精品解析：湖南长郡中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题

2026年春季高一寒假检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “为第一象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）． A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是奇函数，当x≥0时，（其中e为自然对数的底数），则（ ） A. 3 B. C. 8 D. 6. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 区间上单调递增 B. 点是图象的一个对称中心 C. 若，则的值域为 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 8. 定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列选项中，结果为正数的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中是奇函数有（ ） A B. C. D. 11. 已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为4 C. 在上有3个零点 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13. 已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为_____． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､计算过程､证明过程. 15. 已知函数. （1）在平面直角坐标系中，画出函数简图，并写出的单调区间和值域； （2）若，求实数的取值范围. 16. 求下列关于x的一元二次不等式的解集： （1）； （2） 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若任意，恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图所示，一条笔直河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. （1）求实数的取值范围； （2）问点在何处时，最小，并求出该最小值. 19. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数是型函数，求的值； （2）若函数是型函数，求和的值； （3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高一寒假检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于，但，故不是的子集，A错误；B错误；，C错误，D正确. 2. “为第一象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案. 【详解】若为第一象限角则必有； 反之，若，则为第一或第三象限角. 故选：A. 3. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为. 故选：D. 5. 已知是奇函数，当x≥0时，（其中e为自然对数的底数），则（ ） A. 3 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由是奇函数得，又时，， 所以. 故选：D 6. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 点是图象的一个对称中心 C. 若，则的值域为 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【详解】设函数的最小正周期为， 由题图及五点作图法得，，则，又， 所以，所以， 又，即，又，则，故. 对于C，当时，的值域为，故C错误； 对于A，由知在上不单调递增，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于D，，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D正确. 8. 定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“正积函数”的定义逐项判断即可. 详解】对于A选项，，由， 当时，则不存在满足情况，故函数不是正积函数； 对于B选项，，由， 则任意一个自变量的值，都存在唯一一个满足，故函数是正积函数； 对于C选项，， 由， 得，当时，，则不唯一， 故函数不是正积函数； 对于D选项，，由， 当时，则不存在满足情况，故函数不是正积函数． 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列选项中，结果为正数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先算出的范围，然后结算象限角的三角函数特点即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：AC. 10. 下列函数中是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A项，定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A正确； 对于B项，定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故B错误； 对于C项，定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故C错误； 对于D项，定义域为，关于原点对称，因为，所以是奇函数，故D正确. 11. 已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为4 C. 在上有3个零点 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、以及时，，可作出函数图象，并确定函数的周期，即可求解. 【详解】对于A，因为是奇函数， 所以的图象关于对称， 且， 因为为偶函数，图象关于轴对称， 且当时，， 作出的图象，如下图所示： 由图可知，的值域为，故A错误； 对于B，因为是奇函数， 所以，即， 因为为偶函数， 所以，即， 所以，即， 所以函数的最小正周期为4，故B正确； 对于C，由图象可得在上，的图象与轴有3个交点， 所以函数在上有3个零点，故C正确； 对于D，由题意得，， 所以，故D错误. 故选:BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用换元法，令，根据的定义域为，有，即可求的定义域. 【详解】对于，令，则， 所以，即的定义域为. 故答案为： 13. 已知函数，若，总，使成立，则实数取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性分别求解出与的值域范围，结合题意，求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得， 由，总，使成立，可知，解得； 当时，函数在上单调递减，可得， 同理可知，解得. 综上，或. 所以实数的取值范围是. 14. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，求出的范围，结合正弦函数的单调性可求出，再由，求出的范围，结合正弦函数的零点可求. 【详解】当时，， 由在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得， 解得． 当时，， 因为，所以， 又在上有且仅有1个零点，所以或， 解得或． 则的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､计算过程､证明过程. 15. 已知函数. （1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并写出的单调区间和值域； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）图象见解析，的增区间为，减区间为，值域为. （2） 【解析】 【分析】（1）画出图象，然后可得答案； （2）根据图象可得答案. 【小问1详解】 函数的简图如下： 由图可知，函数的增区间为，减区间为；值域为. 【小问2详解】 由，及函数的单调性可知， 若则实数的取值范围为. 16. 求下列关于x的一元二次不等式的解集： （1）； （2） 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）首先求出的根，然后直接求解不等式即可. （2）首先对原式因式分解，然后对分类讨论，即可求得. 【小问1详解】 原不等式可化为， 方程的两个根为，， 所以不等式的解集为 【小问2详解】 原不等式可化为， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角的正弦和余弦公式化简，结合辅助角公式可得，即可求解； （2）由（1）得，结合正弦函数的性质可得，则在上恒成立，即可求解. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为； 【小问2详解】 由（1）知， 由，得， 又函数在上单调递增，所以，即. 因为，恒成立，所以在上恒成立，则， 即实数m的取值范围为. 18. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. （1）求实数的取值范围； （2）问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【答案】（1） （2）当点满足时，最小，最小值为亿元. 【解析】 【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案. （2）由题意可得，由基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 19. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数是型函数，求的值； （2）若函数是型函数，求和的值； （3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【小问1详解】 由是型函数，得，即， 所以. 【小问2详解】 由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. 小问3详解】 由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $