精品解析：天津市汇文中学2025--2026学年下学期九年级阶段学情自测数学试卷

九年级下学期数学收心知识锦囊 一、选择题： 1. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条； B不是轴对称图形； C不是轴对称图形； D是轴对称图形，对称轴有2条； 故选：D． 【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 3. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示可得出答案． 【详解】根据科学记数法的知识可得:1700000=． 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示，主要是要对小数点的位置要清楚． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：、与不是同类项，故不符合题意． 、原式，故符合题意． 、原式，故不符合题意． 、原式，故不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查整式混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 5. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：由36＜38＜49，即可得6＜＜7， 故选：C． 6. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正面看到的平面图形即为主视图． 【详解】立体图形的主视图为：D； 左视图为：C； 俯视图为：B 故选：D． 【点睛】本题考查三视图，考查的是空间想象能力，解题关键是在脑海中构建出立体图形． 7. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值． 【详解】原式 故选B． 【点睛】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键． 8. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以比较出的大小关系． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 9. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 10. 如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE=a，AE=3a，求出，可求出答案． 【详解】∵∠A=30°，∠ABC=90°， ∴∠ACB=60°， ∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'， ∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°， ∴△BCC'是等边三角形， ∴∠CBC'=60°， ∴∠ABA'=60°， ∴∠BEA=90°， 设CE=a，则BE=a，AE=3a， ∴， ∴， ∴△ABE与△ABC的面积之比为． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 11. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置． 12. 已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】设降价元，可得每件利润为元，销售量为件，依次验证三个结论，利用一元二次方程和二次函数的性质即可判断． 【详解】解：设商品降价元，则售价为元．，每件利润为元，每星期销售量为件． ①：∵售价为57元， ∴，得， ∴销售量（件），故①正确； ②：当利润为5850元时，根据题意，得， 整理得， 若零售价为55元，即，则，代入方程左边得， 若零售价为59元，即，则，代入方程左边得，故②错误； ③：设每星期利润为y元，则， 整理得， 配方得， ∵， ∴当，y取得最大值6125，故③正确； 综上所述，正确结论共2个． 二、填空题 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 14. 计算：______． 【答案】17 【解析】 【分析】根据平方差公式，即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 15. 从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可． 【详解】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有： 共计12种； 其中积为负值的共有：8种， ∴其概率为： 故答案为：． 【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键． 16. 若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴ 故答案：1答案不唯一，满足即可） 【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 17. 如图，，，，，别是的内接正三角形，正方形，正五边形，正边形…的边，上的点，且，连接，． （1）图中，的度数是_____．图中，的度数是_____； （2）图中，写出的度数与正边形的边数之间的关系式：_____． 【答案】 ①. ##120度 ②. ##90度 ③. 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆： （1）在正三角形中，连接，，根据点是正三角形的中心，可得，，，进而可得，求出；在正方形中，同理可得； （2）在正边形…中，同理可得． 【详解】（1）如图所示，连接，． ∵点是正三角形的中心， ∴，，． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在正方形中，同理可得． （2）在正边形…中，同理可得． 故答案为：　　 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 【答案】或10． 【解析】 【分析】由矩形的性质得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根据已知条件得到AM=BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根据折叠的性质得到DC′=DC=5，C′E=CE，根据勾股定理得到C′M=，根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6， ∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2， ∴AM＝BN， ∵AM∥BN， ∴四边形ABNM的矩形， ∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5， ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E， ∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE， ∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， 如图1， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°， NE＝CN﹣CE＝4﹣CE， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（4﹣CE）2+22＝CE2， 解得：CE＝． 如图2， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°， NE＝CE﹣CN＝CE﹣4， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（CE﹣4）2+82＝CE2， 解答：CE＝10， 故答案为或10． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题： 19. 关于的一元二次方程有两个不等实根、． （1）当时，求该方程的根； （2）若方程两实根、满足，求的值． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）先将代入方程，再利用公式法求解即可； （2）根据根与系数的关系得到、，结合，得到关于的一元二次方程，根据判别式确定的取值范围，从而求出的值． 【小问1详解】 当时，方程， 即， 判别式， 解得，； 【小问2详解】 解：方程有两个不等实根、， 判别式， 解得， 由韦达定理得：、， ， ， 解得、（舍去）， 的值为2． 20. 已知二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式： （2）当时，求此函数的最小值与最大值． 【答案】（1） （2）当时，函数最大值为0，最小值为． 【解析】 【分析】（1）把代入，建立方程组再求解即可； （2）由，可得函数最小值，再分别计算当与时的函数值，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，函数最大值为0，最小值为． 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的利用待定系数法求解二次函数的解析式是解本题的关键． 21. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向上的处，它沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．求此时海轮距灯塔的距离（结果取整数）．参考数据：，取1.4． 【答案】此时海轮距灯塔的距离约为63海里． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于，设海里，根据等腰直角三角形的性质用表示出，根据正切的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：过点作于， 设海里， 由题意得，，，海里， 在中，， （海里），（海里）， 在中，，， 则， 由题意得，， 解得，， 则（海里）， 答：海轮距灯塔的距离约为海里． 22. 已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①04；2；1．②0.2．③． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ②根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ③利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式； （2）根据题意，利用待定系数法求出小杰离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可． 【小问1详解】 解：①小明从宿舍到文具店过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：, 由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为, 小明从自习室返回宿舍过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：． ②由①可知小明从自习室到宿舍的骑行速度为． ③当时，设小明离宿舍距离y关于时间x的函数解析式为：， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，由图像可知，小明离宿舍的距离始终为0.8， ∴， 当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴ 综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：． 故答案为：①0.4；2；1．②0.2．③． 【小问2详解】 设小杰离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴， ∵小杰在前往自习室的途中遇到了小明， ∴， 解得， 此时离宿舍的距离为：， 答：小杰在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 23. 如图，抛物线与轴正半轴的交点为，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，轴于点，交线段于点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若，求点的横坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题，二次函数与一元二次方程综合． （1）将点代入求出，即，令，求出，设直线的解析式为，将、代入求解即可； （2）设，则，，，．根据列方程求解即可； （3）设，则，，，．证明是等腰直角三角形，得到，作交于，可知四边形是矩形，进而可知是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， 抛物线的解析式为，即， 令，得， ，， ． 设直线的解析式为， ， ∴， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，，，． ， ，解得，舍， ； 【小问3详解】 解：设，则，，，． ，， 是等腰直角三角形， ∴， 作交于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 是等腰直角三角形， ∴． 又， ， 解得，， ， ， 点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期数学收心知识锦囊 一、选择题： 1. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A 0 B. 1 C. D. 3. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 6. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 8. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 10. 如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　） A. B. C. D. 11. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 12. 已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题 13. 计算：_____． 14. 计算：______． 15. 从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______． 16. 若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 17. 如图，，，，，别是的内接正三角形，正方形，正五边形，正边形…的边，上的点，且，连接，． （1）图中，度数是_____．图中，的度数是_____； （2）图中，写出的度数与正边形的边数之间的关系式：_____． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 三、解答题： 19. 关于的一元二次方程有两个不等实根、． （1）当时，求该方程的根； （2）若方程两实根、满足，求的值． 20. 已知二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式： （2）当时，求此函数的最小值与最大值． 21. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向上的处，它沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．求此时海轮距灯塔的距离（结果取整数）．参考数据：，取1.4． 22. 已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 23. 如图，抛物线与轴正半轴的交点为，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，轴于点，交线段于点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $