精品解析：河南濮阳市第一高级中学2025-2026学年高二下学期第一次质量检测数学试题

濮阳市一高高二年级（2024级）下学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，再根据直线方程求出的值. 【详解】因为已知直线的倾斜角为， 所以根据直线倾斜角与斜率的关系，可得直线的斜率. 对直线方程进行变形得. 因为直线的斜率，且直线斜率为， 所以，即. 所以实数的值为. 故选：C. 2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式：向量在向量上的投影向量求解. 【详解】，， ，， 向量在向量上的投影向量， . 故选：D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推式赋值推得3为函数的一个周期，利用周期性即可求得答案. 【详解】因，由可得 故3为该函数的一个周期，所以. 4. 已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用点差法计算可得. 【详解】依题意直线的斜率存在，设，， 则，即， 又，所以， 即，所以， 即，所以直线的斜率为. 故选：B 5. 在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理以及等比数列的性质即可求解. 【详解】由于是方程的两个根，故，， 因此，从而， 又是等比数列，故，， 故选：B 6. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知曲线是以为圆心、半径的上半圆，代数式表示曲线上的点与定点连线的斜率，数形结合可得出的最大值. 【详解】由，两边平方整理得， 所以曲线是以为圆心、半径的上半圆， 代数式表示曲线上的点与定点连线的斜率，如下图所示： 由图可知，当点的坐标为，直线的斜率最大，即取最大值，且最大值为， 故选：C. 7. 已知直线，.当时，的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件即得. 【详解】由直线，， ∴，得. 故选：B. 8. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（    ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可得和的表达式，设焦距，根据余弦定理，可得，根据的离心率，代入化简，可得，进而可得，代入双曲线的离心率公式，即可得答案. 【详解】由椭圆的定义得， 由双曲线的定义得， 两式联立得， 设焦距， 由余弦定理得， 整理得，即， 又的离心率，所以，代入上式得， 所以的离心率. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据等比数列的定义求解即可；对B，由A可得，进而可得；对C，根据等比数列的求和公式求解即可；对D，根据等比数列的定义判断即可. 【详解】对A，由题知，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB． 10. 若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则C为椭圆 B. 若，则C为双曲线 C. 若C为双曲线，则焦距可以为 D. 若C为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二元二次方程与曲线的关系列不等式求参数范围，依次判断各项的正误. 【详解】对于A，若表示椭圆，则，解得或，A错； 对于B，当时，，此时方程表示焦点在x轴上的双曲线，B对； 对于C，当时，方程，此时，则双曲线的焦距为，C对； 对于D，若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，D对. 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 直线BC与平面所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为. D. 线段长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断. 【详解】解：由题意得： 正方体的棱长为2 对于选项A：连接，设交于O点 平面 即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确； 对于选项B：连接，设交于O点 平面 点到平面的距离为,故B正确； 对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥ 故异面直线和所成的角即为和所成的角 又 为等边三角形 故C错误； 对于选项D：过作，过作，连接PQ 为异面直线之间的距离，这时距离最小； 设，为等腰直角三角形，则， 也为等腰直角三角形，则 为直角三角形 故 当时，取最小值，故，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小愿，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：（）与圆：（）外切，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由两圆外切进行求解． 【详解】圆：（）的圆心为，半径为， 圆：（）的圆心为，半径为， 因为圆外切，则. 故答案为：3 13. 如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算即可得. 【详解】由题意得，，，，， 则，，， 因为， 所以. 14. 已知抛物线的准线为，为抛物线上任意一点，则点到准线的距离和点到直线的距离之和的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知，点到抛物线准线的距离等于点到焦点F的距离，焦点F到直线的距离是所求距离之和的最小值，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，根据题意作图如下, 点到直线的距离为,点到准线的距离为； 由抛物线的定义知：， 点到准线的距离与点到直线的距离之和为， 最小值为点到直线的距离，即. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 16. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 17. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 18. 在四棱锥中，底面ABCD，，，，M是PD中点. （1）求证：平面PAB； （2）若， ①求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面MAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点， 为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）①；②存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意，，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 19. 设椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由和以及椭圆过点求出参数即可得解； （2）法一：由题意设直线MN的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和求出参数m，设该圆过一个定点，利用结合韦达定理分析计算求解即可得证； 法二：同法一得到参数m以及，进而得到圆过定点为，利用同理法一计算即可求证. 【小问1详解】 由椭圆的离心率及，知. 又椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：证明：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为. 联立方程得. 设，则. 所以 化简得，解得或（舍去）. 所以. 所以. 设该圆过一个定点，则， 所以，即. 将代入化简有对任意实数成立， 所以解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 法二：同法一求出直线在y轴上的截距m得直线MN过定点， 以及，. 题目情境关于轴对称，故若以线段MN为直径的动圆过定点，则该定点在轴上. 设定点为，则. 所以，即. 将代入，得. 化简有对任意实数都成立， 即解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市一高高二年级（2024级）下学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数=（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，.当时，的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 8. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（    ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 10. 若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则C为椭圆 B. 若，则C为双曲线 C. 若C为双曲线，则焦距可以为 D. 若C为焦点在轴上的椭圆，则 11. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 直线BC与平面所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为. D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小愿，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：（）与圆：（）外切，则______. 13. 如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 14. 已知抛物线的准线为，为抛物线上任意一点，则点到准线的距离和点到直线的距离之和的最小值为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 16. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 17. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 在四棱锥中，底面ABCD，，，，M是PD中点. （1）求证：平面PAB； （2）若， ①求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面MAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 设椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $