴选项B说法正确，故此选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项C说法错误，故此选项符合题意； 如图， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴选项D说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（   ） A． B． C． D．57° 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质（对应边、角相等）、等腰三角形性质（等边对等角）及三角形内角和定理．解题关键是通过旋转性质建立边与角的等量关系，再结合等腰三角形和角的和差关系推导目标角度．利用旋转的性质得到对应边、角相等，结合直角三角形内角和求出，再通过等腰三角形性质和角的和差关系计算 【详解】解：中，， ， 绕点B逆时针旋转得到， ，，， 又可知，是等腰三角形，顶角为（旋转角等于原角）， 底角， ， 故选：B． 3．如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，再利用等腰三角形的性质得出，可得． 【详解】解：由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故选B． 4．如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（    ） A．70° B．40° C．50° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角、平行线的性质．旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数． 【详解】解：设； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； 即，； 由旋转的性质可知，； ∴； 故选：C． 6．如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转的性质可得，，由等边对等角可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，当点恰好落在上时，与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由旋转的性质可得，，可得，由三角形的内角和及平角定义即可得出结论． 【详解】解：是由绕点顺时针旋转得到的， ，， ， ， ， 故选：C． 8．如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由旋转的性质可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 10．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角及三角形内角和，掌握旋转的性质是关键；根据旋转的性质得，，根据等边对等角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图，设交于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 11．如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据垂直得出直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据旋转的性质得出对应边相等和对应角相等，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，将绕点A顺时针旋转，得到，这时点B，D，C恰好在同一条直线上，则的度数为________． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．先由旋转得出，，，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数解答即可． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 先由旋转性质得到，，，进而得到是等腰直角三角形，则，再根据题意，得到，在中，由含的直角三角形性质得到，从而由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， 即是等腰直角三角形， ，且， ， ，， 在中，，，，则， 由勾股定理可得， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理， （1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 15．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，，证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）由得：， ，， ， ． 16．如图，在中，，将绕点A旋转到的位置，连接，当时，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数．证出以及是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴． 17．如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 题型二 在网格中画旋转图形 一、解答题 1．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，；，， 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键． （1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 故答案为：，；，，． 2．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点成中心对称的； (2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，从图中直接读出的坐标； （3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：画出关于坐标原点成中心对称的如图所示： （2）解：画出绕点顺时针旋转后得到的如图所示： 得到的坐标为； 故答案为：； （3）解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示： 旋转中心的坐标为． 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，点、和． (1)画出绕点旋转后的图形，并写出点的坐标为______． (2)请在轴上找出一点，使的值最大，并直接写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查了旋转作图、两线段差的最大值，关键是画出正确的图形； （1）根据题目要求画出图形，根据图形写出点的坐标即可； （2）作出直线与轴交点，根据图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：连接，并延长到点，使，同理可得，顺次连接，如图所示：即为所求， ∴； 故答案为：； （2）解：当三点共线时，的值最大， 延长交轴于点，点即为所求，由图可知：； 故答案为：． 4．在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的； (2)作出关于原点O对称的； (3)可看作是以点 为旋转中心，旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，相交于点M，则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的，通过图形和坐标系确定点的坐标； 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：连接，，，相交于点M， 则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． 5．如图，已知三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出将先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的； (2)请画出将绕点O按逆时针方向旋转后得到的； (3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，旋转和轴对称，熟知平移，旋转和轴对称的相关知识是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，根据网格的特点即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标； (4)作出关于原点的中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可； （3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心； （4）先得出关于原点的中心对称图形的对应点坐标分别为，，，再作图即可． 【详解】（1）解：∵的对应点为， ∴是水平向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到， ∴，． 如图，即为所求作三角形； （2）解：如图，即为所求作三角形； （3）解：先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、， 分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心点P， 则旋转中心为； （4）解：关于原点的中心对称图形的对应点坐标分别为，，， 如图，即为所求作三角形． 题型三 运用旋转性质求解线段长度与面积 一、单选题 1．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 2．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形角所对直角边等于斜边一半及旋转的性质：旋转前后图形大小形状不变只是位置发生改变； 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， 故选：B． 4．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 5．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长为（　　）    A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，可求，由勾股定理可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是本题的关键 6．如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质． 根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故选：D． 二、填空题 7．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 先由旋转性质得到，，，进而得到是等腰直角三角形，则，再根据题意，得到，在中，由含的直角三角形性质得到，从而由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， 即是等腰直角三角形， ，且， ， ，， 在中，，，，则， 由勾股定理可得， 故答案为：． 8．如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为______．    【答案】7 【分析】由旋转的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 9．如图，在四边形中，，则四边形的面积为______．    【答案】 【分析】根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行选择，使不规则图形转化为规则图形． 10．如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，而点落在边上的点处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转到， ∴，， ∵点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 11．如图，将绕点旋转得到，若，则________．    【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质，由直角三角形的性质及勾股定理计算出，再由旋转的性质即可得到答案，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ， ， 由旋转的性质可得：， 故答案为：． 12．如图，将绕点逆时针旋转得到，点A，，，在同一直线上，连接，若，，，则______．    【答案】5 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据旋转得，可证是直角三角形，根据勾股定理求出，再证出即可得出结果． 【详解】解：，绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：5． 三、解答题 13．如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B的对应点为点D，点C的对应点F落在边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，再根据等腰直角三角形的性质即可证明； （2）根据，，再结合，即可求出．，由旋转可知，则利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴根据旋转可知：， ∴在中，， ∴， 由旋转可知， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键． 14．如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证； （）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴，                                         在和中， ， ∴； （2）解：由（）知， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 15．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由旋转的性质得出，证出，则可得出． 【详解】解：，理由如下： ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，是等边内的任意一点，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ∵将绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴是等边三角形． 17．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 18．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合等边三角形与全等三角形的判定完成推理，再利用特殊直角三角形的性质求解线段长度． （1）根据旋转的性质得到，旋转角，据此判定为等边三角形，得到，结合已知，利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 【详解】（1）解：∵绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 19．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【答案】，证明见解析． 【分析】本题考查了选旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，把绕点顺时针旋转得到，连接，可得，，，，由，得，进而可得，得到，即得，再证明得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：． 理由：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，连接．    (1)求线段的长； (2)直接写出__________． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的面积公式， （1）先根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出的长，然后根据线段的和差求得即可． （2）根据等面积法求得边上的高，然后根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处， ∴， ∴， 故线段的长为2． （2）∵，，， ∴， ∴边上的高为， ∴， 故答案为：． 21．如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论； （2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，知． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴， 即． （2）解：在和中， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在中， 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，并使点落在边上，连接，求的长．    【答案】 【分析】根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵, ∴根据勾股定理得：， 由旋转的性质可知， ， ， 【点睛】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键. 题型四 运用旋转的性质来求解坐标 一、单选题 1．如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转对称的知识点，准确分析作图是解题的关键． 连接，分别作的垂直平分线，交点即为点，由对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心即可求解． 【详解】解：如图，连接，分别作的垂直平分线，交点即为点， 由图象可知，点的坐标为． 故选：B． 2．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴，根据原点O是等边三角形的中心，得出，即可得重合，，求出，，得出点的坐标，即可解答． 【详解】解：连接，过点作轴， ∵原点O是等边三角形的中心， ∴， ∴重合，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 4．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造出直角三角形． 过点C作轴于点E，由题意可得，，再利用含度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点C作轴于点E， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 6．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，解题关键是含角的直角三角形的性质． 先根据点的坐标是，求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，即可得解． 【详解】解：如图所示，设点的对应点为点，过点作轴的垂线，垂足为， ，点的坐标是， ， ，， ， ， 由旋转的性质可得， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 7．如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______． (2)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称，线段垂直平分线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得， 故答案为：； （2）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 即旋转中心的坐标为 故答案为： 题型五 旋转90度以求解坐标 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 过C作轴于M，则，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图，过C作轴于M，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．将直线绕点逆时针旋转后，所得到的直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，求一次函数解析式，解题的关键是求出旋转后对应点的坐标． 求出直线与x轴和y轴的交点坐标可得，从而，设直线绕点逆时针旋转后，点B的对应点，旋转后的直线与y轴交于点C，求出，然后用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴点在直线上． ∵当时，， ∴直线与轴相交于， ∴， ∵， ∴， 如图，设直线绕点逆时针旋转后，点B的对应点，旋转后的直线与y轴交于点C， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设旋转后得到的直线的函数解析式为， 则， 解得：， 即． 故选：B． 3．如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键． 根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标． 【详解】解：如图所示： A的坐标为，向上平移1个单位后为，再绕点P逆时针旋转后对应点的坐标为． 故选：D． 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，以为旋转中心，将点按逆时针方向旋转得到点Q，则点Q的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，三角形全等的判定和性质，过点A作轴，过点P，作于点C，过点Q作于点B，根据，，得出，，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴，过点P，作于点C，过点Q作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即 故答案为：． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到， 则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，求一次函数与坐标轴的交点坐标，先由一次函数解析式求出点A和点B的坐标，进而得到的长，由旋转的性质得到，则轴，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴轴， ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A旋转，得到线段，则点B1的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将线段绕点A逆时针旋转时，得到线段，过点作轴于，过点作轴于，证明，得到，将线段绕点A顺时针旋转时，同理可得答案． 【详解】解：将线段绕点A逆时针旋转时，如图所示，得到线段，过点作轴于，过点作轴于， ∴，， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 将线段绕点A顺时针旋转时，如图， 同理可得； 故答案为：或． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴上，点B在x轴上，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段． （1）当点B坐标为时，点C坐标为______； （2）当点B在x轴上运动时，点C的运动轨迹的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，证明，得到，则，据此可得答案； （2）分两种情况：点B在x轴负半轴和点B在x轴正半轴或原点，过点C作轴于D，证明，进而求出点C的坐标，从而可确定点C的运动轨迹的函数关系式． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作轴于D， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设点B的坐标为， 如图所示，当点B在x轴负半轴时，过点C作轴于D， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴点C在直线上； 如图所示，当点B在x轴正半轴或原点时，过点C作轴于D， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C在直线上； 综上所述，点C在直线上； ∴点C的运动轨迹的函数关系式为， 故答案为：． 8．如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点B的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 过点作轴于点D，证明，再利用全等三角形的对应边相等求解． 【详解】解：∵点， ∴， 过点作轴于点D，则 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 如图，已知一个，，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意，，进而得出，根据已知得出，则，结合图形即可求解． 【详解】解：平移轴如图所示，使轴经过点，则点的坐标变为， 绕点顺时针旋转后，其关于点的对应点的坐标为， ∴点在原坐标系中的坐标为． 一题多解法 如图，将绕点顺时针旋转得到，，， ． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题 11．对于平面直角坐标系中的图形W，直线l和点P，给出如下定义：先将图形W沿直线l对称得到对应图形，再将图形其绕点P逆时针旋转，得到图形，称为图形W的“旋轴变换图形”．其中，称直线l为“变换直线”，称点P为“变换点”．已知，点，“变换直线”为y轴，“变换点”为． (1)如图1， ①当时，点M的“旋轴变换图形”的坐标是 ； ②若点M的“旋轴变换图形”始终位于x轴上方，求m的取值范围； (2)已知点，随着点M的运动，在图2中画出线段MN的“旋轴变换图形”扫过的区域． 【答案】(1)（1）①② (2)见解析 【分析】（1）①根据轴对称的定义得到，作轴，由得到，，，即可求解，②同上得到，分情况进行讨论，得到，即可求解， （2）同上，得到，设，则，，即可求解， 本题考查了坐标轴内的对称，旋转，解题的关键是：根据一线三等角全等，得到旋转后的坐标． 【详解】（1）解：①当时，， 关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②，关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 当时，， 当时， ， 当时，， ∴， 当时，，始终位于x轴上方， （2）解：由（1）可知， ，关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，，，， ∴， 当时， ，，， ∴， 设，则，， ∴扫过的区域如图 题型六 由旋转性质探究规律 一、单选题 1．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 2．如图，长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在x轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为．则翻转次后点A的坐标应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解第2次翻转后、第3次翻转后、第4次翻转后点A的坐标，再探究总结规律，利用规律解决问题即可．本题考查坐标规律的探究，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：∵第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为． ∴第2次翻转后点A的坐标为， ∴第3次翻转后点A的坐标为， ∴第4次翻转后点A的坐标为， ∴第5次翻转后点A的坐标为， 依次类推：发现点A的纵坐标4次翻转为一个循环，长方形旋转一周，横坐标增加6， ∵， ∴则翻转次后点A的纵坐标与第2次翻转后点A的纵坐标相等，即为0， 则横坐标， ∴则翻转次后点A的坐标应为 故选：D． 二、填空题 3．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 4．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为2的等边与O重合，将沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，每次翻转，经过2019次翻滚后，点B的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查探究图形变化规律，等边三角形，直角三角形的性质，勾股定理，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 先求出第一次至第六次的点B坐标，探究总结出规律：第（m为正整数）次，点B坐标为，然后利用规律解决问题． 【详解】解：第一次点B坐标为， 第二次点B坐标为， 第三次点B坐标为， 第四次点B坐标为， 第五次点B坐标为， 第六次点B坐标为， … 第（m为正整数）次，点B坐标为， 据此，因为， 所以经过2019次翻转之后，点B的坐标为即， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点、的坐标分别为、，将风车绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的额性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．由平行四边形的性质可得，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，即相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，连接、，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，即可求解． 【详解】解：、， ， 四边形是平行四边形， ， ， 风车绕点逆时针旋转，每次旋转，， 次为一个周期， ， 第次旋转结束相当于第次旋转结束， ， 第次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点， 如图 ，连接、，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即第2025次旋转结束时，点的坐标为， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得到，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，请回答：的坐标为_________． 【答案】 【分析】分别求出的坐标，从点A开始，后面每点的横坐标都加4，得到规律即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵是等边三角形，且边长为4， ∴， ∴， ∴； 根据旋转和等边三角形的性质可得， 即与轴平行， ∵点A向右平移4个单位得点，向右平移4个单位得点，向右平移4个单位得点，……， ∴点的横坐标依次加4，纵坐标不变， 即A横坐标为2，点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，……，点横坐标为， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标规律探索，等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理等知识，找到规律是解题的关键． 题型七 旋转求最值问题 一、单选题 1．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值． 【详解】解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD， 则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图， ∵△ABC为等边三角形ABC， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△DAC和△PAB中， ， ∴△DAC≌△PAB（SAS）， ∴DC＝PB， ∵DA＝PA，, ∴为等边三角形， ∴, 而PB＝2，PA＝1， ∴DC＝2， ∵PC≤DP＋DC， ∴PC≤3， 所以PC所能达到的最大值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 二、填空题 2．如图，直线l⊥OA垂足为点O，点B在直线l上一动点，△ABC是等边三角形，连结OC，已知OA＝6，则OC的最小值是________． 【答案】3 【分析】把△AOC绕点A逆时针旋转60°得到△ADB，当DB⊥直线l时，DB取得最小值，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，把△AOC绕点A逆时针旋转60°得到△ADB，连接OD， 则OC= DB，AO=AD，∠CAB=∠OAD=60°， ∴△ADO是等边三角形， ∴AO=AD=OD=6，∠AOD=60°， ∵直线l⊥OA， ∴∠DOB=30°， 过点D作DE⊥直线l于点E， ∵点B在直线l上一动点， 则当DB⊥直线l时，DB最小，即OC最小， 此时点B与点E重合， 在Rt△ODE中，OD=6，∠DOB=30°， ∴DE=OD=3， 即OC的最小值是3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，作出辅助线，找出所求问题需要的条件． 3．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 4．如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】将绕着点顺时针旋转得线段，连接，然后证明，由全等三角形的性质可知，接着利用三角形三边关系可以得到当三点共线时，最小，由此即可求解． 【详解】解：如下图，将绕着点顺时针旋转得线段，连接， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时，最小，的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键． 三、解答题 5．【问题呈现】 在中，，，点是斜边上的一点，连接，试说明、、之间的数量关系，并说明理由． 【解决策略】小敏同学思考后是这样做的；如图1将绕点逆时针旋转，得到，连接，经过推理使问题得到解决，请回答： (1)的形状是 ，的形状是 ； (2)直接写出、、之间的数量关系是 ； 【方法感悟】若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中． (3)如图2，在四边形中，，，，若，，求的长； (4)如图3，在四边形中，，，若，．求，两点之间的最大距离． 【答案】(1)直角三角形，等腰直角三角形 (2) (3) (4) 【分析】（1）由旋转的性质得出是等腰直角三角形，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，连接，证出，由勾股定理可得出答案； （4）将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，则，证出，求出的最大值可得出答案． 【详解】（1）∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； 故答案是：直角三角形，等腰直角三角形； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案是：． （3）过点作，交的延长线于点，连接，如图， ∵， ∴是直角三角形， 由（1）可知， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （4）将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，如图， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当，，三点共线时，最大， ∴，两点之间的最大距离时． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（1）如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点C是x轴上的动点，线段绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段，连接、， ①求B点的运动轨迹解析式 ②的最小值是 　 　． 【答案】（1）见详解 （2）①；② 【分析】（1）根据已知条件证得，即可证得为等腰直角三角形； （2）①根据（1）可知，设B点坐标为，C点坐标为，可得，，即点B的运动轨迹解析式为：； ②作点O关于直线的对称点，连接，交直线与点，此时A、、三点共线时，值最小，求得坐标为，根据勾股定理即可求得最小值． 【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）①作轴于点D，如图所示， 由（1）得，， ∴，， 设B点坐标为，C点坐标为， ∴，， ∴， ∴点B的运动轨迹解析式为：； ②如图所示，作点O关于直线y=x-1的对称点，连接，交直线与点， 此时，, 即A、、三点共线时，值最小， ∵直线垂直平分， ∴， ∴坐标为， ∴， 即：的最小值为． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与全等三角形的综合，主要是数量掌握“一线三垂直”模型以及“将军饮马”模型． 题型八 等边三角形构造旋转 一、单选题 1．如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质得，，则为等边三角形，得到，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 如下图，将绕点逆时针旋转得，连接，则， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，在等边内有一点，使得，那么以、的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关键．将绕点B顺时针旋转得到，连结，可证得是等边三角形，从而得到，，所以就是以，，的长度为边长的三角形，进一步求出的内角度数，即得答案． 【详解】将绕点B顺时针旋转得到，连结， 则，，，， 是等边三角形， ∴，， 就是以，，的长度为边长的三角形， ∵， ， ， ， ， ， ， 以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为． 故选：A 二、填空题 3．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC=______． 【答案】6+4 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，根据旋转的性质可得∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′=BP=4=PP'，再由勾股定理的逆定理可得△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，连接PP′， 根据旋转的性质可知， 旋转角∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′， ∴△BPP′为等边三角形， ∴BP′=BP=4=PP'； 过点P作PD⊥BP′于点D， ∴BD=BP′=2， 由勾股定理得PD=2， ∴S△BP'P=×BP'×PD=4； 由旋转的性质可知，AP′=PC=5， 在△BPP′中PP′=4，AP=3， 由勾股定理的逆定理得△APP′是直角三角形， ∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP'BP=S△BP'P+S△AP'P=4+×PP'×AP=6+4， 故答案为：6+4． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 4．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________． 【答案】2 【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作BH⊥PC于H，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=60°， ∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图， ∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°， ∴△PBD为等边三角形， ∴PD=PB=，∠BPD=60°， 在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4， ∴PC2+PD2=CD2， ∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°， ∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°， ∴∠BPH=30°， 在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=， ∴BH=PB=，PH=BH=3， ∴CH=PC+PH=2+3=5， 在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2= ()2+52=28， ∴BC=2， ∴ABC的边长为2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理． 三、解答题 5．如图，等边三角形内有一点P，分别连接、、，若，，． (1)则线段、、构成的三角形是______三角形（填“钝角、直角、锐角”）； (2)将绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的，并由此求出的度数； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)直角； (2)； (3)． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）由旋转的性质可得，，，证明是等边三角形，，进而可得的度数； （3）将绕点B顺时针旋转60°得到，根据是等边三角形，是直角三角形，求出＝，同理，将绕点C顺时针旋转60°得到，将绕点A顺时针旋转60°得到，可得＝，＝，求出的面积，进而根据得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴线段、、构成的三角形是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：如图，将绕点B顺时针旋转60°得到，点与点C重合， 由旋转的性质可得，，， ∴是等边三角形， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点B顺时针旋转60°得到，点与点C重合， 由（2）可得是等边三角形，是直角三角形，，， 过点P作PH⊥，则BH＝， ∴PH＝， ∴， ∴＝， 将绕点C顺时针旋转60°得到， 同理可得，是以PC＝10为边的等边三角形，是以6、8、10为边的直角三角形，＝， 将绕点A顺时针旋转60°得到， 同理可得，是以AP＝6为边的等边三角形，是以6、8、10为边的直角三角形，＝， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理的应用等知识，通过旋转构造出等边三角形和直角三角形是解答本题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】连接，证明为等边三角形，然后进一步证明≌△，得到，即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得： ，， ∴为等边三角形， ∴，； 在与中， ∴≌△（SSS）， ∴， 故选：C． 【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题．解题的关键是作辅助线；灵活运用旋转变换的性质、全等三角形的判定来分析、解答． 2．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为（　　） A．5cm B．5cm C．17cm D．cm 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AO＝CO＝AB，再求出OD1，然后利用勾股定理AD1＝，列式计算即可得解． 【详解】解：∵旋转角为15°， ∴∠OCB＝60°﹣15°＝45°， ∴∠COB＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴CD1⊥AB， 又∵∠D＝30° ∴AO＝CO＝AB＝×6＝3（cm）， ∴OD1＝DC﹣CO＝8﹣3＝5（cm）， 在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1＝＝＝2（cm）； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，在中，，，将绕点A逆时针转60°得到，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AC与的交点为点O，连接，先利用勾股定理、旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后利用勾股定理分别可得，由此即可得出答案． 【详解】如图，设AC与的交点为点O，连接， ， ， 由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， 是线段AC的垂直平分线， ， 在中，， 在中，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键． 4．如图，直角三角板中，，，，将三角板绕点顺时针旋转60°，得到，连接，则的长是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出∠BAC和AC、AB，然后根据旋转的性质得出，，再判断，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又BC=2， ∴AB=2BC=4， ∴， ∵由绕点顺时针旋转60°所得， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质求解． 5．如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握四边形内角和、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角函数这四者知识点的综合应用，其中把 绕顺时针旋转 得到是解题关键. 把绕顺时针旋转得到， 过作垂足为，得， ，再根据四边形内角和为得从而得点三点在同一条直线上，再通过等量代换得 进一步得，再根据三角函数求出对角线的长. 【详解】把绕顺时针旋转得到 过作垂足为， ∴ ∴，    ∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点在同一条直线上， ∵， ， ， ， ， 在中， ， ， 故选A 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据题干中的操作顺序求得，，，，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为C，D． 由题意得知，和都是等边三角形， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵与关于原点对称，如图， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． 观察可知，点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期． ∵， ∴点的坐标与点的相同，为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律．熟练掌握图形的旋转与中心对称，等边三角形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 7．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 8．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据点A的坐标求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 9．如图，将绕点旋转得到，设点D的坐标为，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点A的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可． 【详解】解：根据题意，点A、点D关于点C对称， 点C是线段AD的中点， 设点A的坐标是， ，， ，， 解得，， 点的坐标是 故选D． 【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点D、点A关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方． 二、填空题 10．如图，△ABC绕点A顺时针方向旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠B＝∠C＝45°，再根据旋转的性质得∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB＝，于是可判断△AFB′是等腰直角三角形，得到AD⊥BC，B′F⊥AF，AF＝AB′＝2，可计算出BF＝AB−AF＝−2，接着证明△ADB和△BEF为等腰直角三角形得到AD＝BD＝AB＝2，EF＝BF＝−2，然后利用图中阴影部分的面积＝S△ADB−S△BEF进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′， ∴∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB＝， ∴△AFB′是等腰直角三角形， ∴AD⊥BC，B′F⊥AF，AF＝AB′＝2， ∴BF＝AB−AF＝−2， ∵∠B＝45°，EF⊥BF，AD⊥BD， ∴△ADB和△BEF为等腰直角三角形， ∴AD＝BD＝AB＝2，EF＝BF＝−2， ∴图中阴影部分的面积＝S△ADB−S△BEF＝22−（−2）2＝−4． 故答案为：−4． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质． 11．如图，在四边形中，，，若，，则对角线是的长为_________． 【答案】5 【分析】将绕点顺时针旋转得到，可得到为等边三角形，进而得到，根据勾股定理即可求出，从而得到的值． 【详解】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质知，，， 则为等边三角形， ，， 又， ， ， ∴， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是通过旋转构造出直角三角形． 12．根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向．若给机器人下了一个指令，机器人将移动到点B，则点B的坐标为_________． 【答案】 【分析】机器人原地逆时针旋转120°，再向前行走4个单位，结合图形，解直角三角形求出即可． 【详解】解：∵指令为， ∴机器人原地逆时针旋转120°，再向前行走4个单位，如图所示： 根据题意得：，， 过点B作x轴的垂线，垂足为C， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形，理解运动指令的含义是解本题的关键． 三、解答题 13．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点E，F分别在边AC，AB上，且AF=AE，连接BE，CF．M为FC的中点，连接AM ． (1)如图（1），试猜想BE和AM的关系，请写出你所得到的结论； (2)如图（2），将△AFE绕点A逆时针方向旋转90°，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），若将△AFE绕点A逆时针方向旋转后（0＜＜90），（1）中的结论是还成立吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)仍然成立，理由见解析 (3)仍然成立，理由见解析 【分析】（1）由已知可证，，由全等三角形的性质可得．在中，由，M为FC的中点，可得，通过等量代换，即有． （2）设，，通过已知条件及整式加法，可得，，，故有． （3）延长至点，使得，连接，证，则，，由已知得，，通过等量代换及平行线性质，推导得出，再证，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，M为FC的中点， ∴， ∵， ∴． （2）解：（1）中的结论仍然成立，即，理由如下： 设，， ∵M为FC的中点， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴． （3）解：（1）中的结论仍然成立，即，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵M为FC的中点， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由题意得，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了综合运用全等三角形的判定及性质，探究线段之间的数量关系及旋转的性质，熟练掌握三角形全等证明的方法是解题的关键． 14．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF． (1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果） (2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论； (3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数． 【答案】(1) 证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论； （2）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论； （3）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，再分这情况讨论，结合等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴， ∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF， ∴BE=BF，∠EBF=， ∴∠EBF=∠ABC， ∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF， ∴（SAS） ∴∠BAE=∠BCF=， ∴∠ACF=， ∴∠AFC+∠FAC=； （2）（1）的结论仍然成立， 理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=， ∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF， ∴BE=BF，∠EBF=， ∴∠EBF=∠ABC， ∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF， ∴（SAS） ∴∠BAE=∠BCF=， ∴∠ACF=， ∴∠AFC+∠FAC=； （3）如图，当点E在点A下方时， ∵△ACF是等腰直角三角形， ∴AC=CF， ∵△ABE≌△CBF， ∴CF=AE， ∴AC=AE=AB， ∴∠ABE=， ∴∠EBC=， 如图，当点E在点A上方时， 同理可得： ∴ ∴∠EBC=． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 15．把两个等腰直角三角形和按图所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为． (1)如图，与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图，中与的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图，当点在线段上时，求证：； (4)当旋转角______填度数时，的面积最大． 【答案】(1)，且，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】由，，则，可得答案； 利用证明，得，作的延长线交于点，交于点，由全等知，又，则，从而证明； 由，得，则； 点的轨迹是以为圆心为半径的圆，在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大，从而得出答案． 【详解】（1）解：结论：，且，理由如下： ，， ， ； ，点，分别在，上， ； 故答案为：；； （2）解：成立， 理由：根据旋转的性质可得：，，， ， ， 作的延长线交于点，交于点， ， ， ， ， ； （3）证明：如图中，当点在线段上时， ，， ， 又，， ≌， ， ， ； （4）解：由题意知，点的轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大， 当时，的面积最大， 旋转角为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识，证明≌是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点．    (1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标____________； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，求此时点A的二次关联点的坐标及P点坐标． 【答案】(1) (2)，作图见解析 (3)二次关联点的坐标为 【分析】（1）如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，证明，则，进而可得，； （2）如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，，由，，可得，，则，进而可得； （3）如图3，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，过作于，设，则，同理（1），，则，，，，，由，，可得，解得，，进而可求． 【详解】（1）解：如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，过作于，    设，则， 同理（1），， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，解得，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明． 【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝　 　． 【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8 【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明； （2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解； （3）先证明△ABC是等边三角形，再把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则可得△CDE是等边三角形，再证△BDE是直角三角形，运用勾股定理求出DE的长，从而可得CD的长． 【详解】解：（1）BD＝CE．理由是： ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE； （2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC． ∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE． ∵AE＝AB＝5， ∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°， 又∵∠ABC＝45°，   ∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°， ∴， ∴ ． （3）如图， ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE， 则BE＝AD，△CDE是等边三角形， ∴DE＝CD，∠CED＝60°， ∵∠ADC＝30°， ∴∠BED＝30°+60°＝90°， 在Rt△BDE中，DE＝＝＝8，   ∴CD＝DE＝8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解题目之间的联系，构造全等三角形是解决本题的关键． 18．【课本再现】人教版九年级上册P74数学活动：把点绕原点分别顺时针旋转，，，，点的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转的角度 对应点的坐标 （1）完成表格剩余部分； 【迁移应用】 （2）新定义：现将点绕原点顺时针旋转，当时，旋转角度为，当时，旋转角度为，得到的对应点称作点的变换点． ① 求的变换点坐标_______________； ② 直线上所有点的变换点组成一个新图形记为，请求出的解析式． 【答案】【小问1】见解析     【小问2】①；② 【分析】本题考查了直角坐标系中坐标与图形的知识，涉及旋转的坐标特点与性质、一次函数的图象与性质等知识，分类讨论求解是解答本题的关键． （1）根据旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角度作出点P的对应点A，可得所求点的坐标，同理画出旋转角度为、、时，点P的对应点B、C、D，进而得到所求点的坐标，进而填表即可； （2）①根据题中变换定义结合表格数据求解即可； ②设W上有一点，根据题意可知是直线上的点变换而来的，将代入中，有，则问题可得解． 【详解】（1）解：如图所示，设点的坐标在第一象限， 顺时针旋转得到点A的坐标为； 顺时针旋转得到点B的坐标为； 顺时针旋转得到点C的坐标为； 顺时针旋转得到点D的坐标为； 故完成表格如下： 旋转的角度 对应点的坐标 （2）解：①∵， ∴的变换点坐标为， 故答案为：； ②解：设上有一点， 直线上的点，均是横坐标大于纵坐标， 点是直线上的点绕原点顺时针旋转， 将代入中，有， 在上，且满足， ∴的解析式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $