专题01实数及其运算 2026年中考一轮突破复习讲义

专题01实数及其运算中考一轮突破复习讲义 ● 分值占比：实数及其运算是中考基础必考核心，总分值约 6–10 分，覆盖选择、填空、解答（计算第 1 题）三种题型，属于必须满分板块。 ● 常考考点：聚焦实数相关概念（相反数、倒数、绝对值）、平方根与立方根、科学记数法、实数大小比较、实数混合运算、无理数估算与简单应用六大方向。 ● 命题趋势：基础题侧重概念辨析与直接计算，中档题侧重公式法则规范运用，难题多以新定义、规律探究、实际情境为主，且结合生活数据、几何估算的题型占比逐年提升。 【模块一 有理数】...............................................4 【题型01 正数与负数】...........................................4 【题型02 有理数的认识】.........................................5 【题型03 数轴】.................................................7 【题型04 相反数】...............................................9 【题型05 绝对值】..............................................10 【题型06 有理数大小比较】......................................12 【模块二 有理数运算 】.........................................14 【题型07 有理数加减】..........................................14 【题型08 有理数的除法】........................................16 【模块三 科学记数法与近似数】..................................17 【题型09 由科学记数法表示较大的数】............................17 【题型10 由科学记数法表示较小的数】............................19 【题型11 近似数】..............................................20 【模块四 实数】................................................22 【题型12 算术平方根】..........................................22 【题型13 平方根】..............................................23 【题型14 立方根】..............................................25 【题型15 无理数与实数】........................................27 【模块五 实数的运算】..........................................29 【题型16 实数的混合运算】......................................29 【题型17 新定义的实数运算】....................................31 【题型18 与实数相关的规律题】..................................35 ★知识梳理★ 知识点01:实数的概念与分类 1.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2.按定义分类： 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，均可表示为有限小数或无限循环小数。 无理数：无限不循环小数，如 2​、π、0.1010010001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数依次增加）。 3.按正负分类：正实数、0、负实数。 4.无理数常见形式： 开方开不尽的数，如 、。 含 π 的数，如 2π、。 有规律但不循环的无限小数。 知识点02:实数的相关概念 1.数轴： 规定了原点、正方向、单位长度的直线。 实数与数轴上的点一一对应。 2.相反数： 数 a 的相反数是 −a，0 的相反数是 0。 若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0。 3.倒数： 非零数 a 的倒数是 ，0 没有倒数。 若 a 与 b 互为倒数，则 ab=1。 4.绝对值： 定义：∣a∣= 几何意义：数轴上表示数 a 的点到原点的距离。 性质：∣a∣≥0；∣a∣=∣−a∣。 5.(算术) 平方根与立方根： 平方根：若 x2=a，则 x 是 a 的平方根，记为 ±（a≥0）。 算术平方根：a 的非负平方根，记为 （a≥0），且 ​≥0。 立方根：若 x3=a，则 x 是 a 的立方根，记为 （a 为任意实数）。 重要性质：=∣a∣；()2=a（a≥0）；=a；()3=a。 知识点03:科学记数法与近似数 科学记数法 形式：a×10n（1≤∣a∣<10，n 为整数）。 表示大数：如 35000=3.5×104。 表示小数：如 0.00025=2.5×10−4。 近似数与精确度： 近似数：接近准确值的数。 精确度：近似数精确到的位数，如 0.020 精确到千分位。 知识点04:实数的大小比较 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大。 正负比较：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 作差法：a−b>0⟺a>b；a−b=0⟺a=b；a−b<0⟺a<b。 平方法：对于正数 a,b，a2>b2⟺a>b（常用于比较无理数） 知识点05:实数的运算 1.运算种类：加、减、乘、除、乘方、开方。 2.运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行。 3.运算律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06:核心易错点 1.混淆 “平方根” 与 “算术平方根”：=4（算术平方根），16 的平方根是 ±4。 2.忽略零指数幂和负指数幂的底数限制（a0）。 3.实数运算中符号判断错误，尤其是绝对值和乘方。 4.科学记数法中 a 的取值范围和 n 的指数确定。 【模块一 有理数】 【题型1 正数与负数】 【典例】五峰毛尖，是中国名茶之一，最佳保存的温度为，以下几个温度中，不适合储存的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作______． 【跟踪专练2】在﹣3、+（﹣3）、﹣|﹣4|、﹣（+2）、-a中，负数的个数有____________个. 【跟踪专练3】史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 【题型2 有理数的认识】 【典例】下列各数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若整数a满足，则a的值为______． 【跟踪专练2】下列有理数中，非负数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 【题型3 数轴】 【典例】如图，数轴上的两个点分别表示数和－2，则可以是（） A． B．3 C．1 D．2 【跟踪专练1】.如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：________． 【跟踪专练2】如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为 【跟踪专练3】在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【题型4 相反数】 【典例】2025年是农历乙巳蛇年，农历共有384天．其中384的相反数是（    ） A．384 B． C． D． 【跟踪专练1】以下四个数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知x与y互为相反数，且，则值为___________． 【跟踪专练3】如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型5.绝对值】 【典例】实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【跟踪专练1】计算：__________． 【跟踪专练2】已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D．1 【跟踪专练3】若关于的方有三个不同的解，则有理数______． 【题型6 有理数大小比较】 【典例】如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【跟踪专练1】若， 比较四个数的大小，并用“”连接__________________． 【跟踪专练2】下列计算结果比小的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则_________． 【模块二 有理数运算】 【题型7.有理数加减】 【典例】某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算：__________． 【跟踪专练2】黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【跟踪专练3.】计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 S 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） A．195 B．2B C．6E D．C3 【题型8.有理数乘除】 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算：_______． 【跟踪专练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知为有理数，定义新运算：，则_____． 【模块三 科学记数法与近似数】 【题型9.由科学记数法表示较大的数】 【典例】党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】2025年春节假期，新疆共接待游客约82700000人次，游客接待总量创历史新高．将82700000用科学记数法表示为______． 【跟踪专练2】中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（　　） A．6750吨 B．67500吨 C．675000吨 D．6750000吨 【跟踪专练3】广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为______． 【题型10.由科学记数法表示较小的数】 【典例】个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【跟踪专练1】已知某种新型感冒病毒的直径为米，将用科学记数法表示为______． 【跟踪专练2】英国和新加坡研究人员制造出观测极限为米的光学显微镜，其中米用科学记数法表示的是________米． 【跟踪专练3】“阿秒”是人类目前能够掌握的最短时间尺度．已知1阿秒秒，电子围着原子核转一圈约需要150阿秒．把150阿秒用科学记数法表示为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【题型11近似数】 【典例】有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 【跟踪专练1】魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到“不加借算”开平方的方法：，其中取正整数且最小，则用该方法计算约为______结果保留一位小数 【跟踪专练2】把1598000精确到万位，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（   ） A．10.75亿是精确到亿位 B．10.75亿是精确到十亿位 C．10.75亿用科学记数法表示为，则a=1.075，n=9 D．10.75亿用科学记数法表示为，则a=10.75，n=8 【模块四 实数】 【题型12.算术平方根】 【典例】4的算术平方根是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练1】若实数满足,则______． 【跟踪专练2】已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【跟踪专练3】已知a，b，n均为正整数． （1）若，则______； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个． 【题型13.平方根】 【典例】下列各数中，是无理数的是（   ） A．3.1415 B． C． D．0 【跟踪专练1】已知，则的平方根为______． 【跟踪专练2】已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【跟踪专练3】若，则_________． 【题型14.立方根】 【典例】下列实数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为______． 【跟踪专练2】下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为 A．分 B．分 C．分 D．分 【跟踪专练3】已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是_____________． 【题型15.无理数与实数】 【典例】下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B．1.414 C． D．2 【跟踪专练1】若，且a为整数，则______． 【跟踪专练2】如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是______． 【跟踪专练3】比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【模块五 实数的运算】 【题型16.实数的混合运算】 【典例】的值等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算：_________； 【跟踪专练2】已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练3】计算 ________． 【题型17.新定义的实数运算】 【典例】定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【跟踪专练1】用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______． 【跟踪专练2】取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（    ） A． B．0 C．203 D．405 【跟踪专练3】如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“圆梦数”．例如，四位数：是“圆梦数”．则最小的“圆梦数”为_____；对于一个“圆梦数”，规定．若能被7整除，是一个正整数，则符合条件的的最大值为_____． 【题型18.与实数相关的规律题】 【典例】观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243…根据其中规律可得30+31+32+33+34+……+32019的结果的个位数字是_____． 【跟踪专练1】通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为_____． 【跟踪专练2】已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01实数及其运算中考一轮突破复习讲义 ● 分值占比：实数及其运算是中考基础必考核心，总分值约 6–10 分，覆盖选择、填空、解答（计算第 1 题）三种题型，属于必须满分板块。 ● 常考考点：聚焦实数相关概念（相反数、倒数、绝对值）、平方根与立方根、科学记数法、实数大小比较、实数混合运算、无理数估算与简单应用六大方向。 ● 命题趋势：基础题侧重概念辨析与直接计算，中档题侧重公式法则规范运用，难题多以新定义、规律探究、实际情境为主，且结合生活数据、几何估算的题型占比逐年提升。 【模块一 有理数】...............................................4 【题型01 正数与负数】...........................................4 【题型02 有理数的认识】.........................................5 【题型03 数轴】.................................................7 【题型04 相反数】...............................................9 【题型05 绝对值】..............................................10 【题型06 有理数大小比较】......................................12 【模块二 有理数运算 】.........................................14 【题型07 有理数加减】..........................................14 【题型08 有理数的除法】........................................16 【模块三 科学记数法与近似数】..................................17 【题型09 由科学记数法表示较大的数】............................17 【题型10 由科学记数法表示较小的数】............................19 【题型11 近似数】..............................................20 【模块四 实数】................................................22 【题型12 算术平方根】..........................................22 【题型13 平方根】..............................................23 【题型14 立方根】..............................................25 【题型15 无理数与实数】........................................27 【模块五 实数的运算】..........................................29 【题型16 实数的混合运算】......................................29 【题型17 新定义的实数运算】....................................31 【题型18 与实数相关的规律题】..................................35 ★知识梳理★ 知识点01:实数的概念与分类 1.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2.按定义分类： 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，均可表示为有限小数或无限循环小数。 无理数：无限不循环小数，如 2​、π、0.1010010001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数依次增加）。 3.按正负分类：正实数、0、负实数。 4.无理数常见形式： 开方开不尽的数，如 、。 含 π 的数，如 2π、。 有规律但不循环的无限小数。 知识点02:实数的相关概念 1.数轴： 规定了原点、正方向、单位长度的直线。 实数与数轴上的点一一对应。 2.相反数： 数 a 的相反数是 −a，0 的相反数是 0。 若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0。 3.倒数： 非零数 a 的倒数是 ，0 没有倒数。 若 a 与 b 互为倒数，则 ab=1。 4.绝对值： 定义：∣a∣= 几何意义：数轴上表示数 a 的点到原点的距离。 性质：∣a∣≥0；∣a∣=∣−a∣。 5.(算术) 平方根与立方根： 平方根：若 x2=a，则 x 是 a 的平方根，记为 ±（a≥0）。 算术平方根：a 的非负平方根，记为 （a≥0），且 ​≥0。 立方根：若 x3=a，则 x 是 a 的立方根，记为 （a 为任意实数）。 重要性质：=∣a∣；()2=a（a≥0）；=a；()3=a。 知识点03:科学记数法与近似数 科学记数法 形式：a×10n（1≤∣a∣<10，n 为整数）。 表示大数：如 35000=3.5×104。 表示小数：如 0.00025=2.5×10−4。 近似数与精确度： 近似数：接近准确值的数。 精确度：近似数精确到的位数，如 0.020 精确到千分位。 知识点04:实数的大小比较 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大。 正负比较：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 作差法：a−b>0⟺a>b；a−b=0⟺a=b；a−b<0⟺a<b。 平方法：对于正数 a,b，a2>b2⟺a>b（常用于比较无理数） 知识点05:实数的运算 1.运算种类：加、减、乘、除、乘方、开方。 2.运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行。 3.运算律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06:核心易错点 1.混淆 “平方根” 与 “算术平方根”：=4（算术平方根），16 的平方根是 ±4。 2.忽略零指数幂和负指数幂的底数限制（a0）。 3.实数运算中符号判断错误，尤其是绝对值和乘方。 4.科学记数法中 a 的取值范围和 n 的指数确定。 【模块一有理数】 【题型1 正数与负数】 【典例】五峰毛尖，是中国名茶之一，最佳保存的温度为，以下几个温度中，不适合储存的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法，解题的关键是掌握正数和负数的意义．求出五峰毛尖保存的温度的范围，即可得解． 【详解】解：，， 五峰毛尖最佳保存的温度为到， 只有不在范围内，A选项符合题意． 故选：A． 【跟踪专练1】在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作______． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【详解】解：若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作， 故答案为：． 【跟踪专练2】在﹣3、+（﹣3）、﹣|﹣4|、﹣（+2）、-a中，负数的个数有____________个. 【答案】4或5 【分析】根据小于0的数是负数，可得负数的个数． 【详解】−3<0,+(−3)<0,−(−4)<0,−(+2)<0；        -a的判定：当a>0时，-a为负数；                   当a<0时，a为正数. 所以负数个数为4或5. 【点睛】本题考查的是正数和负数的判断，熟练掌握两者的性质是解题的关键. 【跟踪专练3】史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【详解】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 【题型2 有理数的认识】 【典例】下列各数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，算术平方根，立方根，有理数，熟练掌握定义是解题的关键．根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的定义判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，不符合题意；     B. 是无理数，不符合题意； C. 是无理数，不符合题意； D. 是有理数，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】若整数a满足，则a的值为______． 【答案】22或23或24或25或26或27或28或29或30 【分析】本题考查了整数的定义，不等式，理解整数的定义是解题的关键． 根据整数的定义即可求解． 【详解】解：∵整数a满足， ∴或23或24或25或26或27或28或29或30， 故答案为：22或23或24或25或26或27或28或29或30． 【跟踪专练2】下列有理数中，非负数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用乘方、有理数的乘法知识对各选项进行计算、辨别． 此题考查了非负数的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识和有理数的乘方、乘法知识． 【详解】解：，不是非负数， 选项A不符合题意； 是非负数， 选项B符合题意； ，不是非负数， 选项C不符合题意； ，不是非负数， 选项D不符合题意， 故选：B． 【点睛】 【跟踪专练3】若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用有理数的概念、有理数加减运算、有理数的大小比较等知识点，掌握有理数的加减运算法则成为解题的关键． 根据有理数的概念与运算法则进行比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴中最大的一个数是． 故选：A． 【题型3 数轴】 【典例】如图，数轴上的两个点分别表示数和－2，则可以是（） A． B．3 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴上实数的大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 数轴上的点表示的数是该点到原点的距离，由于在的左侧，则为负数，据此逐项判断即可． 【详解】解：在数轴上，在的左侧， 由于在原点的左侧， 则也在原点的左侧，即为负数， 同时必须大于2， 在选项中，只有满足两个条件， 故选：A． 【跟踪专练1】.如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质． 先观察数轴，判断m，n的大小，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、一元二次方程根的判别式、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，得到为负数，为正数，进而得到，结合两根之和为即可得到正确答案． 【详解】解：根据题意可知，， ，， 为负数，为正数， ，异号， ， ， 方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 故选：B． 【跟踪专练3】在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 【题型4 相反数】 【典例】2025年是农历乙巳蛇年，农历共有384天．其中384的相反数是（    ） A．384 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数是互为相反数，据此即可求解． 【详解】∵ 相反数的定义是只有符号不同的数， ∴ 384的相反数为 故选：B． 【跟踪专练1】以下四个数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较有理数的大小，化简多重符号，绝对值．先化简各选项，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 因此四个选项中最小的数是， 故选D． 【跟踪专练2】已知x与y互为相反数，且，则值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的性质以及二元一次方程组的解法，同时涉及幂运算的应用． 根据与互为相反数，即，结合，求出x与y，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，与互为相反数，故，即， 将代入方程，得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数定义，根据点与点表示的有理数互为相反数标出原点，然后根据绝对值的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点，如图， ∴绝对值最小的数的点是点，即到原点距离最近的是点， 故选：． 【题型5.绝对值】 【典例】实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，掌握一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离是解题关键．根据四个实数与原点的距离判断即可． 【详解】解：由数轴可知，实数离原点的距离最远， 绝对值最大的是d， 故选：D． 【跟踪专练1】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂以及绝对值的运算，解题的关键是掌握相关运算法则并准确计算． 分别根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算法则对各项进行化简，再进行加减运算． 【详解】， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将绝对值函数分段讨论，求出各区间内的表达式，通过二次函数顶点公式或区间端点分析最小值． 【详解】解：当时，，，则．此时，随趋近于负无穷而增大，最小值趋近于． 当时，，，则．此时． 当时，，，则．此时，随增大而增大，最小值趋近于． 对于二次函数，其顶点横坐标为， 当时，最小值为： ∴中间区间的最小值为，其他区间的最小值均大于此值． 因此，的最小值为， 故选：B． 【跟踪专练3】若关于的方有三个不同的解，则有理数______． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质即可求解． 【详解】解：， ， 或， 当时，即时，方程无解，此时方程最多只有两个不同的解，不符合题意； 当时，即时，方程有一个解，此时方程有两个不同的解，即此时方程由三个不同的解，符合题意； 当时，即时，方程有两个不同的解，此时方程有两个不同的解，即方程此时有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：5． 【题型6 有理数大小比较】 【典例】如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵， ∴日温差最大的一天是星期二． 故选：B． 【跟踪专练1】若， 比较四个数的大小，并用“”连接__________________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键； 根据可得，，，即可得解． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以； 故答案为：． 【跟踪专练2】下列计算结果比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减乘除，有理数的大小比较，有理数的加减乘除，有理数的大小比较法则即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练3】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算． 根据表示不超过的最大整数求解，列式计算． 【详解】由题意得：． 【模块二 有理数的运算】 【题型7.有理数加减】 【典例】某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用．求出的值，确定筷子中合格的长度，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴零件的尺寸标准在之间， 故四双筷子中合格的长度是． 故选：B． 【跟踪专练1】计算：__________． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3． 【跟踪专练2】黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．根据题意可分析出这20数的和的个位数为0，经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，据此即可确定答案． 【详解】解：， 这20数的和的个位数为0， 经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数， 或， 另一个数是或6． 故选：C． 【跟踪专练3.】计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 S 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） A．195 B．2B C．6E D．C3 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，十进制数与十六进制数的转换，根据十进制求出的乘积，再把结果转化成十六进制，即可求解．理解十进制和十六进制之间的换算是解题的关键． 【详解】解：由表格得 对应的十进制的数是，对应的十进制的数是， ， 由十进制表示得：， 在十六进制中为， ， 故选：D． 【题型8.有理数乘除】 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数乘法、除法、乘方、减法法则逐项计算，即可判断． 【详解】A，，计算正确； B，，计算错误； C，，计算错误； D，，计算错误； 故选A． 【跟踪专练1】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，先把除法变乘法，再约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘方、乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 利用乘方的定义，乘法的定义列出代数式，即可解答． 【详解】，，∴． 故选A． 【跟踪专练3】已知为有理数，定义新运算：，则_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据题目中的新定义可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【模块三 科学记数法与近似数】 【题型9.由科学记数法表示较大的数】 【典例】党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，对于，将小数点向左移动位得到，因此． 【详解】解：， 用科学记数法表示为， 故选：． 【跟踪专练1】2025年春节假期，新疆共接待游客约82700000人次，游客接待总量创历史新高．将82700000用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（　　） A．6750吨 B．67500吨 C．675000吨 D．6750000吨 【答案】B 【分析】科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 【详解】6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为67500吨． 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法﹣原数，把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【跟踪专练3】广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“万亿”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“万亿”． 故答案为：． 【题型10.由科学记数法表示较小的数】 【典例】个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：单个该病毒直径为：纳米， 故选：D． 【跟踪专练1】已知某种新型感冒病毒的直径为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为： ． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【跟踪专练2】英国和新加坡研究人员制造出观测极限为米的光学显微镜，其中米用科学记数法表示的是________米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：米用科学记数法表示为米 故答案为：． 【跟踪专练3】“阿秒”是人类目前能够掌握的最短时间尺度．已知1阿秒秒，电子围着原子核转一圈约需要150阿秒．把150阿秒用科学记数法表示为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义，将一个数表示成，其中，为整数，即可得到答案． 【详解】解：． 故选B． 【题型11近似数】 【典例】有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．还原成原数看3所在的数位即可． 【详解】解：∵， ∴该数精确到万位． 故选B． 【跟踪专练1】魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到“不加借算”开平方的方法：，其中取正整数且最小，则用该方法计算约为______结果保留一位小数 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，近似数与有效数字，将写成，再根据进行计算即可．掌握二次根式的性质与化简方法，理解近似数与有效数字的定义以及是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ∴约为． 故答案为：． 【跟踪专练2】把1598000精确到万位，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 【跟踪专练3】我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（   ） A．10.75亿是精确到亿位 B．10.75亿是精确到十亿位 C．10.75亿用科学记数法表示为，则a=1.075，n=9 D．10.75亿用科学记数法表示为，则a=10.75，n=8 【答案】C 【分析】根据科学记数法与精确度的定义即可判断求解． 【详解】解：10.75亿精确到百万位，故A、B选项不符合题意； 10.75亿用科学记数法表示为10.75亿=1.075×109，则a=1.075，n=9，故C选项符合题意，D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，解题关键是正确确定a的值以及n的值和精确度的定义． 【模块四 实数】 【题型12.算术平方根】 【典例】4的算术平方根是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是理解算术平方根的意义． 根据算术平方根的意义直接求解． 【详解】解：4的算术平方根是， 故选：C． 【跟踪专练1】若实数满足,则______． 【答案】9 【分析】本题考查非负数性质、算术平方根，根据非负数性质列出方程求出的值,代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵, ∴根据题意得:,解得, ∴． 故答案为：9． 【跟踪专练2】已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． 【跟踪专练3】已知a，b，n均为正整数． （1）若，则______； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 【题型13.平方根】 【典例】下列各数中，是无理数的是（   ） A．3.1415 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、3.1415是有限小数，为有理数，故不符合题意； B、开方开不尽，是无理数，故符合题意； C、是分数，为有理数，故不符合题意； D、0是整数，为有理数，故不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】已知，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】A 【分析】一个正实数x的两个平方根分别是m和，得到，代入得到，解答即可． 本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由一个正实数x的两个平方根分别是m和， 得到， 代入得到， 故， 解得，（舍去）． 故选：A． 【跟踪专练3】若，则_________． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 【题型14.立方根】 【典例】下列实数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数．根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：，，是无理数，只有是有理数． 故选：B． 【跟踪专练1】小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为______． 【答案】 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：∵输出的数是， ∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是， 故x的值为， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了； ②的绝对值是，该题做对了； ③，该题做错了； ④，该题做对了； ⑤体积为的立方体的棱长为，该题做对了； ∴得分应是分， 故选：． 【跟踪专练3】已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】解：的立方根是2， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 【题型15.无理数与实数】 【典例】下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B．1.414 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：属于无理数的是． 故选：C． 【跟踪专练1】若，且a为整数，则______． 【答案】2 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可． 【详解】解：，，而， 整数的值为2， 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 【跟踪专练3】比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握无理数大小的估算，实数的大小比较法则，是解题的关键． 根据无理数的估算方法以及被开方数的大小逐项进行分析即可得． 【详解】A．∵， ∴，A正确，故该选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，即，B不正确，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 【模块五 实数的运算】 【题型16.实数的混合运算】 【典例】的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加法，求出算式的值即可． 【详解】解： ； 故选：D． 【跟踪专练1】计算：_________； 【答案】4 【分析】本题考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，掌握运算法则是解题的关键． 先求出，再化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【跟踪专练2】已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，等式的性质，根据题意逐项分析判定，即可求解． 【详解】解：A. 若，则，故A正确，不合题意； B. 若，则， ∵ ∴，即，故B正确，不合题意； C.∵， ∴ 若，则 ∴，故C正确，不合题意     D.根据C可得， 若，则 ∴ ∵ ∴ ∴，即所以D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练3】计算 ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各项：为，为，为4，再求和即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【题型17.新定义的实数运算】 【典例】定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】 ． 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等． 【跟踪专练1】用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ， 值为， 故答案为：． 【跟踪专练2】取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（    ） A． B．0 C．203 D．405 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；根据取整函数定义，分段计算每个整数区间内点的y值之和，再累加所有区间和最后一个点的值计算即可． 【详解】解：负数区间处理： 区间：包含4个点，每个点，和为． 区间到：共201个区间，每个区间5个点，y值从到．和为． 正数区间处理： 区间到：共203个区间，每个区间5个点，y值从0到202． 和为． 最后一个点：，直接加203． 总和计算： ． 故选：D． 【跟踪专练3】如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“圆梦数”．例如，四位数：是“圆梦数”．则最小的“圆梦数”为_____；对于一个“圆梦数”，规定．若能被7整除，是一个正整数，则符合条件的的最大值为_____． 【答案】 1243 8932 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解新定义是解题的关键． 由题意最小的“圆梦数”各数位的数应为1，2，3，4，根据，得到，，，，即可得到答案；根据题意得最大“圆梦数” ，，或，，根据，分类讨论验证即可得到答案． 【详解】解：由题意最小的“圆梦数”各数位的数应为1，2，3，4， ， ，，，， 最小的“圆梦数”为1243； 一个“圆梦数” 最大，则当时， 当时， 各数位均不为0且互不相等，且， 当时，则，， ， ，不能被7整除， 不符合题意； 当时，，， ，， ∴， ∴ 不符合题意； 当时，，， ， ∵，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，，， ， ∵，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，，， ， ∵，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，，， ， ∵，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时， 各数位均不为0且互不相等，且， 当时，则，， ， ，则不能被7整除， 不符合题意； 同理当时，都不符合题意； 当时，最大， 各数位均不为0且互不相等，且， 当时，则，， ， ，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，则，， ， ，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，则，， ， ，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，则，， ， ，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，则，， ， ，则能被7整除， ∴， ∴， 符合题意； ∴符合条件的M的最大值为8932． 【题型18.与实数相关的规律题】 【典例】观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243…根据其中规律可得30+31+32+33+34+……+32019的结果的个位数字是_____． 【答案】0 【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出30+31+32+…+32019的结果的个位数字． 【详解】解：∵30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…， ∴个位数4个数一循环， ∴（2019+1）÷4＝505， ∴1+3+9+7＝20， ∴30+31+32+…+32019的结果的个位数字是：0． 故答案为0． 【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键． 【跟踪专练1】通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求出第9个式子即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， ∴当时：； 故答案为：． 【跟踪专练2】已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法的应用及实数的运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题． 利用整式的乘法法则，当时，，， 可判断①错误；当时，，经过计算，可判断②错误；当为奇数时，令,则，，得，可判断③正确；当为偶数时，当时， ； 当时，； ,依此类推，可判断④正确；即可判断出有几个正确的． 【详解】解：①当时，，， 故①错误； ②当时，， ，，，，， ， 故②错误； ③当为奇数时，令, 则 ， ， ， 故③正确； ④当为偶数时， 当时，， ； 当时，， ； , 依此类推， 故④正确； 故答案为：B． 【跟踪专练3】人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______． 【答案】5050 【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， …， 故答案为：5050 【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $