6.2.2空间向量的坐标表示（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.2.2空间向量的坐标表示 第6章 空间向量与立体几何 苏教版·选修二下册 学 习 目 标 1 2 3 能用坐标表示空间向量，理解空间向量坐标表示的概念 会根据向量的坐标进行两个空间向量的运算（加法、减法、数乘） 掌握空间向量数量积的坐标运算及求夹角、模长的方法 掌握空间向量平行与垂直的坐标表示 通过类比平面向量的坐标表示，推广到空间向量，培养类比推理能力; 通过建立空间直角坐标系，体会数形结合思想 空间向量的坐标表示 一、情境引入，激趣导思 问题情境1：温故知新 在”平面解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置。 思考问题： 如何用坐标表示空间向量？ 怎样进行空间向量的坐标运算？ 空间向量的坐标表示 一、情境引入，激趣导思 问题情境2：类比引入 回顾平面向量坐标表示： 类比推广：空间中是否也有类似的坐标表示方法？ 空间向量的坐标表示 一、情境引入，激趣导思 无人机在三维空间中定位 的定位 无人机在空中的位置需要三个坐标 来确定 - 同样，描述无人机的飞行方向和速度（向量）也需要三个分量 (x,y,z) 二、师生互动，探究新知 空间向量的坐标表示 活动1：小组合作探究 任务：阅读教材，完成下表类比 对比项 平面向量 空间向量 基底 两个不共线向量 三个不共面向量 坐标表示 基本定理 二、师生互动，探究新知 空间向量的坐标表示 活动2：建立空间向量坐标表示 1. 在空间直角坐标系 中，取 轴、 轴、 轴正方向的单位向量 作为基底 定基底 Z X Y i j k O 基底表示 2. 根据空间向量基本定理，对空间中任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得： 生成坐标 3. 有序实数组 叫作 的空间直角坐标，简称坐标，记作 三、归纳概括，授法明理 空间向量的坐标表示 知识点1：空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系中，设 分别为 轴、 轴、 轴正方向的单位向量，则： 其中 叫 在 轴上的坐标， 叫在 轴上的坐标， 叫在 轴上的坐标。 知识点2：线性运算的坐标表示 设 ，，则： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 三、归纳概括，授法明理 空间向量的坐标表示 知识点3：空间向量数量积的坐标表示 设 ，，则： 平行条件（）： 知识点4：平行与垂直的坐标表示 垂直条件： 知识点5：模长与夹角公式 模长公式： 两点间距离公式： 设 ，， 夹 三、归纳概括，授法明理 空间向量的坐标表示 知识点6：点与向量的坐标关联 坐标轴与坐标面点的特征： x轴上点：(x, 0, 0) y轴上点：(0, y, 0) z轴上点：(0, 0, z) xOy平面内点：(x, y, 0) yOz平面内点：(0, y, z) zOx平面内点：(x, 0, z)。 点与向量的坐标关联 点A的坐标(x, y, z)对应向量OA的坐标(x, y, z)（O为原点）。 向量AB的坐标 = 终点B坐标 - 起点A坐标，即若A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)，则 AB = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)。 A(x, y, z) B(x₂, y₂, z₂) A(x₁, y₁, z₁) 四、巩固新知，学以致用 空间向量的坐标表示 例题1：空间向量的坐标运算 【题目】已知 ，，求： 1. 2. 3. 【解答】 1. ， 四、巩固新知，学以致用 空间向量的坐标表示 例题2：平行与垂直的判断 【题目】已知 ，，若 ，求 的值。 【解答】由 ，得 即 ，所以 ，解得 【题目】已知向量 ，，若 ，求实数 的值。 【解答】 因为 ，所以 ，即： 四、巩固新知，学以致用 空间向量的坐标表示 例题3：空间向量的模长和夹角 【题目】已知 ，，求： 1. 和 2. 与 的夹角 【解答】 1. 所以夹角为 四、巩固新知，学以致用 空间向量的坐标表示 例题4：空间两点间距离 【题目】已知点 和点 ，求线段 的长度。 【解答】 答案： 四、巩固新知，学以致用 空间向量的坐标表示 例题5：综合应用 【题目】在正方体 中，棱长为1，建立适当的空间直角坐标系，求向量 的坐标表示。 【解答】以 为原点， 所在直线分别为 轴建立坐标系。 则 ， 五、精练固本，达用致能 空间向量的坐标表示 题1：已知 ，，求 。 答案： 题2：若 ，，且 ，求 的值。 答案： 由 得 ， 五、精练固本，达用致能 空间向量的坐标表示 题3.已知空间三点 ，，，判断向量 与 是否垂直。 解题思路： 1. 先求出向量 和 的坐标。 2. 计算它们的数量积，若数量积为0，则两向量垂直，否则不垂直。 因为 ，所以向量 与 不垂直。 五、精练固本，达用致能 空间向量的坐标表示 题4：已知 ，，求 与 的夹角余弦值。 解题思路： ，， 题5：已知点 ，，求 。 解题思路： 五、精练固本，达用致能 空间向量的坐标表示 题6：若 ，，且 ，求 满足的关系式。 解题思路： 由 得： ，即 题7. 已知 ，，，则 的面积为________。 解题思路答案：（，等边三角形面积 ） 六、学海拾贝，智启未来 空间向量的坐标表示 核心内容 要点回顾 坐标表示 线性运算 对应坐标相加减、数乘 数量积 平行条件 垂直条件 模长公式 距离公式 夹角公式 六、学海拾贝，智启未来 空间向量的坐标表示 类比思想：将平面向量的坐标运算类比推广到空间向量 数形结合：建立空间直角坐标系，将几何问题代数化 坐标法：通过坐标运算解决空间向量的平行、垂直、夹角、距离等问题 方法总结 注意事项 使用平行条件时，注意分母不为零 求夹角时，注意向量方向，夹角范围 建立坐标系时，选择合适的位置简化计算 【师说】 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)． $