精品解析：四川成都市武侯区西川实验学校2026年九年级数学春季期开学收心自测

数学练习 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图． 根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得到答案． 【详解】解：从上面看得到的是， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方、合并同类项、乘法公式，根据相关运算法则和公式分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：A、 ，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项正确，符合题意； 故选：D 4. 一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（ ）个 A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知概率求数量，频率估计概率，根据红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球，得出袋子的红球概率为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球， ∴袋子的红球概率为， ∴（个）， 故选：A． 5. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴，即， 解得， 即河宽为， 故选：D． 6. 如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的性质及弧长公式，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．连接，由，得，又为的中点．故，即知，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图： C为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．向金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意可列方程组． 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 当时， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质． 由抛物线对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点在轴上方可判断选项A；根据抛物线的顶点可判断选项B；由抛物线对称性可判断选项C；由函数图象可判断D． 【详解】解：由图象可得， ， ， ， 故A错误，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，的最大值为，故B正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，，故C正确，不符合题意； 由图象知，当时，，故D正确，不符合题意． 故选：A． 二、填空题（共5小题） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式是解答关键． 10. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为0即可求解． 直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：5． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答，即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数在每一项限内，y随x的增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 12. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，先根据画图过程得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，设,，则，，在中，由勾股定理求解x值即可解答． 【详解】解：根据画图过程得垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设,，则，， 中，由勾股定理得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】解：（1）原式 ； （2） 或 ． 15. 某校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭；B．洗碗；C．打扫；D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 （1）本次接受抽样调查的总人数是_________人； （2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； （3）小雯在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定从《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书中随机奖励她两本．在随机抽取的两本书中，求恰好是《论语》和《大学》的概率． 【答案】（1）120 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）由B的人数除以其百分比即可； （2）先求解A的百分比与C的人数，再补全图形即可； （3）分别用A，B，C，D表示《论语》《孟子》《大学》《中庸》4本书名，再利用列表法求解概率即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次接受抽样调查的总人数是120人； 【小问2详解】 ∵，（人）， 补全两个统计图如下： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 【小问3详解】 分别用A，B，C，D表示《论语》《孟子》《大学》《中庸》4本书名，列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中抽到的两本书恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，分别是和． ． 16. 如图，在一次数学实践活动课中，小明所在的数学学习小组计划测量教学楼的高度AE，小明先在教学楼前的广场C处，利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌下端B的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6米到达D处，又利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌上端A处的仰角为45°．若励志标语牌的高度米，测倾器的高度米，已知A，B，E三点共线，，励志标语牌的顶端与教学楼顶端平齐，求教学楼AE的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点F，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可．添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点F，则四边形，都是矩形， ∴， 设,则 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ 解得： ∴． 17. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：所对弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ，， ， 与相切． 【小问2详解】 解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 18. 如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． （1）求双曲线的解析式； （2）如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）双曲线的解析式 （2）①；②的值不发生变化，为18 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． 【小问2详解】 ①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若方程的两个实数根为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查的是一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 将代入方程可得，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算． 【详解】解：∵为方程的实数根， ∴，即， ∴ ∵方程的两个实数根为，， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数．先利用表示出的值，再由为负数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， 为负数，且， ，且， 解得，且， 的取值范围是， 故答案为：． 21. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 设正方形的边长为a，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，再证得和都是等腰直角三角形，，从而得到，然后根据概率公式计算，即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小鸟不落在花圃上的概率为． 故答案为： 22. 在平面直角坐标系中，设，，令，，定义线段的“投影值”为m，n中的较大者（若，则“投影值”为m）．例如，，因为，，所以线段的“投影值”为6．已知，若点B在第一象限且在直线上，线段的投影值为5，则点B的坐标为__________；若动点C在抛物线上，则线段的“投影值”的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义，二次函数的应用，根据点B在第一象限且在直线上，设，进而得到线段的投影值为，求出的值，进而得到点坐标，设，得到，，进而得到时，线段的投影值为，时，线段的投影值为，求出时的最小值，即为所求． 【详解】解：∵点B在第一象限且在直线上， ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴线段的投影值为， ∴， ∴， 设， 则：，， 当时，线段的投影值为， 当时，线段的投影值为， 当时，解得：或， ∵， ∴当时，线段的投影值最小为，当时，投影值大于， 故线段“投影值”的最小值为； 故答案为：，． 23. 如图，等边内一点D满足，延长交于E，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长，交于点G，延长，交于点F，过点F作于点H，先证，得到，再证，，根据相似三角形的性质可得，，从而得到，设，，则，，然后解直角三角形和勾股定理可得的长度，最后根据计算即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点G，延长，交于点F，过点F作于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， 又∵， ∴， 整理得， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，掌握通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 二、解答题（共30分） 24. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． （1）某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据10月份和12月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调m万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设汽车的售价下调m万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 25. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线l过点，且垂直于y轴．过点B的直线交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当时，求点N的坐标； （3）如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线下方的抛物线上一动点，连接，其中交于点E，设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作对称轴的垂线，根据已知条件得出，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，对称轴过点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； 小问2详解】 解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧． ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； 【小问3详解】 解：依题意，点恰好在轴上，则， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，设直线的解析式为， 则， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 和以为公共底边， 这两个三角形的面积比等于点和点到直线的水平距离之比． ∴， 设，对其配方： 由题意，点在直线下方的抛物线上，且在对称轴右侧， ． 在时，随的增大而增大， ，分子为定值， 越大，越小． 当取最大值时， 的最小值为1． 26. 已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 【答案】（1），，见解析；（2）2或5；（3） 【解析】 【分析】（1）根据“衍生矩形”的定义，可知矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上（顶点不重合），得出两组全等三角形，分别证明即可； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，可证，得出，根据，求出，，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）当Q落在边上时，最小，当Q落在矩形内部，且时，最大，即可得出答案． 【详解】（1），． 在矩形和矩形中， ，， ， ， 同理可得：， ， 在和中，， ， 同理可证：； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，四边形为矩形，则矩形为矩形的“衍生矩形”， 由（1）可知：， ， ， ， ， 由（1）可知：， 又， ， ， 设，则， ， 解得或5， 或5； （3）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，连接， 四边形为矩形，过点O， 由（1）知：， ， 为中点，， 四边形为矩形， ， 延长交于点F，则，，， 当最小时，最小；当最大时，最大， 即：当最大时，最小；当最小时，最大， 当Q在上时，，， ， 点Q落在矩形内（不含边界）， ， 在矩形中，， 当最小时，最小，最大， 时，， 此时， ， ， 综上，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判断与性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理等知识，正确理解新定义“衍生矩形”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（ ）个 A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 5. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．向金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 当时， D. 二、填空题（共5小题） 9. 因式分解：_________． 10. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 12. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 13. 如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为______． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 15. 某校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭；B．洗碗；C．打扫；D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 （1）本次接受抽样调查的总人数是_________人； （2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； （3）小雯在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定从《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书中随机奖励她两本．在随机抽取的两本书中，求恰好是《论语》和《大学》的概率． 16. 如图，在一次数学实践活动课中，小明所在的数学学习小组计划测量教学楼的高度AE，小明先在教学楼前的广场C处，利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌下端B的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6米到达D处，又利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌上端A处的仰角为45°．若励志标语牌的高度米，测倾器的高度米，已知A，B，E三点共线，，励志标语牌的顶端与教学楼顶端平齐，求教学楼AE的高度．（结果保留根号） 17. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 18. 如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． （1）求双曲线的解析式； （2）如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若方程的两个实数根为，，则的值为______． 20. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是__________． 21. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 22. 在平面直角坐标系中，设，，令，，定义线段“投影值”为m，n中的较大者（若，则“投影值”为m）．例如，，因为，，所以线段的“投影值”为6．已知，若点B在第一象限且在直线上，线段的投影值为5，则点B的坐标为__________；若动点C在抛物线上，则线段的“投影值”的最小值为__________． 23. 如图，等边内一点D满足，延长交于E，，则______． 二、解答题（共30分） 24. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． （1）某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 25. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线l过点，且垂直于y轴．过点B的直线交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，当时，求点N的坐标； （3）如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线下方的抛物线上一动点，连接，其中交于点E，设的面积为，的面积为，求的最小值． 26. 已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $