精品解析：云南曲靖市麒麟区第十一中学2025--2026学年八年级下学期阶段学情自测数学试题

区十一中2025—2026学年八年级下学期 入学质量监测数学试题卷 注意事项： 1．全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，交回答题卡． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 2026意大利冬奥会于北京时间2月6日凌晨3点举行开幕式，以下是历届冬奥会会徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式 光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知P是的一点，，添加下面条件不能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别是的高、中线，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（ ） A. 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B. 垂线段最短 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 等边对等角 8. 如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A. 缩小为原来的倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 不确定 9. 下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A. 5张 B. 6张 C. 7张 D. 8张 11. 已知，，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 12. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 14. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 15. 关于x的方程无解，则k的值为（ ） A. B. 3 C. D. 无法确定 二、填空题（共8分） 16. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 17. 把因式分解的结果是______． 18. 已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则的形状为______三角形． 19. 如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 三、解答题（共62分） 20. 计算：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，点E，C分别在，上，，．求证：． 23. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 24. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕、全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多2元，用80元购买A型号纪念品的数量是用30元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共10个，且所花费用不超过66元，求最多能购买多少个A型号的纪念品？ 25. 如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 定义：对于两个正数，如果，那么记．例如：因为，所以． （1）填空： ①_____； ②_____． （2）观察下列等式： ，发现 一般地，对于任意正数，猜想（a，_____），并证明你的猜想． 【初步应用】 （3）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求图中阴影部分的面积． 27. 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 区十一中2025—2026学年八年级下学期 入学质量监测数学试题卷 注意事项： 1．全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，交回答题卡． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 2026意大利冬奥会于北京时间2月6日凌晨3点举行开幕式，以下是历届冬奥会会徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 2. 2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式 光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除运算、同类项的合并规则，需根据单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂除法法则及同类项定义逐一判断选项． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知P是的一点，，添加下面条件不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．要判定，已知，公共边，再根据所给选项结合判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵，， A．添加，能判定，故A选项不符合题意； B．添加，能判定，故B选项不符合题意； C．添加，不能判定，故C选项符合题意； D．添加，可得，能判定，故D选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，分别是的高、中线，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 7. 如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（ ） A. 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B. 垂线段最短 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 等边对等角 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∴垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的． A、等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合，能解释房梁是水平的； B、垂线段最短，不能解释房梁是水平的； C、直角三角形的两个锐角互余，垂线段最短，不能解释房梁是水平的； D、等边对等角，垂线段最短，不能解释房梁是水平的． 故选：A． 8. 如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A. 缩小为原来的倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母变化后的值的判断方法是解题的关键．先将、替换为扩大后的、，代入原分式并化简，再与原分式的值对比，判断其变化情况． 【详解】解：∵、都扩大为原来的2倍， ∴替换后所得分式为， ∵， ∴所得分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 9. 下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为或，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：或． 故选：D． 10. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A. 5张 B. 6张 C. 7张 D. 8张 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 11. 已知，，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解． 将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ , 又∵，， ∴ 原式． 故选：A． 12. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理及其外角性质．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：A． 13. 如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积．根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再根据分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∴； 故选：B． 14. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质．由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15. 关于x的方程无解，则k的值为（ ） A. B. 3 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先将分式方程移项，去分母，合并同类项得，再由原方程无解得，联立方程组，求解即可． 【详解】解：原方程移项得：， 去分母得：， 合并同类项得：， 原方程无解， ， 解得， 故选：B． 二、填空题（共8分） 16. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零，因此求解分母不等于零的不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 17. 把因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合公式法和提公因式法分解因式，先提取公因式，再对余下的二次式应用平方差公式进行因式分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则的形状为______三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】本题考查绝对值，平方的非负性和等边三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握绝对值与平方的非负性和三角形的三边关系是解题的关键，根据绝对值和平方的非负性求出b和c的值，再解方程求出a的可能值，结合三角形三边关系确定a的值，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴和， 解得：，， ∵ ∴或， 解得：或， ∴或， 当，，时，，不能构成三角形， 当，，时，，为等边三角形， 故答案为：等边． 19. 如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 三、解答题（共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握好实数混合运算的法则是解题关键．按照含有乘方的实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 22. 如图，点E，C分别在，上，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 23. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图和性质，准确作图是解题的关键． （1）找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可； （2）根据关于关于轴对称的点的坐标的特征写出答案即可； （3）根据轴对称的性质取点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求．由图可得，点的坐标为． 【小问2详解】 由题意得，点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【小问3详解】 如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值，则点即为所求． 24. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕、全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多2元，用80元购买A型号纪念品的数量是用30元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共10个，且所花费用不超过66元，求最多能购买多少个A型号的纪念品？ 【答案】（1）A，B两种型号纪念品的单价分别是8元和6元 （2）最多能购买3个A型号的纪念品 【解析】 【分析】（1）设A型号纪念品的单价为x元，则B型号纪念品的单价为元，根据“用80元购买A型号纪念品的数量是用30元购买B型号纪念品数量的2倍”列分式方程求解； （2）设购买A型号纪念品y个，则购买B型号纪念品个，根据“所花费用不超过66元”列出不等式求解． 【小问1详解】 解：设A型号纪念品的单价为x元，则B型号纪念品的单价为元， 根据题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴ 答：A，B两种型号纪念品的单价分别是8元和6元； 【小问2详解】 解：设购买A型号纪念品y个，则购买B型号纪念品个， 根据题意得， 解得 ∵y是非负整数 ∴y的最大值为3 答：最多能购买3个A型号的纪念品． 25. 如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及线段长度的计算，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等传递线段关系． （1）由已知通过证明，即可求解； （2）连接，可得，通过证明可得的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， 由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ． 26. 定义：对于两个正数，如果，那么记．例如：因为，所以． （1）填空： ①_____； ②_____． （2）观察下列等式： ，发现 一般地，对于任意正数，猜想（a，_____），并证明你的猜想． 【初步应用】 （3）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）2，4；（2），证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）设，，则，根据新定义可知，即可得出答案； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； （2）解：猜想，证明如下： 设，， 则， 根据新定义可知， 即； （3）解：∵，，， ∴， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 27. 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【解析】 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $