精品解析：北京市清华大学附属中学2025-2026学年高三下学期数学统练1试题

统练1 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后可求它们的交集. 【详解】，， 故， 故选：B. 2. 在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数乘法求复数，根据共轭复数的定义求，进而确定点坐标. 【详解】由，则，对应点为. 故选：D 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项后可求常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，故常数项为， 故选：A. 4. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件赋值可求得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以. 因为，且， 所以， 因为幂函数是实数集上的增函数， 所以由， 所以， 即，所以. 6. 已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出动点的轨迹方程（双曲线的右支），再根据渐近线方程可求参数的范围. 【详解】因为，故在双曲线的右支上， 而半焦距，实半轴长为， 故双曲线右支的方程为：，故渐近线方程为， 而直线与双曲线右支有公共点，故， 故选：D. 7. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若，则， 当时，，故； 当时，，故； 当时，， 故能推出； 反之，若对任意，， 因为时，，故，故即； 而时，，故，故即； 时显然成立，故， 故对任意，能得到， 故“”是“对任意，”的充要条件， 故选：C. 8. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 9. 已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，用表示出，然后平方转化为数量积的运算得出关于的函数，再由二次函数知识得最大值和最小值，从而得其范围． 【详解】设，则，， 设，又， 则，， ， ， 所以时，取得最小值12，时，取得最大值28， 所以的取值范围是， 故选：B． 10. 对于集合中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”； ②； ③，都有. 则称为集合上的距离，记为.则下列说法错误的是（ ） （1）为； （2）为； （3）若，则为； （4）若为，则也为（为自然对数的底数）. A. （1）（4） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （2）（3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目新定义，以及对数运算和三角函数性质，分别判断各命题是否符合三个条件，判断命题的真假. 【详解】对于（1），，即， ①，即，即， 若，则， 所以“”的充要条件为“”. ②，成立， ③，，故（1）正确； 对于（2），， ①，即，即， 此时若，，则，故（2）错误； 对于（3），， ①即，即，得， 若，则， 所以“”的充要条件为“”. ②，成立； ③ ，故成立，故（3）正确； 对于（4），设，，则， ①若，则，即，故（4）错误. 故选：C. 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得抛物线是开口向右的抛物线，可得 ，即， 因此准线方程为， 由横坐标为的点到焦点的距离为，可得：， 即，解得. 12. 若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的一个值为___________． 【答案】（答案不唯一，只需） 【解析】 【详解】由可得：， 因为在圆上，所以也满足， 即直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离，直线与圆有公共点则：即， 取，直线的方程为（即轴）： 取，在直线上，此时， 对应，满足，确实在圆上， 符合所有题干条件，因此是一个正确解. 13. 如图，五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】作出图形，结合二面角的定义分别求出，最后利用五面体的体积为2倍的四棱锥的体积加上三棱柱的体积求出结果即可. 【详解】如图，作于，，连接；同理作于，，连接，取中点，连接，再作于， 因为等腰梯形所在平面､等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为， 因为，房顶的底面为矩形，，所以， 又中点，，且，所以， 所以，，所以由二面角的定义可得，正切值均为.则.所以， 因为，，，且底面， 所以底面， 所以该五面体的体积为2倍的四棱锥的体积加上三棱柱的体积， 即， 故答案为：. 14. 已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】由函数的定义，求，由时，，当时，可得已知条件等价于在上恒成立，化简可求的范围． 【详解】由已知， 若，则，所以， 当时，，当时，， 因为对恒成立； 所以当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 若，则当时，，矛盾， 当时，可得恒成立，所以， 所以t的取值范围是为， 故答案为：，. 15. 已知数列的前n项和为，且，其中k，b不同时为0．给出下列四个结论： ①当时，为等比数列； ②当时，一定不是等差数列； ③当时，为常数列； ④当时，是单调递增数列． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由可得，代入可判断①；利用可判断②③；利用是减函数可判断④． 【详解】， 当时，，可得， 当时，， 由两个式相减可得，即， 可得， 对于①，当时，得，即，又k，b不同时为0， 所以，，所以是首项公比为等比数列，故①正确； 对于②③，当时，，且，所以是以为首项， 公比为等比数列，所以，， 所以当时，，此时是常数列，即是等差数列，故②错误③正确； 对于④，当时，，， 因为是减函数，所以是递增函数， 所以是单调递增数列，故④正确． 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用构造，本题考查了学生的思维能力、运算能力. 三、解答题共6道小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数同时满足下列3个条件中的2个．这3个条件为： ①；②；③0是函数的一个零点. （1）直接写出满足题意的2个条件的序号，并求出的值： （2）设，若函数在上无最小值，求的取值范围． 【答案】（1）满足①③， （2） 【解析】 【分析】（1）假设函数同时满足①②，运用正弦型函数的对称性和最值性质进行运算判断即可； 假设函数同时满足①③，运用正弦型函数的对称性和零点的定义进行运算判断即可； 假设函数同时满足②③，运用正弦型函数的最值性质和零点的定义进行运算判断即可； （2）运用两角差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，根据正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 若函数同时满足①②： 因为，所以函数的一个对称中心为， 所以，所以， 所以，因为，所以令，得，即， 显然函数的最大值为， 因为，所以 不恒成立， 所以函数不能同时满足①②； 若函数同时满足①③： 由上可知满足①时，， 因为， 所以0是函数的一个零点，所以函数可以同时满足①③； 若函数同时满足②③： 因为，所以当时，函数有最大值， 所以有， 因为，所以令，得，即， 因为， 所以0不是函数的一个零点，所以函数不能同时满足②③； 【小问2详解】 由（1）可知：， ， 当时，， 因为，且函数在上无最小值， 所以， 所以的取值范围. 17. 四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，E为棱的中点，过点B，C，E的平面交棱于点F． （1）求证：F为中点； （2）若，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值． 条件①： 条件②： 条件③：与平面所成角的正切值为2 如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析 （2）选条件①：不合题意；选条件②：；选条件③：； 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理及性质定理可得结果； （2）选条件①：根据面面垂直的性质定理结合已知，不合题意；选条件②：根据面面垂直的性质定理结合已知，建立空间直角坐标系，由向量法求二面角可得结果；选条件③：根据面面垂直的性质定理得为与平面所成角，建立空间直角坐标系，由向量法求二面角可得结果. 【小问1详解】 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，所以，又E为棱的中点， 所以F为中点. 【小问2详解】 选条件①： 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以，又，且平面， 所以平面，所以，故四边形为菱形， 但，在中， ， 这与四边形为菱形矛盾，不合题意； 选条件②： 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以，又， 在中， ，所以， 所以在中，，在中，， 所以，如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 所以， 设平面的一个法向量为，又， 因为，所以，令，则， 故， 设平面的一个法向量为，又， 因为，所以，令，则， 故， 则，因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 选条件③：因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以为在平面内的射影， 故为与平面所成角，即， 所以，在中，， 所以，如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 所以， 设平面的一个法向量为，又， 因为，所以，令，则， 故， 设平面的一个法向量为，又， 因为，所以，令，则， 故， 则，因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 18. 上学期间，甲每天7:30之前到校的概率为，乙每天7:30之前到校的概率为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）设为事件“在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数恰为2天”，求事件发生的概率； （2）在上学期间随机选择两天，记为甲7:30之前到校的天数，记为乙7:30之前到校的天数，，求的分布列和数学期望； （3）在上学期间随机选择天，若在这天中，甲7:30之前到校的天数多于乙，则记，否则记，分别比较，的大小和，的大小，直接写出结论. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）； 【解析】 【分析】（1）先判断在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数符合二项分布，利用二项分布概率公式计算即得； （2）根据随机变量的可能值，利用独立事件的概率公式分别计算其概率，得到的分布列，即可得到数学期望； （3）依题意，随机变量服从两点分布，根据两点分布的方差公式计算比较即得. 【小问1详解】 依题意知在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数符合二项分布,即，故； 【小问2详解】 ，，则的可能值有. , , , , . 故的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 由题，随机变量服从两点分布，不妨设，则. 故当时，，于是； 故当时，， 于是，故 同理可得：.即：；. 19. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程； （2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值. 【小问1详解】 由题设得，解得，，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由，得， 由，得. 设、，则，， 所以点的横坐标，纵坐标， 所以直线的方程为. 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧. 因为，所以，所以. 又因为，， 所以，解得，所以. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程： （2）当时，求不等式的解集； （3）若不等式无整数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，利用导数求出曲线在某点处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）当确定时，分类讨论，结合指数函数单调性解不等式的解集；（3）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论的取值，即可求解. 【小问1详解】 将代入，可得. . 将代入，. 则切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，. 即,解得;或，无解. 综上所得，不等式的解集为. 【小问3详解】 由，不等式，即， 设，， 设，，所以单调递增， 且，， 所以存在，使，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为，所以， 当时，，当时，， 不等式无整数解，即无整数解， 若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意， 若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，所以无整数解，符合题意， 当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意， 综上可知，. 21. 已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记． （1）若，数列，写出的所有可能值． （2）对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得． （3）对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立． 注：表示中最大的数，表示中最小的数． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据时集合中元素的所有可能情况，结合的定义求出所有可能值； （2）通过合理构造来证明存在性； （3）通过合理构造并结合数学归纳法即可证明. 【小问1详解】 当时，集合. 中的元素有以下几种情况： 当时，数列，根据，则. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以的所有可能值为. 【小问2详解】 记，， 对于集合中元素可采用天平法的思想构造， 将数列从大到小排序为， 对应的，按照从大到小的顺序交替分配，（因为为偶数，这种分配就可以完成）， 此时， 即存在使得. 【小问3详解】 对数列重新排列使得， 令， 易得， 对重排使得， 当为奇数时，对使用数学归纳法证明且， ①时，取，， ， ②，设，符合条件，时， 记， ， 由归纳假设， ， 令， 则，从而，， ， ， 若，则， ，令即可，同理若，则 ，令即可， 综上为奇数的情形得证. 若为偶数，令，其中， 则，使得，， 令， 则且满足，同时成立， 综上，为大于0的偶数时，存在使得同时成立 【点睛】方法点睛：1.求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.2.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将新定义的数列类比已经学习了的等比、等差数列求解.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 统练1 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 4. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 10. 对于集合中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”； ②； ③，都有. 则称为集合上的距离，记为.则下列说法错误的是（ ） （1）为； （2）为； （3）若，则为； （4）若为，则也为（为自然对数的底数）. A. （1）（4） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （2）（3） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为，则___________． 12. 若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的一个值为___________． 13. 如图，五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为_______． 14. 已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________． 15. 已知数列的前n项和为，且，其中k，b不同时为0．给出下列四个结论： ①当时，为等比数列； ②当时，一定不是等差数列； ③当时，为常数列； ④当时，是单调递增数列． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6道小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数同时满足下列3个条件中的2个．这3个条件为： ①；②；③0是函数的一个零点. （1）直接写出满足题意的2个条件的序号，并求出的值： （2）设，若函数在上无最小值，求的取值范围． 17. 四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，E为棱的中点，过点B，C，E的平面交棱于点F． （1）求证：F为中点； （2）若，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值． 条件①： 条件②： 条件③：与平面所成角的正切值为2 如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 上学期间，甲每天7:30之前到校的概率为，乙每天7:30之前到校的概率为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）设为事件“在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数恰为2天”，求事件发生的概率； （2）在上学期间随机选择两天，记为甲7:30之前到校的天数，记为乙7:30之前到校的天数，，求的分布列和数学期望； （3）在上学期间随机选择天，若在这天中，甲7:30之前到校的天数多于乙，则记，否则记，分别比较，的大小和，的大小，直接写出结论. 19. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程： （2）当时，求不等式的解集； （3）若不等式无整数解，求实数a的取值范围． 21. 已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记． （1）若，数列，写出的所有可能值． （2）对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得． （3）对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立． 注：表示中最大的数，表示中最小的数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $