6.2.2空间向量的坐标表示 同步练-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第二册

第6章　空间向量与立体几何 6.2　空间向量的坐标表示 6.2.2　空间向量的坐标表示 基础过关练 题组一　空间向量的坐标 1.(教材习题改编)已知{e1,e2,e3}是空间的一个单位正交基底,下列说法正确的是(　　) A.若p=2e1-e2+3e3,则p=(2,1,3) B.若q=-e1+2e2,则q=(-1,2) C.若r=e1+3e2-e3,则r=(1,3,-1) D.若s=-3e2,则s=(0,0,-3) 2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是(　　) A.(4,0,3)　　　B.(3,1,3) C.(1,2,3)　　　D.(2,1,3) 题组二　空间向量坐标的运算 3.在平行四边形ABCD中,A(1,-2,3),B(-4,5,6),C(0,1,2),则点D的坐标为(　　) A.(5,-6,-1)　　　B.(-5,8,5) C.(-5,6,1)　　　D.(5,-8,-5) 1 学科网（北京）股份有限公司 4.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A.　　　B.(2,-1,2) C.　　　D.(1,-2,1) 5.若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b=(　　) A.-5　　　B.-1　　　C.5　　　D.7 6.已知向量a=(x,1,-2),b=(2,1,2), |a|=,则a·b=　　　　.  7.已知空间向量a=(1,2,0),b=(0, -1,1),c=(2,3,m),若a,b,c共面,则实数m=　　　　.  题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行(共线)、垂直问题 8.(教材习题改编)已知向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n),且a∥b,则m+n的值为(　　) A.-4　　　B.4　　　C.-8　　　D.8 9.如果A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点在同一条直线上,则(　　) A.a=3,b=2　　　B.a=6,b=-1 C.a=3,b=-3　　　D.a=-2,b=1 10.(多选题)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则(　　) A.|a-b|=6　　　B.(a+3b)·(b+c)=7 C.(a+4b)⊥c　　　D.a∥(b-c) 11.已知=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　) A. 12.已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,3),C(3,0,1),设a=,b=. (1)若向量a-kb与b垂直,求k的值; (2)若|c|=3,且c与共线,求向量c. 题组四　利用空间向量的坐标运算解决夹角、模(长度)问题 13.(教材习题改编)已知{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,且=-i+j-k,=2i+j+k,则与夹角的余弦值为(　　) A. 14.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=(　　) A.2　　　C.3　　　D.4 15.已知空间中三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量与的夹角为60°,则实数m=(　　) A.1　　　B.2　　　C.-1　　　D.-2 16.在空间直角坐标系中,已知a=(1,-2,-1),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是(　　) A.(0,+∞)　　　B.(0,3) C.(3,+∞)　　　D.(0,3)∪(3,+∞) 题组五　空间直角坐标系及其应用 17.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,BC=4,E为AD的中点,则三棱锥A1-CDE的外接球的表面积为(　　) A.8π　　　B.24π　　　C.32π　　　D.44π 18.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,CB=1,CA=2,M是CC1的中点,若AM⊥BA1,则AA1=　　　　.  19.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点. (1)证明:EF⊥B1C; (2)求cos<>; (3)求FH的长. 能力提升练 题组一　空间向量坐标的应用 1.已知空间三点A(3,2,0),B(6,1,-2),C(5,-1,1),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为(　　) A. 2.设O为坐标原点,向量=(1,1,2),点Q在直线AP上运动,则当·取得最小值时,||=(　　) A. 3.设空间两个单位向量=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角都等于,则cos∠AOB=(　　) A. 4.设空间向量i,j,k构成一个单位正交基底,若空间向量a满足对任意实数x,y,|a-xi-yj|的最小值是2,则|a+3k|的最小值是　　　　.  题组二　空间直角坐标系的应用 5.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内有一内切球O,点P在球O的表面上运动,则·的取值范围为(　　) A.[-2,2]　　　B.[0,2]　　　C.[-2,4]　　　D.[0,4] 6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,O为BC的中点,M为棱B1C1上的动点,N为线段AM上的动点,且,则线段MN的长度的取值范围为(　　) A. C.] 7.已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球面上一动点,且,则x+y+z的取值范围是(　　) A. C.[ 8.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BD1,B1C1的中点,点P在正方体表面上运动,且恒满足MP⊥CN,则点P的轨迹长度是(　　) A.(2+)a　　　 C.(3+)a　　　D.4a 9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P,Q,R分别在AB,CC1,D1A1上,并满足(0<λ<1),若G是△PQR的重心,且|,则实数λ的值为　　　　.  10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,平面ABCD内一动点Q满足QA=2QB,当三棱锥Q-DD1A的体积取最大值时,该三棱锥外接球的表面积为　　　　.  答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C 2.B 3.A 4.A 5.A 8.B 9.A 10.BD 11.D 13.D 14.C 15.B 16.D 17.D 1.C　由空间向量的坐标的概念可知p=(2,-1,3),q=(-1,2,0),r=(1,3,-1),s=(0,-3,0). 2.B　设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc. 因为向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),所以p=4a+2b+3c,所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以所以向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3). 3.A　因为四边形ABCD为平行四边形,所以. 设D(x,y,z),则=(-x,1-y,2-z),又=(-5,7,3), 所以解得x=5,y=-6,z=-1,故D(5,-6,-1). 4.A　向量b在向量a上的投影向量为a=a=a=. 5.A　∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2), ∴(a+b)+(a-b)=2a=(2,-4,0), ∴a=(1,-2,0),∴b=(-3,1,2), ∴a·b=-3-2+0=-5. 6.答案　-3 解析　由题意得|a|=,解得x=0,所以a=(0,1,-2),所以a·b=0×2+1×1+(-2)×2=-3. 7.答案　1 解析　因为向量a,b,c共面,所以存在有序实数组(x,y),使得c=xa+yb,即(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,-1,1)=(x,2x-y,y),所以解得m=1. 8.B　因为a∥b,所以存在实数λ,使得b=λa,即(4,m,n)=λ(2,-1,3)=(2λ,-λ,3λ),所以所以m+n=4. 9.A　由题意知A,B,C三点共线,∴为共线向量, 又=(a-1,-2,b+4), ∴,解得a=3,b=2. 10.BD　对于A,a-b=(2,-1,-1),故|a-b|=,因此A错误; 对于B,a+3b=(-2,-1,3),b+c=(1,-3,2), 所以(a+3b)·(b+c)=-2+3+6=7,因此B正确; 对于C,a+4b=(-3,-1,4),所以(a+4b)·c=-6+3+4=1≠0,因此C错误; 对于D,b-c=(-3,3,0)=-3a,所以a∥(b-c),因此D正确. 11.D　易得=(3,0,k-3).因为OA⊥平面ABC,AB,AC⊂平面ABC,所以OA⊥AB,OA⊥AC,则,即=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=. 12.解析　(1)由题意可得a==(-1,-1,5),b==(1,0,3),所以a-kb=(-1-k,-1,5-3k). 因为向量a-kb与b垂直,所以(a-kb)·b=-1-k+3(5-3k)=14-10k=0,解得k=. (2)由题意得=(2,1,-2), 所以|=3. 因为c与共线,所以可设c=λ,λ∈R, 则|c|=|λ|=3|λ|=3,解得λ=±1. 当λ=1时,c==(2,1,-2); 当λ=-1时,c=-=(-2,-1,2). 综上,c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2). 13.D　由题意得=(2,1,1). 设的夹角为θ,θ∈[0,π], 则cos θ=. 14.C　因为a⊥c,所以2x-4+2=0,解得x=1,所以a=(1,1,1). 因为b∥c,所以,解得y=-2,所以b=(1,-2,1). 所以a+b=(2,-1,2),所以|a+b|==3. 15.B　∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6), ∴=(4-m,-4-m,6-m). 由题意得cos 60°=, 即,解得m=2. 16.D　因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,且a与b不共线. 由a·b=1×(-1)-2×(x-1)-1×1=-2x<0,解得x>0, 若a与b共线,则,解得x=3, 所以x的取值范围是(0,3)∪(3,+∞). 17.D　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A1(0,0,2),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,0). 设三棱锥A1-CDE的外接球的球心为O(x,y,z), 则OA1=OC=OD=OE. 由OD=OE,得,解得y=3, 由OC=OD,得,解得x=1, 由OA1=OC,得,即,解得z=3, 所以O(1,3,3),因此三棱锥A1-CDE的外接球的半径为, 故该外接球的表面积为4π×()2=44π. 18.答案　 解析　如图,以{}为正交基底建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A(,0,0). 设AA1=t(t>0),则M,0,t), 所以,0,t). 因为AM⊥BA1,所以=0,解得t=(负值舍去),即AA1=. 19.解析　以{}为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz(图略),则E(0,0,1),F(1,1,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),G. (1)证明:易得=(-2,0,-2). 因为=0,所以,所以EF⊥B1C. (2)易得, 所以cos< =. (3)易得, 所以|, 所以FH的长为. 能力提升练 1.D 2.B 3.B 5.A 6.B 7.B 8.A 1.D　由题意得=(2,-3,1),所以|,cos∠BAC=, 又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°, 所以S△ABC=|sin∠BAC=, 所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为2S△ABC=7. 2.B　∵点Q在直线AP上运动,∴可设,λ∈R, 即)=(0,λ,λ), ∴=(0,λ,λ)+(1,-1,-1)=(1,λ-1,λ-1), ∴, ∴当λ=时,取得最小值,此时. 3.B　因为向量为单位向量,所以=1,所以m2+n2=1①. 因为向量,所以cos,即,所以m+n=②. 联立①②,得m=或m=. 同理,由单位向量,得n=或n=. 易得cos∠AOB==n2, 当n=时,n2=;当n=时,n2=, 所以cos∠AOB=. 4.答案　1 解析　根据题意,以i,j,k的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1). 设a=(r,s,t),则|a-xi-yj|=, 当r=x,s=y时,|a-xi-yj|取得最小值2,∴t=±2. 当t=2时,a=(x,y,2),则a+3k=(x,y,5), ∴|a+3k|=, 又x,y是任意实数,∴|a+3k|的最小值为5. 当t=-2时,a=(x,y,-2),则a+3k=(x,y,1), ∴|a+3k|=, 又x,y是任意实数,∴|a+3k|的最小值为1. 综上,|a+3k|的最小值为1. 5.A　以{}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0). 设P(x,y,z),则=(-x,2-y,-z), 所以=-x(2-x)-y(2-y)+z2=x2-2x+y2-2y+z2=(x-1)2+(y-1)2+z2-2. 易知(x-1)2+(y-1)2+z2表示点P(x,y,z)与点(1,1,0)(记为M)之间的距离的平方, 所以当点P的坐标为(1,1,2)时,取得最大值,为22-2=2;当点P与点M(1,1,0)重合时,取得最小值,为-2,所以的取值范围为[-2,2]. 6.B　取B1C1的中点Q,连接OQ,OA, 易得OQ,OA,OC两两互相垂直. 以{}为正交基底,建立空间直角坐标系,如图, 则O(0,0,0),A(0,,0). 因为M是棱B1C1上一动点, 所以设M(a,0,),且a∈[-1,1]. 因为, 所以MN=. 令t=,则,t∈[]. 因为函数y=t-在t∈[]上单调递增, 所以当t=时,;当t=时,, 所以线段MN的长度的取值范围为. 7.B　以{}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),C1(1,1,1),所以=(1,1,1). 因为,所以=(x,y,z). 设内切球的球心为O,半径为r,则O.连接AC1,设内切球球面与AC1相交于点F,G. 易知x+y+z=>,因为|>表示上的投影向量的长度,所以当点P与点G或点F重合,即当A,O,P三点共线时,|>取得最值,所以AO-r≤|>≤AO+r, 所以|>∈, 故x+y+z∈. 8.A　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系, 则M,C(0,a,0), ∴. 设P(x,y,z),则=x-. ∵MP⊥CN, ∴, ∴=0,即=0,可得2x+4z-3a=0. 当x=a时,z=,当x=0时,z=. 取E, 连接EF,FG,GH,HE,则, 又由正方体的性质可知EF⊥HE, ∴四边形EFGH为矩形. ∵=0, ∴EF⊥CN,EH⊥CN, 又EF和EH为平面EFGH内的两条相交直线, ∴CN⊥平面EFGH. ∵, ∴M为EG的中点,则M∈平面EFGH. 为使MP⊥CN恒成立,必有点P∈平面EFGH, 又点P在正方体表面上运动, ∴点P的轨迹为四边形EFGH. 易得EF=GH=a,EH=FG=a, ∴点P的轨迹长度为2a+2×)a. 9.答案　 解析　如图,以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),所以=(0,0,1). 连接OG.因为,且G是△PQR的重心, 所以 =] =, 所以. 由|,解得λ=或λ=-(舍去).故实数λ的值为. 10.答案　54π 解析　以{}为正交基底建立空间直角坐标系,如图, 则A(3,0,0),B(3,3,0).设Q(x,y,0). 因为QA=2QB,所以, 整理得(x-3)2+(y-4)2=4, 所以点Q的轨迹是平面ABCD内,以点(3,4)为圆心,2为半径的圆. 易知点Q到平面DD1A的距离的最大值为6,此时点Q在AB的延长线上,且BQ=3, 所以QA⊥平面DD1A,QA=6, 等腰直角三角形DD1A的外接圆的半径r=, 所以三棱锥Q-DD1A的外接球的半径R=, 所以三棱锥外接球的表面积S=4πR2=54π. 1 学科网（北京）股份有限公司 $